Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Даны координаты вершин пирамиды ABCD, найти
СообщениеДобавлено: 16 дек 2011, 14:14 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 дек 2011, 13:34
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
3 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Даны координаты вершин пирамиды А1(6,6,5), А2(4,9,5), А3(4,6,11), А4(6,9,3). Найти:
1) длину ребра А₁ А₂;
2) угол между ребрами А₁ А₂ и А₁ А₄.
3) угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃;
4) площадь грани А₁ А₂ А₃;
5) объем пирамиды;
6) уравнение прямой А₁ А₂;
7) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;
8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.

Сделать чертеж.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Maloi5 "Спасибо" сказали:
Masantoha, vfhbyf29
 Заголовок сообщения: Re: Найти уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань
СообщениеДобавлено: 16 дек 2011, 15:29 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 23:52
Сообщений: 5946
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 3211
Спасибо получено:
3073 раз в 2246 сообщениях
Очков репутации: 650

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Воспользуйтесь онлайн-сервисом для решения
Онлайн решение Пирамиды

для построения воспользуйтесь этим сервисом
Построение пирамиды Онлайн по координатам вершин

Maloi5 писал(а):
Даны координаты вершин пирамиды А1(6,6,5), А2(4,9,5), А3(4,6,11), А4(6,9,3). Найти:
1) длину ребра А1А2;

У Вас [math]A_1(x_1,y_1,z_1),~~ A_2(x_2,y_2,z_2),~~ A_3(x_3,y_3,z_3),~~ A_4(x_4,y_4,z_4)[/math].

Воспользуйтесь готовой формулой, то есть просто подставьте координаты вершин [math]A_1,\,A_2[/math] и упростите

[math]|A_1A_2|= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}=\ldots[/math]

Напишите, что получится, тогда продолжим дальше решать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
Vadim Shlovikov
 Заголовок сообщения: Re: Найти длину ребра.
СообщениеДобавлено: 16 дек 2011, 15:31 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 14:09
Сообщений: 18463
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11132
Спасибо получено:
5039 раз в 4553 сообщениях
Очков репутации: 682

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1) Длину ребра находим по формуле расстояния между точками [math](x_1;y_1;z_1),(x_2;y_2;z_2)[/math]:
[math]d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}[/math].
Получим:
[math]|A_1A_2|=\sqrt{(4-6)^2+(9-6)^2+(5-5)^2}=\sqrt{(-2)^2+3^2+0^2}=\sqrt{13}[/math].

2) Угол между рёбрами можно определить через скалярное произведение векторов:
Координаты вектора равны разности координат начала и конца данного вектора:
[math]\overrightarrow{A_1A_2}\{4-6;9-6;5-5\}=\{-2;3;0\}[/math]
[math]\overrightarrow{A_1A_4}\{6-6;9-6;3-5\}=\{0;3;-2\}[/math]
Косинус угла между векторами равен отношению скалярного произведения данных векторов к их длине.
Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат:
[math]\left(\overrightarrow{A_1A_2},\overrightarrow{A_1A_4}\right)=-2\cdot 0+3\cdot 3+0\cdot (-2)=9[/math]
Длину вектора с координатами [math]\{a;b;c\}[/math] ищем по формуле:
[math]d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}[/math].
Получим:
[math]|\overrightarrow{A_1A_2}|=\sqrt{(-2)^2+3^2+0^2}=\sqrt{13}[/math](было найдено в п.1)
[math]|\overrightarrow{A_1A_4}|=\sqrt{0)^2+3^2+(-2)^2}=\sqrt{13}[/math]
Т.о. косинус угла между рёбрами [math]A_1A_2[/math] и [math]A_1A_4[/math] равен:
[math]\cos{\varphi}=\frac{\left(\overrightarrow{A_1A_2},\overrightarrow{A_1A_4}\right)}{|\overrightarrow{A_1A_2}|\cdot|\overrightarrow{A_1A_4}|}=\frac{9}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{13}}=\frac{9}{13}[/math]
Откуда искомый угол:
[math]\varphi=\arccos{\frac{9}{13}}\approx 46,19^o[/math]

Во втором пункте поправка. Там будет не косинус, а синус:
Синус угла между прямой [math]\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n}[/math] и плоскостью [math]Ax+By+Cz+D=0[/math] можно найти по формуле:
[math]\sin{\psi}=\frac{|A\cdot l+B\cdot m+C\cdot n|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{l^2+m^2+n^2}}[/math]
Для найденных плоскости и прямой имеем:
[math]\sin{\psi}=\frac{|9\cdot 0+3\cdot 3+1\cdot (-2)|}{\sqrt{9^2+3^2+1^2}\sqrt{0^2+3^2+(-2)^2}}=\frac{|9-2|}{\sqrt{91}\sqrt{13}}=\frac{7}{\sqrt{1183}}\approx 11,74^o[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
Vadim Shlovikov, venjar, Wersel, WindOfChange
 Заголовок сообщения: Re: Найти уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань
СообщениеДобавлено: 16 дек 2011, 15:46 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 дек 2011, 13:34
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
3 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо! Затем нужно найти уравнение плоскости, на которой лежит грань А₁ А₂ А₃. Взял произвольную точку на плоскости М(x,y,z). Получается три вектора: А₁ А₂=(-2,3,0), А₁А₃=(-2,0,6), как найти вектор А₁М?


Огромное спасибо, все понятно разложили:) очень благодарен:)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань
СообщениеДобавлено: 16 дек 2011, 16:32 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 14:09
Сообщений: 18463
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11132
Спасибо получено:
5039 раз в 4553 сообщениях
Очков репутации: 682

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3) Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки [math](x_1;y_1;z_1),(x_2;y_2;z_2),(x_3;y_3;z_3)[/math] имеет вид:
[math]\left|\begin{matrix}x-x_1 & y-y_1 & \ z-z_1\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & \ z_2-z_1\\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & \ z_3-z_1\end{matrix} \right|=0[/math]
Тогда уравнение плоскости [math]A_1A_2A_3[/math]:
[math]\left|\begin{matrix}x-6 & y-6& \ z-5\\ 4-6 & 9-6 & \ 5-5\\ 4-6 & 6-6 & \ 11-5\end{matrix} \right|=0[/math]
или
[math]\left|\begin{matrix}x-6 & y-6& \ z-5\\ -2 & 3 & \ 0\\ -2 & 0 & \ 6\end{matrix} \right|=0[/math]
Откуда:
[math]18(x-6)+6(y-5)+2(z-6)=0[/math]

[math]18x+6y+2z-150=0[/math]

[math]9x+3y-z-75=0[/math]
Уравнение прямой, проходящей через точки [math](x_1;y_1;z_1),(x_2;y_2;z_2)[/math] имеет вид:
[math]\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}[/math]
Для ребра [math]A_1A_4[/math] получим:
[math]\frac{x-6}{6-6}=\frac{y-6}{9-6}=\frac{z-5}{3-5}[/math]
или
[math]\frac{x-6}{0}=\frac{y-6}{3}=\frac{z-5}{-2}[/math]
Косинус угла между прямой [math]\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n}[/math] и плоскостью [math]Ax+By+Cz+D=0[/math] можно найти по формуле:
[math]\cos{\psi}=\frac{|A\cdot l+B\cdot m+C\cdot n|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{l^2+m^2+n^2}}[/math]
Для найденных плоскости и прямой имеем:
[math]\cos{\psi}=\frac{|9\cdot 0+3\cdot 3+1\cdot (-2)|}{\sqrt{9^2+3^2+1^2}\sqrt{0^2+3^2+(-2)^2}}=\frac{|9-2|}{\sqrt{91}\sqrt{13}}=\frac{7}{\sqrt{1183}}\approx 78,26^o[/math]
Можно было попробовать через векторное и скалярное произведение, по сути это одно и тоже.


4) Площадь грани находим, по геометрическому свойству векторного произведения векторов: площадь треугольника равна модулю векторного призведения векторов, на которых он построен.
Векторное произведение векторов с координатами [math]\{a_1;b_1;c_1\}[/math] и [math]\{a_2;b_2;c_2\}[/math] можно найти по формуле:
[math][\vec{a},\vec{b}]=\left|\begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \ \vec{k}\\ a_1 & b_1 & \ c_1\\ a_2 & b_2 & \ c_2\end{matrix} \right|[/math]

Для векторов [math]\overrightarrow{A_1A_2},\overrightarrow{A_1A_3}[/math] имеем:

[math]\overrightarrow{A_1A_3}\{4-6;6-6;11-5\}=\{-2;0;6\}[/math]

[math]\left[\overrightarrow{A_1A_2},\overrightarrow{A_1A_3}\right]=\left|\begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \ \vec{k}\\ -2 & 3 & \ 0\\ -2 & 0 & \ 6\end{matrix} \right|=18\vec{i}+0\vec{j}+0\vec{k}+6\vec{k}+12\vec{j}+0\vec{i}=18\vec{i}+12\vec{j}+6\vec{k}[/math]
Тогда искомая площадь треугольника:
[math]S=\frac{1}{2}\sqrt{18^2+12^2+6^2}=\frac{\sqrt{504}}{2}=\frac{6\sqrt{14}}{2}=3\sqrt{14}[/math] кв.ед. (так как в результате векторного произведения получаем вектор, а модуль векторного произведения - длина этого вектора).

5) Объём треугольной пирамиды численно равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов, на которых она построена, исходящих из одной точки.
Смешанное произведение векторов с координатами [math]\{a_1;b_1;c_1\},\{a_2;b_2;c_2\},\{a_3;b_3;c_3\}[/math] можно найти по формуле:
[math]\left(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right)=\left|\begin{matrix}\a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3\end{matrix} \right|[/math]
Для векторов [math]\overrightarrow{A_1A_2},\overrightarrow{A_1A_3},\overrightarrow{A_1A_4}[/math] имеем:
[math]\left(\overrightarrow{A_1A_2},\overrightarrow{A_1A_3},\overrightarrow{A_1A_4}\right)=\left|\begin{matrix}\-2 & 3 & 0\\ -2 & 0 & 6\\ 0 & 3 & -2\end{matrix} \right|=0+0+0-0-12-36=-48[/math]
Так как результатом смешанного произведения является число, то искомый объём пирамиды равен:
[math]V=\frac{1}{6}\cdot |-48|=\frac{48}{6}=8[/math] куб.ед.

6) Уравнение прямой A_1A_2 находим по формуле, использованной в п.3:
[math]\frac{x-6}{4-6}=\frac{y-6}{9-6}=\frac{z-5}{5-5}[/math]
Получаем:
[math]\frac{x-6}{-2}=\frac{y-6}{3}=\frac{z-5}{0}[/math]

7) Уравнение плоскости [math]A_1A_2A_3[/math] было найдено в п.3.

8) Уравнение высоты, будем искать, как уравнение прямой, проходящей через точку [math](x_1;y_1;z_1)[/math] перпендикулярно плоскости [math]Ax+By+Cz+D=0[/math]:
[math]\frac{x-x_1}{A}=\frac{y-y_1}{B}=\frac{z-z_1}{C}[/math]
Так как вектор с координатами [math]\{A;B;C\}[/math] является нормальным вектором плоскости [math]Ax+By+Cz+D=0[/math], а следовательно, он является направляющим вектором перпендикуляра, опущенного на эту плоскость.
Для искомой высоты получим:
[math]\frac{x-6}{9}=\frac{y-9}{3}=\frac{x-3}{-1}[/math]


Maloi5
Да. По чертежам пирамиды у нас даже отдельная тема существует: viewtopic.php?f=33&t=9032
Напишите, туда.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
Vadim Shlovikov, venjar, WindOfChange
 Заголовок сообщения: по координатам вершин пирамиды, найти...
СообщениеДобавлено: 08 янв 2012, 21:21 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
08 янв 2012, 20:18
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пожалуйста, помогите решить задачу:
По координатам вершин пирамиды АВСД средствами векторной алгебры найти:
1) длины ребер АВ и АС;
2) угол между ребрами АВ и АС;
3) площадь грани АВС;
4) проекцию вектора АВ и АС;
5) объем пирамиды.

координаты точек А(3;-5;2) , В(4;5;1) , С(-3;0;-4) , Д(-4;5;-6)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: по координатам вершин пирамиды, найти...
СообщениеДобавлено: 09 янв 2012, 02:29 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 23:52
Сообщений: 5946
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 3211
Спасибо получено:
3073 раз в 2246 сообщениях
Очков репутации: 650

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Запишем векторы

[math]\begin{gathered}\overrightarrow{AB}= \vec b = \{ {b_x};{b_y};{b_z}\} = \{ {x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}\} = \ldots = \{ 1;10; - 1\} \hfill \\[5pt] \overrightarrow{AC}= \vec c = \{ {c_x};{c_y};{c_z}\} = \{ {x_C} - {x_A};{y_C} - {y_A};{z_C} - {z_A}\} = \ldots = \{ - 6;5; - 6\} \hfill \\[5pt] \overrightarrow{AD}= \vec d = \{ {d_x};{d_y};{d_z}\} = \{ {x_D} - {x_A};{y_D} - {y_A};{z_D} - {z_A}\} = \ldots = \{ - 7;10; - 8\} \hfill\end{gathered}[/math]

Вычислим длины рёбер [math]AB[/math] и [math]AC[/math]:

[math]\begin{gathered}|AB|= |\vec b|= \sqrt{\langle \vec b,\vec b \rangle}= \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2} = \ldots = \sqrt{102}\hfill\\[5pt] |AC|= |\vec c|= \sqrt{\langle \vec c,\vec c \rangle}= \sqrt{c_x^2 + c_y^2 + c_z^2} = \ldots= \sqrt{97}\hfill\end{gathered}[/math]

Вычислим скалярное произведение векторов [math]\vec{b}[/math] и [math]\vec{c}[/math]: [math]\langle \vec b,\vec c \rangle = {b_x} \cdot {c_x} + {b_y} \cdot {c_y} + {b_z} \cdot {c_z} = \ldots = 50[/math]

Найдём угол между ребрами [math]AB[/math] и [math]AC[/math]: [math]\angle (AB,AC) = \arccos \frac{\langle \vec b,\vec c \rangle}{|\vec b| \cdot|\vec c|}=\ldots= \arccos \frac{{50}}{{\sqrt {9894} }}[/math]

Вычислим векторное произведение векторов [math]\vec{b}[/math] и [math]\vec{c}[/math]:

[math]\vec b \times \vec c = \left|\!\!\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k} \\ {{b_x}}&{{b_y}}&{{b_z}} \\ {{c_x}}&{{c_y}}&{{c_z}} \end{array}\!\!\right| = \ldots = - 55\vec i + 65\vec j + 12\vec k = \{-55;65;12\}[/math]

Найдём площадь грани [math]ABC\colon~ S_{ABC}= \frac{1}{2}\Bigl|\vec b \times \vec c\Bigr|= \frac{1}{2}\sqrt{( - 55)^2+65^2+12^2}=\ldots=\frac{1}{2}\sqrt{7394}[/math]

Найдём проекцию вектора [math]\overrightarrow{AB}=\vec{b}[/math] на вектор [math]\overrightarrow{AC}=\vec{c}[/math]: [math]\overrightarrow{\operatorname{pr}} _{\vec c}\vec b = \frac{\langle \vec b,\vec c \rangle}{{\left\langle {\vec c,\vec c} \right\rangle }} \cdot \vec c = \ldots = \frac{{50}}{{97}}\{-6;5;- 6\}[/math]

Найдём смешанное произведение векторов [math]\langle \vec b,\vec c,\vec d\rangle= \left|\!\!\begin{array}{*{20}{c}}b_x&c_x&d_x\\ b_y&c_y&d_y\\ b_z&c_z&d_z \end{array}\!\!\right|=\ldots=-15[/math].

Вычислим объём пирамиды [math]ABCD\colon~ V_{{}_{ABCD}}= \frac{1}{6}\Bigl|\left\langle \vec b,\vec c,\vec d \right\rangle\Bigr| = \frac{{15}}{6} = \frac{5}{2}[/math]

Проверьте вычисления. Почитайте применение векторов при решении геометрических задач.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
byka, celso, Uncle Fedor, Vadim Shlovikov, valentina
 Заголовок сообщения: Re: Даны координаты вершин пирамиды ABCD, найти
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2014, 14:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
08 ноя 2014, 14:25
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
Во втором пункте поправка. Там будет не косинус, а синус:
Синус угла между прямой и плоскостью можно найти по формуле:

Для найденных плоскости и прямой имеем:

_________________


Здравствуйте! не могу понять от куда брать стороны А В С, подскажите пожалуйста

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Даны координаты вершин пирамиды ABCD, найти
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2014, 15:49 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
08 ноя 2014, 14:25
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот в этой формуле

Вложения:
mathtex.gif
mathtex.gif [ 2.57 Кб | Просмотров: 106521 ]
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Даны координаты вершин пирамиды ABCD, найти
СообщениеДобавлено: 08 ноя 2014, 17:07 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 14:09
Сообщений: 18463
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11132
Спасибо получено:
5039 раз в 4553 сообщениях
Очков репутации: 682

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нет в этой формуле никаких сторон. Там коэффициенты из уравнения плоскости.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Даны координаты вершин пирамиды ABCD найти

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

unive

1

938

11 янв 2014, 12:30

Даны координаты вершин пирамиды ABCD, найти

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Rembo93

3

2178

03 дек 2012, 13:53

Даны координаты вершин пирамиды ABCD

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

anastasia336

1

107

25 ноя 2016, 19:58

Даны координаты вершин пирамиды найти

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Mari993

1

533

26 окт 2014, 15:39

Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4. Найти

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Anastasiy

2

1938

09 дек 2013, 16:03

Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4. Найти:

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Diana_Badikova

3

291

17 янв 2016, 01:03

Даны координаты вершин пирамиды A1 A2 A3 A4

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Ivan73

6

1571

25 ноя 2014, 18:14

Даны координаты вершин пирамиды

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

goose

3

694

22 ноя 2012, 15:24

Даны координаты вершин пирамиды A1 A2 A3 A4.

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Alishka1

1

1069

13 дек 2012, 22:07

Даны координаты вершин пирамиды

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Tinka23

5

1021

11 ноя 2011, 03:32


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 33


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved