Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задачи из задачника О.Н. Цубербиллер: № 761,778, 785
СообщениеДобавлено: 11 мар 2012, 21:21 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
04 дек 2011, 00:49
Сообщений: 143
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
33 раз в 27 сообщениях
Очков репутации: 45

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите пожалуйста с задачами :) Скинул с которыми не справился и/или
решения которых не нагуглил:
№ 761
Через точку Р(+7,-5,+1) провести плоскость, которая отсекала бы на осях координат положительные и равные между собой отрезки.
Мои мысли: ну, наверно надо как-то расширить условие. Пусть плоскость проходит через точки
(n,0,0), (0,n,0) и (0,0,n), при этом n > 0. Стало быть, тогда имеем матрицу
n 0 0 1
0 n 0 1
0 0 n 1
7-5 1 1,
определитель которой должен равняться нулю. Нашёл n: n = 0, n = 5, n = 1.
А дальше непонятно что. Ответ: x + y + z - 3 = 0.
№ 778
Через ось z провести плоскость, образующую с плоскостью 2x + y - (5)^(1/2)*z - 7 = 0 угол П/3
Мои мысли: П/3...это вроде как 60 градусов :)
Ответ: х + 3у = 0 и 3х - у = 0
№ 785
На расстоянии трех единиц от плоскости 3x - 6y - 2z + 14 = 0 провести параллельную ей плоскость
Мои мысли: Вообще странно, на расстоянии трех единиц можно 2 плоскости провести. Вероятно, сначала надо привести это уравнение к нормальному виду. Это будет:
-(3/7)*х + (6/7)*y +(2/7)*z - 2 = 0, р = 2. И что с этим "р" делать? :)
Ответ: 3х - 6y - 2z + 35 = 0 и 3x - 6y - 2z - 7 = 0.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи из задачника О.Н. Цубербиллер: № 761,778, 785
СообщениеДобавлено: 11 мар 2012, 21:53 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3323
Cпасибо сказано: 239
Спасибо получено:
999 раз в 863 сообщениях
Очков репутации: 272

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
student-himik писал(а):
Помогите пожалуйста с задачами :) Скинул с которыми не справился и/или
решения которых не нагуглил:
№ 761
Через точку Р(+7,-5,+1) провести плоскость, которая отсекала бы на осях координат положительные и равные между собой отрезки.
Мои мысли: ну, наверно надо как-то расширить условие. Пусть плоскость проходит через точки
(n,0,0), (0,n,0) и (0,0,n), при этом n > 0. Стало быть, тогда имеем матрицу
n 0 0 1
0 n 0 1
0 0 n 1
7-5 1 1,
определитель которой должен равняться нулю. Нашёл n: n = 0, n = 5, n = 1.
А дальше непонятно что. Ответ: x + y + z - 3 = 0.
№ 778
Через ось z провести плоскость, образующую с плоскостью 2x + y - (5)^(1/2)*z - 7 = 0 угол П/3
Мои мысли: П/3...это вроде как 60 градусов :)
Ответ: х + 3у = 0 и 3х - у = 0
№ 785
На расстоянии трех единиц от плоскости 3x - 6y - 2z + 14 = 0 провести параллельную ей плоскость
Мои мысли: Вообще странно, на расстоянии трех единиц можно 2 плоскости провести. Вероятно, сначала надо привести это уравнение к нормальному виду. Это будет:
-(3/7)*х + (6/7)*y +(2/7)*z - 2 = 0, р = 2. И что с этим "р" делать? :)
Ответ: 3х - 6y - 2z + 35 = 0 и 3x - 6y - 2z - 7 = 0.

Когда плоскость отсечет на осях одинаковые отрезки? Когда она одинаково наклонена к осям координат, или по-другому вектор ей перпендикулярный
составляет одинаковые углы с осями координат т.е. три координаты вектора равны друг другу. Вот возьмите такой вектор и запишите уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и получите ответ.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю vvvv "Спасибо" сказали:
student-himik
 Заголовок сообщения: Re: Задачи из задачника О.Н. Цубербиллер: № 761,778, 785
СообщениеДобавлено: 11 мар 2012, 23:26 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3323
Cпасибо сказано: 239
Спасибо получено:
999 раз в 863 сообщениях
Очков репутации: 272

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Во второй задаче ответ неверен.
План решение такой:
- рассмотрим вектор с координатами x=1,y=y, z=z
- рассмотрим плоскость - ту, что задана, только без свободного члена т.е. пусть она проходит через начало координат.
-найдем неизвестные координаты рассматриваемого вектора вектора y и z , для чего запишем систему из двух уравнений.
Первое - это уравнение плоскости без свободного члена и вместо x в нем подставлена 1.
Второе - это косинус угла (через скалярное произведение и модули по известной формуле) между введенным (искомым) вектором и ортом оси Z, этот косинус приравниваем 1/2.
Решив систему, найдем по четыре значения y и z. Выберем два нужных и получим два вектора.
-Составим векторные произведения каждого из найденных векторов с ортом оси Z, получим два вектора.
- Теперь можно записать уравнение искомых плоскостей, каждая из которых проходит проходит через два вектора и начало координат.
Как решить по-короче пока не вижу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю vvvv "Спасибо" сказали:
Alexdemath, student-himik
 Заголовок сообщения: Re: Задачи из задачника О.Н. Цубербиллер: № 761,778, 785
СообщениеДобавлено: 12 мар 2012, 00:49 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3323
Cпасибо сказано: 239
Спасибо получено:
999 раз в 863 сообщениях
Очков репутации: 272

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По третьей задачи:
- возьмите на заданной плоскости, например, точку (0,0,7)
-возьмите вектор, перпендикулярный заданной плоскости, нормируйте его, умножьте на 3 и затем перенесите в т. (0,0,7)
- получите координаты точки, отстоящей от данной плоскости на 3 ед.
-проведите через эту точку плоскость параллельную данной.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю vvvv "Спасибо" сказали:
student-himik
 Заголовок сообщения: Re: Задачи из задачника О.Н. Цубербиллер: № 761,778, 785
СообщениеДобавлено: 12 мар 2012, 12:22 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3323
Cпасибо сказано: 239
Спасибо получено:
999 раз в 863 сообщениях
Очков репутации: 272

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Замутил я что-то. Во второй задаче нужно сделать исправления, а именно:
Второе (уравнение) системы- это косинус угла, выраженного через скалярное произведение и модули 2-х векторов:
-первый вектор - это вектор перпендикулярный заданной плоскости (по существу, он задан)
- второй вектор - это векторное произведение орта оси Z и введенного (неизвестного) вектора - (1,y,z).
Выражение для косинуса ( второе уравнение) нужно приравнять 1/2.
Решив систему, найдем недостающие координаты у и z введенного в рассмотрение (неизвестного вектора).
-И наконец записываем уравнение искомой плоскости, проходящей через орт оси Z и найденный вектор.

Р.S. Теперь по поводу ответа ничего сказать не могу.Вечером все проверю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю vvvv "Спасибо" сказали:
Alexdemath, student-himik
 Заголовок сообщения: Re: Задачи из задачника О.Н. Цубербиллер: № 761,778, 785
СообщениеДобавлено: 12 мар 2012, 23:59 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3323
Cпасибо сказано: 239
Спасибо получено:
999 раз в 863 сообщениях
Очков репутации: 272

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ой, такое решение сложное, вот гораздо проще.
Идея- ищем вектор, который, с одной стороны, с нормальным вектором заданной плоскости образует угол 60 градусов .
С другой стороны - этот вектор с ортом оси Z образует угол в 90 градусов т.е. их скалярное произведение равно нулю.
Вот и записываем два простеньких уравнения. (полагая первую координату в искомом векторе равной 1)
Решая систему, находим два вектора.Каждый из этих векторов служит нормальным вектором для искомой плоскости.Таких плоскостей будет две.
Имея нормальные векторы легко записать уравнения плоскостей.
См. картинку.
Изображение

P.S. Вот сейчас и ответы совпали :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю vvvv "Спасибо" сказали:
student-himik
 Заголовок сообщения: Re: Задачи из задачника О.Н. Цубербиллер: № 761,778, 785
СообщениеДобавлено: 14 мар 2012, 01:01 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
student-himik писал(а):
№ 761
Через точку Р(+7,-5,+1) провести плоскость, которая отсекала бы на осях координат положительные и равные между собой отрезки.
Мои мысли: ну, наверно надо как-то расширить условие. Пусть плоскость проходит через точки
(n,0,0), (0,n,0) и (0,0,n), при этом n > 0. Стало быть, тогда имеем матрицу
n 0 0 1
0 n 0 1
0 0 n 1
7-5 1 1,
определитель которой должен равняться нулю. Нашёл n: n = 0, n = 5, n = 1.
А дальше непонятно что. Ответ: x + y + z - 3 = 0.

Вы верно начали решать. Только дальше я бы составил уравнение плоскости, проходящей через три точки: (n,0,0), (0,n,0) и (0,0,n); для отыскания n воспользовался бы тем, что искомая плоскость должна проходит через точку (7;-5;1).

[math]\begin{gathered} n > 0 \hfill \\\begin{vmatrix}{x - n}&{y - 0}&{z - 0} \\ {0 - n}&{n - 0}&{0 - 0} \\ {0 - n}&{0 - 0}&{n - 0} \end{vmatrix}= 0~~ \Leftrightarrow ~~{n^2}(x + y + z)-n^3=0~~ \Leftrightarrow~ n = x + y + z \hfill \\ n = 7 + ( - 5) + 1 = 3 \hfill \boxed{x + y + z - 3 = 0} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
student-himik
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Возможна ли опечатка в решении данной задачи из задачника

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

spartakraz

2

190

12 мар 2019, 08:57

Касательные к эллипсу (Цубербиллер #404)

в форуме Геометрия

Rules

4

885

19 май 2016, 21:18

Пример из задачника по тригонометрии

в форуме Тригонометрия

ferz

4

389

22 сен 2015, 11:43

Пофигизм авторов задачника-решебника

в форуме Размышления по поводу и без

Claudia

10

493

01 окт 2019, 13:04

Задача I.6.б из задачника по школьному курсу тригонометрии

в форуме Тригонометрия

ObsLevia

1

293

09 июл 2017, 18:50

Задача на составление уравнения из задачника А.П. Киселева

в форуме Алгебра

MaximZag95

1

344

06 апр 2015, 17:48

Задача I.2.м из задачника по школьному курсу тригонометрии

в форуме Тригонометрия

ObsLevia

5

275

08 июл 2017, 18:24

Задачи

в форуме Алгебра

Nas_tya+-

1

412

15 мар 2015, 19:26

Задачи

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Bavarov

11

1052

14 апр 2015, 10:30

2 задачи

в форуме Теория вероятностей

AnnaKudryashova

2

801

09 ноя 2014, 16:43


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved