Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Площадь улитки Паскаля
СообщениеДобавлено: 11 апр 2013, 14:42 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 апр 2013, 14:32
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите найти площадь улитки Паскаля:
[math]p=\sqrt{2}(2-3sin( \varphi + \frac{\pi}{5}))[/math].
Здесь нужно найти площадь двух фигур: самой улитки и ее узла.
Площадь самой улитки я нашла: это интеграл-
[math]\int\limits_{0}^{2 \pi}( \sqrt{2}(2-3sin( \varphi + \frac{\pi}{5})))^{2}d \varphi=17 \pi[/math].
А как найти площадь узла? Какие пределы интегрирования будут в этом случае?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь улитки Паскаля
СообщениеДобавлено: 11 апр 2013, 16:41 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3991
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1774 раз в 1478 сообщениях
Очков репутации: 370

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Olga Aleshina писал(а):
Какие пределы интегрирования будут в этом случае?


Решите уравнение [math]\sqrt2\left(2-3\sin\left(\varphi+\frac{\pi}5\right)\right)=0[/math].

И ещё: Вы в своей формуле [math]\frac12[/math] не забыли?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Olga Aleshina
 Заголовок сообщения: Re: Площадь улитки Паскаля
СообщениеДобавлено: 11 апр 2013, 16:42 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 дек 2011, 19:32
Сообщений: 2341
Откуда: Украина, Одесса
Cпасибо сказано: 504
Спасибо получено:
662 раз в 570 сообщениях
Очков репутации: 182

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Оба узла (большой и маленький) улитки начинаются и заканчиваются в одной и той же точке (одни и те же декартовы координаты). Определите в какой именно и решите уравнение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Analitik "Спасибо" сказали:
Olga Aleshina
 Заголовок сообщения: Re: Площадь улитки Паскаля
СообщениеДобавлено: 11 апр 2013, 18:06 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 апр 2013, 14:32
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Olga Aleshina писал(а):
Какие пределы интегрирования будут в этом случае?


Решите уравнение [math]\sqrt2\left(2-3\sin\left(\varphi+\frac{\pi}5\right)\right)=0[/math].

И ещё: Вы в своей формуле [math]\frac12[/math] не забыли?


Спасибо за ответ.
Да, 1/2, конечно же, забыла.

Уравнение решала. У меня получалось
[math]\sin\left(\varphi+\frac{\pi}5\right)=\frac{2}3,[/math]
т.е. пределы интегрирования от -arcsin(2/3) до +arcsin(2/3).
С такими пределами вычисление интеграла дает какой-то "страшный" ответ, а я
подозреваю, что ответ должен быть "красивым".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь улитки Паскаля
СообщениеДобавлено: 12 апр 2013, 01:01 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10115
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 918
Спасибо получено:
3091 раз в 2694 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Надо очень внимательно отнестись к вычислению площади петли. Обязательно сверять результаты с графикой. Тогда ошибки исключатся.

Изображение

Так же внимательно вычислим площадь большой фигуры:

Изображение

PS.
1) Значение [math]\frac 95 \pi[/math] получается так:

[math]-\frac {\pi}{5}+2\pi[/math]

2) К сожалению, ответ не получился "красивым". Зато получился "верным".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Olga Aleshina
 Заголовок сообщения: Re: Площадь улитки Паскаля
СообщениеДобавлено: 12 апр 2013, 16:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 апр 2013, 14:32
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Большое спасибо за такой подробный ответ!
Я так понимаю, что значения пределов интегрирования [math]\arcsin({\frac{2}{3}})- \frac{\pi}{5}[/math]
и [math]\arcsin({\frac{2}{3}})+ \frac{9 \pi}{5}[/math] находятся из решения уравнения

[math]\sin({\varphi + \frac{\pi}{5}})= \frac{2}{3}[/math]

(т.е. [math]\varphi = \arcsin({\frac{2}{3}})- \frac{\pi}{5}+2 \pi k, k \in Z[/math] )

А откуда берется предел интегрирования [math]\frac{4}{5}\pi - \arcsin({\frac{2}{3}})[/math] ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Olga Aleshina "Спасибо" сказали:
Avgust
 Заголовок сообщения: Re: Площадь улитки Паскаля
СообщениеДобавлено: 12 апр 2013, 16:24 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10115
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 918
Спасибо получено:
3091 раз в 2694 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Посмотрите параболический график. Там два пересечения с осью ОХ. Это и есть корни, которые являются решением уравнения

[math]2-3 \sin \left (t+\frac{\pi}{5} \right )=0[/math]

Общие решения:

[math]t_1=2\pi\, n -\frac{\pi}{5}+\arcsin \left (\frac{2}{3} \right )[/math]

[math]t_2=2\pi\, n +\frac{4\pi}{5}-\arcsin \left (\frac{2}{3} \right )[/math]

Проверьте сами!

Эти же корни дал Вольфрам: http://www.wolframalpha.com/input/?i=2- ... *Pi%29%3D0

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Olga Aleshina
 Заголовок сообщения: Re: Площадь улитки Паскаля
СообщениеДобавлено: 12 апр 2013, 16:52 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 апр 2013, 14:32
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Теперь поняла.
Еще раз большое спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь улитки Паскаля
СообщениеДобавлено: 12 апр 2013, 17:16 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10115
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 918
Спасибо получено:
3091 раз в 2694 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пожалуйста :)

Последний угол тут изобразил:

Изображение

Этот угол не является решением системы: он виден из графика: это [math]2\pi+t_1[/math]. То есть интегрирование идет от [math]t_2\,[/math] до [math]2\pi+t_1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Alexdemath
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Построение (черчение) улитки Паскаля r=2+cos(f)

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

nikita123

0

1120

25 апр 2012, 09:29

Задачка из треугольника Паскаля

в форуме Теория чисел

ivashenko

48

386

08 ноя 2017, 02:06

Степень суммы и треугольник Паскаля

в форуме Алгебра

Valshe

7

219

26 июл 2015, 21:40

Простые множители чисел треугольника Паскаля

в форуме Теория чисел

ley

2

446

15 янв 2014, 23:41

Найти площадь площадь ограниченной линиям

в форуме Интегральное исчисление

bibibo

3

177

15 апр 2014, 20:33

Площадь сектора и площадь треугольника

в форуме Геометрия

dserp18

4

85

28 июн 2017, 23:47

Площадь

в форуме Геометрия

Sab888_28

3

1131

25 ноя 2015, 15:29

Площадь

в форуме Интегральное исчисление

xyzintegral

3

109

16 июн 2014, 19:18

Площадь

в форуме Интегральное исчисление

Ryslannn

11

117

25 окт 2017, 14:30

Площадь

в форуме Геометрия

nicat

1

139

28 апр 2015, 11:05


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 65


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved