Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Смешанное произведение. Тетраэдр
СообщениеДобавлено: 11 ноя 2012, 20:09 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 ноя 2012, 20:38
Сообщений: 20
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Смешанное произведение. Тетраэдр
СообщениеДобавлено: 12 ноя 2012, 17:50 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 15030
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 936
Спасибо получено:
3312 раз в 3060 сообщениях
Очков репутации: 641

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
bumbarash
Совместим вершину [math]D[/math] тетраэдра с началом [math]O[/math] декартовой прямоугольной системы координат так, что точка [math]A[/math] расположится на оси [math]Ox,[/math] точка [math]B[/math] - на оси [math]Oy,[/math] а точка [math]C[/math] - на оси [math]Oz.[/math] Тогда указанные точки будут иметь соедующие координаты: [math]D(0;~0;~0),~A(2;~0;~0),~B(0;~4;~0),~C(0;~0;~6).[/math]

Найдём координаты следующих векторов:
[math]\vec{AB}=\{-2;~4;~0\},~\vec{BC}=\{0;~-4;~6\},~\vec{DC}=\{0;~0;~6\}.[/math]


Для первого из этих векторов, согласно условию, [math]\frac{|AK|}{|KB|}=\frac{|\vec {AK}|}{|\vec {KB}|}=\frac{1}{1},[/math] поэтому [math]\vec{AK}=\vec{KB}[/math] и
[math]\vec{AB}=\vec{AK}+\vec{KB}=2\vec{AK}\Rightarrow\vec{AK}=\{x_K-2;~y_K-0;~z_K-0\}=\{-1;~2;~0\}\Rightarrow K(1;~2;~0).[/math]


Для второго вектора, согласно условию, [math]\frac{|BL|}{|LC|}=\frac{|\vec{BL}|}{|\vec{LC}|}=\frac{2}{1},[/math] поэтому [math]\vec{BL}=2\vec{LC}[/math] и
[math]\vec{BC}=\vec{BL}+\vec{LC}=3\vec{LC}\Rightarrow\vec{BC}=\{0;~-4;~6\}=3\{0-x_L;~0-y_L;~6-z_L\}\Rightarrow L\{0;~\frac{4}{3};~4\}.[/math]


Для третьего вектора, согласно условию, [math]\frac{|DP|}{|PC|}=\frac{|\vec{DP}|}{|\vec{PC}|}=\frac{1}{5},[/math] поэтому [math]5\vec{DP}=\vec{PC}[/math] и
[math]\vec{DC}=\vec{DP}+\vec{PC}=6\vec{DP}\Rightarrow\vec{DC}=\{0;~0;~6\}=6\{0-x_P;~0-y_P;~6-z_P\}\Rightarrow P\{0;~0;~1\}.[/math]


Находим координаты векторов с началом в точке [math]P[/math]:
[math]\vec{PK}=\{1;~2;~-1\},~\vec{PL}=\{0;~\frac{4}{3};~0\},[/math]

их модули:
[math]|\vec{PK}|=\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{6},[/math]

[math]|\vec{PL}|=\sqrt{0^2+\bigg(\frac{4}{3}\bigg)^2+0^2}=\frac{4}{3},[/math]

их векторное произведение и его модуль:
[math]\vec{PK} \times \vec{PL}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & \frac{4}{3} & 0 \end{vmatrix}=\frac{4}{3}\vec{i}+\frac{4}{3}\vec{k},[/math]

[math]|\vec{PK} \times \vec{PL}|=\sqrt{\bigg(\frac{4}{3}\bigg)^2+\bigg(\frac{4}{3}\bigg)^2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}.[/math]

и, наконец,
1) синус внутреннего угла [math]\varphi[/math] при вершине [math]P[/math] в треугольнике [math]KPL[/math]:
[math]\sin\varphi=\frac{|\vec{PK} \times \vec{PL}|}{|\vec{PK}|\cdot|\vec{PL}|}=\frac{\frac{4\sqrt{2}}{3}}{\sqrt{6}\cdot\frac{4}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,5774.[/math]


Геометрический смысл найденного векторного произведения векторов при вершине [math]P[/math] заключается в том, что его модуль равен удвоенной площади треугольника [math]KPL,[/math] поэтому [math]2S_{KPL}=\frac{4\sqrt{2}}{3},[/math] следовательно,
2) длина [math]h[/math] высоты треугольника [math]KPL,[/math] опущенной на сторону [math]KP,[/math] составляет
[math]h=\frac{2S_{KPL}}{|\vec{PK}|}=\frac{\frac{4\sqrt{2}}{3}}{\sqrt{6}}=\frac{4}{3\sqrt{3}} \approx 0,7698.[/math]


Разумеется, задачу можно решить и другими способами.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
Alexdemath, bumbarash, mad_math
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Смешанное произведение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

marmont21

1

172

25 окт 2015, 19:03

Смешанное произведение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

qqenzo

1

174

28 янв 2016, 00:14

Вычислить смешанное произведение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

f0rt1q

1

242

11 ноя 2013, 21:13

Векторное и смешанное произведение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Lalka19

2

184

08 ноя 2015, 16:48

Вычислить смешанное произведение .

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Edo

3

169

23 ноя 2011, 16:38

Смешанное произведение векторов

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Evalebedeva19

1

213

23 сен 2012, 18:40

Смешанное произведение и сумма векторов

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

ilyachiz

4

78

09 окт 2016, 21:21

Найти смешанное произведение векторов.Помогите разобраться!!

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

yulika1786

4

174

29 янв 2012, 17:56

Тетраэдр

в форуме Геометрия

Regina07

3

962

10 дек 2013, 20:56

Тетраэдр

в форуме Геометрия

maksim-maksim

3

48

25 окт 2017, 16:18


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 43


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved