Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Смешанное произведение. Тетраэдр
СообщениеДобавлено: 11 ноя 2012, 19:09 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 ноя 2012, 19:38
Сообщений: 20
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Смешанное произведение. Тетраэдр
СообщениеДобавлено: 12 ноя 2012, 16:50 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
bumbarash
Совместим вершину [math]D[/math] тетраэдра с началом [math]O[/math] декартовой прямоугольной системы координат так, что точка [math]A[/math] расположится на оси [math]Ox,[/math] точка [math]B[/math] - на оси [math]Oy,[/math] а точка [math]C[/math] - на оси [math]Oz.[/math] Тогда указанные точки будут иметь соедующие координаты: [math]D(0;~0;~0),~A(2;~0;~0),~B(0;~4;~0),~C(0;~0;~6).[/math]

Найдём координаты следующих векторов:
[math]\vec{AB}=\{-2;~4;~0\},~\vec{BC}=\{0;~-4;~6\},~\vec{DC}=\{0;~0;~6\}.[/math]


Для первого из этих векторов, согласно условию, [math]\frac{|AK|}{|KB|}=\frac{|\vec {AK}|}{|\vec {KB}|}=\frac{1}{1},[/math] поэтому [math]\vec{AK}=\vec{KB}[/math] и
[math]\vec{AB}=\vec{AK}+\vec{KB}=2\vec{AK}\Rightarrow\vec{AK}=\{x_K-2;~y_K-0;~z_K-0\}=\{-1;~2;~0\}\Rightarrow K(1;~2;~0).[/math]


Для второго вектора, согласно условию, [math]\frac{|BL|}{|LC|}=\frac{|\vec{BL}|}{|\vec{LC}|}=\frac{2}{1},[/math] поэтому [math]\vec{BL}=2\vec{LC}[/math] и
[math]\vec{BC}=\vec{BL}+\vec{LC}=3\vec{LC}\Rightarrow\vec{BC}=\{0;~-4;~6\}=3\{0-x_L;~0-y_L;~6-z_L\}\Rightarrow L\{0;~\frac{4}{3};~4\}.[/math]


Для третьего вектора, согласно условию, [math]\frac{|DP|}{|PC|}=\frac{|\vec{DP}|}{|\vec{PC}|}=\frac{1}{5},[/math] поэтому [math]5\vec{DP}=\vec{PC}[/math] и
[math]\vec{DC}=\vec{DP}+\vec{PC}=6\vec{DP}\Rightarrow\vec{DC}=\{0;~0;~6\}=6\{0-x_P;~0-y_P;~6-z_P\}\Rightarrow P\{0;~0;~1\}.[/math]


Находим координаты векторов с началом в точке [math]P[/math]:
[math]\vec{PK}=\{1;~2;~-1\},~\vec{PL}=\{0;~\frac{4}{3};~0\},[/math]

их модули:
[math]|\vec{PK}|=\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{6},[/math]

[math]|\vec{PL}|=\sqrt{0^2+\bigg(\frac{4}{3}\bigg)^2+0^2}=\frac{4}{3},[/math]

их векторное произведение и его модуль:
[math]\vec{PK} \times \vec{PL}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & \frac{4}{3} & 0 \end{vmatrix}=\frac{4}{3}\vec{i}+\frac{4}{3}\vec{k},[/math]

[math]|\vec{PK} \times \vec{PL}|=\sqrt{\bigg(\frac{4}{3}\bigg)^2+\bigg(\frac{4}{3}\bigg)^2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}.[/math]

и, наконец,
1) синус внутреннего угла [math]\varphi[/math] при вершине [math]P[/math] в треугольнике [math]KPL[/math]:
[math]\sin\varphi=\frac{|\vec{PK} \times \vec{PL}|}{|\vec{PK}|\cdot|\vec{PL}|}=\frac{\frac{4\sqrt{2}}{3}}{\sqrt{6}\cdot\frac{4}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,5774.[/math]


Геометрический смысл найденного векторного произведения векторов при вершине [math]P[/math] заключается в том, что его модуль равен удвоенной площади треугольника [math]KPL,[/math] поэтому [math]2S_{KPL}=\frac{4\sqrt{2}}{3},[/math] следовательно,
2) длина [math]h[/math] высоты треугольника [math]KPL,[/math] опущенной на сторону [math]KP,[/math] составляет
[math]h=\frac{2S_{KPL}}{|\vec{PK}|}=\frac{\frac{4\sqrt{2}}{3}}{\sqrt{6}}=\frac{4}{3\sqrt{3}} \approx 0,7698.[/math]


Разумеется, задачу можно решить и другими способами.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
Alexdemath, bumbarash, mad_math
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Смешанное произведение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

marmont21

1

1481

25 окт 2015, 18:03

Смешанное произведение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

qqenzo

1

339

27 янв 2016, 23:14

Векторное и смешанное произведение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Lalka19

2

678

08 ноя 2015, 15:48

Смешанное произведение в двумерном пространстве

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

mad_math

1

162

15 янв 2020, 20:07

Смешанное произведение и сумма векторов

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

ilyachiz

4

315

09 окт 2016, 20:21

Тетраэдр

в форуме Геометрия

maksim-maksim

3

255

25 окт 2017, 15:18

Тетраэдр (проверка)

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

kontik2020

1

279

24 фев 2020, 21:15

Произвольный тетраэдр

в форуме Геометрия

Kunitcin

6

288

31 авг 2022, 17:47

Алмаз -тетраэдр или октаэдр?

в форуме Молекулярная физика и Термодинамика

Jefferson

0

633

28 окт 2014, 14:40

Тетраэдр построенный на векторах

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Windiv

1

149

20 ноя 2020, 10:06


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 32


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved