Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Наибольшая площадь прямоугольника в эллипсе
СообщениеДобавлено: 31 мар 2010, 10:48 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 13:17
Сообщений: 26
Cпасибо сказано: 16
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Прямоугольник вписан в эллипс с осями [math]2a[/math] и [math]2b[/math]. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
Верно ли мое решение?

Обозначим через x и y половины сторон прямоугольника, тогда площадь прясоугольника вписанного в эллипс равен [math]2x\cdot2y[/math], где [math]x[/math] и [math]y[/math] находим из уравнения эллипса

[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math], [math]x[/math]-одна стороны прямоугольника; [math]y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}[/math] - вторая сторона прямоугольника

тогда площадь прямоугольника [math]=f(x)=2x\cdot2y=2x\cdot\frac{2b}{a}\cdot\sqrt{a^2-x^2}[/math]

[math]f'(x)=\frac{4b(a^2-2x^2)}{a\sqrt{a^2-x^2}}[/math]
[math]f'(x)=0[/math]

[math]x_1=a\sqrt{2}[/math], [math]x_2=-a\sqrt{2}[/math] (не удовл.)

[math]x=\frac{a}{\sqrt2}[/math]
[math]y=b\sqrt{1-\frac{a^2}{2a^2}}=\frac{b}{\sqrt2}[/math]

т.к. оси эллипса [math]2b[/math] и [math]2a[/math], значит [math]x=a\sqrt{2}[/math], [math]y=a\sqrt{2}[/math]

Заранее спасибо огромное!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача: наибольшая площадь прямоугольника в эллипсе
СообщениеДобавлено: 01 апр 2010, 15:11 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вы решили правильно. Только нужно сказать несколько слов о том, почему Вы выбрали прямоугольник со сторонами параллельными осям координат.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
sam
 Заголовок сообщения: Re: Наибольшая площадь прямоугольника в эллипсе
СообщениеДобавлено: 18 янв 2011, 12:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 янв 2011, 12:31
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
я почему-то не вижу изображения :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наибольшая площадь прямоугольника в эллипсе
СообщениеДобавлено: 18 янв 2011, 17:44 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
bosik

Какие изображения Вы не видите??
Формулы?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наибольшая площадь прямоугольника в эллипсе
СообщениеДобавлено: 27 апр 2011, 00:43 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 апр 2011, 00:33
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А почему за x и у принимаются половины сторон прямоугольника?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача: наибольшая площадь прямоугольника в эллипсе
СообщениеДобавлено: 27 апр 2011, 01:54 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3323
Cпасибо сказано: 239
Спасибо получено:
999 раз в 863 сообщениях
Очков репутации: 272

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
Вы решили правильно. Только нужно сказать несколько слов о том, почему Вы выбрали прямоугольник со сторонами параллельными осям координат.

Иначе, по-моему, прямоугольник не получится :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наибольшая площадь прямоугольника в эллипсе
СообщениеДобавлено: 20 май 2018, 02:30 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
20 май 2018, 02:11
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Приветствую всех, применительно к этому расчету у меня получилось, что допустим стороны прямоугольника это c и d, а большая ось эллипса - E, малая ось - F и соответственно c=0,71E; d=0,71F
Подставив измеренный размер осей эллипса в формулы, например, если оси равны 35 и 24 см, получаю прямоугольник со сторонами - 25 и 17 см. Вроде так, если в расчетах не ошибся.
А как теперь расчитать для практической задачи, есть контейнер с дном эллипса, и есть другой прямоугольный контейнер размерами 22 и 20 см сторон - поместится ли он в этот эллипс, если в него помещается прямоугольник максимальной площади со сторонами 25 и 17 см.
Т.е в этом случае уже прямоугольник рассматривается не для максимальной площади а соотношение сторон, какая должна быть длина стороны прямоугольника, если другая сторона, например 22 см. нельзя ли здесь использовать максимальную площадь вписанного прямоугольника? допустим S= 25x17=425 отсюда 425/22= 19.3 см. Т.е чтобы получить эту же максимальную площадь, при стороне прямоугольника - 22 см, другая сторона должна быть 19.3 см. Исходя из этого простого расчета я вижу, что в этот эллипс прямоугольник со сторонами 22 см и 20 см не помещается.
Или придется выводить соотношение как-то через оси эллипса?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наибольшая площадь прямоугольника в эллипсе
СообщениеДобавлено: 20 май 2018, 02:55 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1309
Cпасибо сказано: 294
Спасибо получено:
363 раз в 299 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
sam писал(а):
Верно ли мое решение?
Неполное решение, учитывая замечание от Prokop.
Можно так:
[math]1=\frac{ x^2 }{ a^2 }+\frac{ y^2 }{ b^2 } \geqslant \frac{ 2xy }{ab }= \frac{ S }{2ab }[/math].
Откуда следует
[math]S \leqslant 2ab,[/math] [math]\;[/math] равно при [math]\frac{ x }{ a }=\frac{ y }{ b }[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Наибольшая площадь прямоугольника в эллипсе
СообщениеДобавлено: 20 май 2018, 20:40 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
krserv, вспомним, что эллипс - сжатая в одном направлении окружность (или проекция окружности на плоскость).
При таком преобразовании сохраняются отношения площадей, пропорции длин отрезков одного направления.
Отсюда понятно, что если вписывать в эллипс произвольный четырехугольник, мы не получим у него площади большей, чем максимальная площадь прямоугольника. Кроме того, в эллипс можно вписать бесконечно много разных параллелограммов максимальной площади.

Итак по Вашей задаче:
Если прямоугольник максимальной площади в эллипсе имеет размеры 25 на 17 см, то в соответствующем круге он будет представлять собой квадрат размерами 25 на 25 см.
А прямоугольник длина стороны которого равна 22 см в круге будет также прямоугольником с длиной одной стороны 22 см, а длину другой стороны можно найти по теореме Пифагора: [math]\sqrt{2 \cdot{{25}^2}-{{22}^2}}= \sqrt{766} ={27,676...}[/math] см.
Возвращаясь к эллипсу, нужно умножить полученную длину на коэффициент пропорциональности: [math]\sqrt{766}\frac{17}{25}= {18,820...}[/math] см.
То есть в Ваш эллипс можно вписать прямоугольник размерами 22 на 18,820 см.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Наибольшая площадь прямоугольника

в форуме Дифференциальное исчисление

Piteryo

1

637

08 дек 2015, 18:02

Наибольшая площадь треугольника

в форуме Геометрия

Yacher

4

212

05 дек 2019, 18:08

Площадь прямоугольника

в форуме Геометрия

wofuture

4

321

19 ноя 2015, 16:54

Площадь части прямоугольника

в форуме Геометрия

GeorgeB

3

350

21 мар 2017, 14:48

Найти площадь вписанного прямоугольника

в форуме Геометрия

ferma-T

25

733

07 фев 2023, 12:16

Найти площадь образа прямоугольника

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

in+yan

2

246

22 май 2020, 14:06

Максимальная площадь вписанного прямоугольника

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

vulpes

13

719

18 май 2018, 11:42

Разделить площадь прямоугольника с помощью радиальных линий

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

paulogorod

11

996

23 мар 2015, 11:53

Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 126

в форуме Геометрия

top234

4

160

20 окт 2020, 14:30

Какими должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь

в форуме Дифференциальное исчисление

Katerina525

2

651

28 фев 2015, 18:35


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 35


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved