Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
bumbarash |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
bumbarash
Совместим вершину [math]D[/math] тетраэдра с началом [math]O[/math] декартовой прямоугольной системы координат так, что точка [math]A[/math] расположится на оси [math]Ox,[/math] точка [math]B[/math] - на оси [math]Oy,[/math] а точка [math]C[/math] - на оси [math]Oz.[/math] Тогда указанные точки будут иметь соедующие координаты: [math]D(0;~0;~0),~A(2;~0;~0),~B(0;~4;~0),~C(0;~0;~6).[/math] Найдём координаты следующих векторов: [math]\vec{AB}=\{-2;~4;~0\},~\vec{BC}=\{0;~-4;~6\},~\vec{DC}=\{0;~0;~6\}.[/math] Для первого из этих векторов, согласно условию, [math]\frac{|AK|}{|KB|}=\frac{|\vec {AK}|}{|\vec {KB}|}=\frac{1}{1},[/math] поэтому [math]\vec{AK}=\vec{KB}[/math] и [math]\vec{AB}=\vec{AK}+\vec{KB}=2\vec{AK}\Rightarrow\vec{AK}=\{x_K-2;~y_K-0;~z_K-0\}=\{-1;~2;~0\}\Rightarrow K(1;~2;~0).[/math] Для второго вектора, согласно условию, [math]\frac{|BL|}{|LC|}=\frac{|\vec{BL}|}{|\vec{LC}|}=\frac{2}{1},[/math] поэтому [math]\vec{BL}=2\vec{LC}[/math] и [math]\vec{BC}=\vec{BL}+\vec{LC}=3\vec{LC}\Rightarrow\vec{BC}=\{0;~-4;~6\}=3\{0-x_L;~0-y_L;~6-z_L\}\Rightarrow L\{0;~\frac{4}{3};~4\}.[/math] Для третьего вектора, согласно условию, [math]\frac{|DP|}{|PC|}=\frac{|\vec{DP}|}{|\vec{PC}|}=\frac{1}{5},[/math] поэтому [math]5\vec{DP}=\vec{PC}[/math] и [math]\vec{DC}=\vec{DP}+\vec{PC}=6\vec{DP}\Rightarrow\vec{DC}=\{0;~0;~6\}=6\{0-x_P;~0-y_P;~6-z_P\}\Rightarrow P\{0;~0;~1\}.[/math] Находим координаты векторов с началом в точке [math]P[/math]: [math]\vec{PK}=\{1;~2;~-1\},~\vec{PL}=\{0;~\frac{4}{3};~0\},[/math] их модули: [math]|\vec{PK}|=\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{6},[/math] [math]|\vec{PL}|=\sqrt{0^2+\bigg(\frac{4}{3}\bigg)^2+0^2}=\frac{4}{3},[/math] их векторное произведение и его модуль: [math]\vec{PK} \times \vec{PL}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & \frac{4}{3} & 0 \end{vmatrix}=\frac{4}{3}\vec{i}+\frac{4}{3}\vec{k},[/math] [math]|\vec{PK} \times \vec{PL}|=\sqrt{\bigg(\frac{4}{3}\bigg)^2+\bigg(\frac{4}{3}\bigg)^2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}.[/math] и, наконец, 1) синус внутреннего угла [math]\varphi[/math] при вершине [math]P[/math] в треугольнике [math]KPL[/math]: [math]\sin\varphi=\frac{|\vec{PK} \times \vec{PL}|}{|\vec{PK}|\cdot|\vec{PL}|}=\frac{\frac{4\sqrt{2}}{3}}{\sqrt{6}\cdot\frac{4}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,5774.[/math] Геометрический смысл найденного векторного произведения векторов при вершине [math]P[/math] заключается в том, что его модуль равен удвоенной площади треугольника [math]KPL,[/math] поэтому [math]2S_{KPL}=\frac{4\sqrt{2}}{3},[/math] следовательно, 2) длина [math]h[/math] высоты треугольника [math]KPL,[/math] опущенной на сторону [math]KP,[/math] составляет [math]h=\frac{2S_{KPL}}{|\vec{PK}|}=\frac{\frac{4\sqrt{2}}{3}}{\sqrt{6}}=\frac{4}{3\sqrt{3}} \approx 0,7698.[/math] Разумеется, задачу можно решить и другими способами. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали: Alexdemath, bumbarash, mad_math |
||
[ Сообщений: 2 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Смешанное произведение | 1 |
1481 |
25 окт 2015, 18:03 |
|
Смешанное произведение | 1 |
339 |
27 янв 2016, 23:14 |
|
Векторное и смешанное произведение | 2 |
678 |
08 ноя 2015, 15:48 |
|
Смешанное произведение в двумерном пространстве | 1 |
162 |
15 янв 2020, 20:07 |
|
Смешанное произведение и сумма векторов | 4 |
315 |
09 окт 2016, 20:21 |
|
Тетраэдр
в форуме Геометрия |
3 |
255 |
25 окт 2017, 15:18 |
|
Тетраэдр (проверка) | 1 |
279 |
24 фев 2020, 21:15 |
|
Произвольный тетраэдр
в форуме Геометрия |
6 |
288 |
31 авг 2022, 17:47 |
|
Алмаз -тетраэдр или октаэдр?
в форуме Молекулярная физика и Термодинамика |
0 |
633 |
28 окт 2014, 14:40 |
|
Тетраэдр построенный на векторах
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
1 |
149 |
20 ноя 2020, 10:06 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 32 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |