Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Даны координаты вершин треугольника АВС, найти ...
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=10392
Страница 1 из 2

Автор:  Alexdemath [ 29 ноя 2011, 01:29 ]
Заголовок сообщения:  Даны координаты вершин треугольника АВС, найти ...

Даны координаты вершин треугольника [math]ABC\colon\,A(x_{{}_A},y_{{}_A}),B(x_{{}_B},y_{{}_B}),C(x_{{}_C},y_{{}_C})[/math].
Сделать чертёж. Найти:
1) длины сторон [math]|AB|,|AC|,|BC|[/math];
2) уравнения сторон [math]AB,AC,BC[/math];
3) уравнения медиан [math]AA_1,BB_1,CC_1[/math];
4) длины медиан [math]|AA_1|,|BB_1|,|CC_1|[/math];
5) точку [math]M[/math] пересечения медиан [math]AA_1,BB_1,CC_1[/math];
6) площадь треугольника [math]S_{{}_{ABC}}[/math];
7) длину высоты [math]AA_2[/math], опущенную из вершины [math]A[/math] на прямую [math]BC[/math];

Можно воспользоваться калькулятором Решение треугольника Онлайн (с графиком и подробным решением).

Решение.

1) длины сторон [math]|AB|,|AC|,|BC|[/math]

[math]|AB|= \sqrt{(x_{{}_B}-x_{{}_A})^2+(y_{{}_B}-y_{{}_A})^2},\qquad |AC|= \sqrt{(x_{{}_C}-x_{{}_A})^2+(y_{{}_C}-y_{{}_A})^2},\qquad |BC|= \sqrt{(x_{{}_C}-x_{{}_B})^2+(y_{{}_C}-y_{{}_B})^2}.[/math]



2) уравнения сторон [math]AB,AC,BC[/math];

[math]AB\colon~ \frac{x-x_{{}_A}}{x_{{}_B}-x_{{}_A}}=\frac{y-y_{{}_A}}{y_{{}_B}-y_{{}_A}},\qquad AC\colon~ \frac{x-x_{{}_A}}{x_{{}_C}-x_{{}_A}}=\frac{y-y_{{}_A}}{y_{{}_C}-y_{{}_A}},\qquad BC\colon~ \frac{x-x_{{}_B}}{x_{{}_C}-x_{{}_B}}=\frac{y-y_{{}_B}}{y_{{}_C}-y_{{}_B}}[/math]



3) уравнения медиан [math]AA_1,BB_1,CC_1[/math]

Сначала координаты находим точек [math]A_1,B_1,C_1[/math]:

[math]A_1(x_{{}_{A_1}},y_{{}_{A_1}})= A_1\!\left(\frac{x_{{}_B}+x_{{}_C}}{2},\,\frac{y_{{}_B}+y_{{}_C}}{2}\right)\!,~ B_1(x_{{}_{B_1}},y_{{}_{B_1}})= B_1\!\left(\frac{x_{{}_A}+x_{{}_C}}{2},\,\frac{y_{{}_A}+y_{{}_C}}{2}\right)\!,~ C_1(x_{{}_{C_1}},y_{{}_{C_1}})= C_1\!\left(\frac{x_{{}_A}+x_{{}_B}}{2},\,\frac{y_{{}_A}+y_{{}_B}}{2}\right)\!.[/math]

[math]AA_1\colon~ \frac{x-x_{{}_A}}{x_{{}_{A_1}}-x_{{}_A}}=\frac{y-y_{{}_A}}{y_{{}_{A_1}}-x_{{}_A}},\qquad BB_1\colon~ \frac{x-x_{{}_B}}{x_{{}_{B_1}}-x_{{}_B}}=\frac{y-y_{{}_B}}{y_{{}_{B_1}}-x_{{}_B}},\qquad CC_1\colon~ \frac{x-x_{{}_C}}{x_{{}_{C_1}}-x_{{}_C}}=\frac{y-y_{{}_C}}{y_{{}_{C_1}}-x_{{}_C}}[/math]



4) длины медиан [math]|AA_1|,|BB_1|,|CC_1|[/math] из вершин [math]A,\,B[/math] и [math]C[/math]

[math]|AA_1|=\sqrt{(x_{{}_{A_1}}-x_{{}_A})^2+(y_{{}_{A_1}}-y_{{}_A})^2},~~ |BB_1|=\sqrt{(x_{{}_{B_1}}-x_{{}_B})^2+(y_{{}_{B_1}}-y_{{}_B})^2},~~ |CC_1|=\sqrt{(x_{{}_{C_1}}-x_{{}_C})^2+(y_{{}_{C_1}}-y_{{}_C})^2}.[/math]



5) точку [math]M[/math] пересечения медиан [math]AA_1,BB_1,CC_1[/math]

[math]M(x_{{}_M},y_{{}_M})= M\!\left(\frac{x_{{}_A}+x_{{}_B}+x_{{}_C}}{3},\, \frac{y_{{}_A}+y_{{}_B}+y_{{}_C}}{3}\right)[/math]



6) площадь треугольника [math]S_{{}_{ABC}}[/math]

[math]S_{{}_{ABC}}=\frac{|(x_{{}_B}-x_{{}_A})(y_{{}_C}-y_{{}_A})-(x_{{}_C}-x_{{}_A})(y_{{}_B}-y_{{}_A})|}{2}[/math]



7) длину высоты [math]AA_2[/math], опущенную из вершины [math]A[/math] на прямую [math]BC[/math]

Воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой

[math]|AA_2|= \frac{|(y_{{}_B}-y_{{}_C})x_{{}_A}+ (x_{{}_C}-x_{{}_B})y_{{}_A}+ (x_{{}_B}y_{{}_C}-x_{{}_C}y_{{}_B})|}{\sqrt{(y_{{}_B}-y_{{}_C})^2+ (x_{{}_C}-x_{{}_B})^2}}[/math]

Автор:  aya [ 05 дек 2011, 22:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Даны координаты вершин треугольника АВС, найти ...

задача похожая на мою из семестровой работы, отлично!

Автор:  VKarpov [ 08 ноя 2012, 13:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Даны координаты вершин треугольника АВС, найти ...

Но почему бы не добавить:
-- Радиус и центр вписанной окружности;
-- Радиус и центр описанной окружности.
что еще бывает у треугольника? Потом, лучше дать (может быть параллельно) формулы для трехмерного случая?

Автор:  pewpimkin [ 08 ноя 2012, 13:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Даны координаты вершин треугольника АВС, найти ...

Уравнения биссектрис еще.Самое, на мой взгляд , муторное

Автор:  VKarpov [ 08 ноя 2012, 16:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Даны координаты вершин треугольника АВС, найти ...

Я. откровенно говоря, не ориентируюсь в материалах форума. Но если в нем есть обзорные статьи, типа "Вычисление параметров треугольника", то их лучше писать и обсуждать вместе активным участникам форума. Готов принять посильное участие.

Автор:  Avgust [ 09 ноя 2012, 17:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Даны координаты вершин треугольника АВС, найти ...

Еще хорошо бы добавить штрих-код треугольника. Новое, так сказать, веяние.

Автор:  Gonchari [ 02 дек 2017, 12:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Даны координаты вершин треугольника АВС, найти ...

Здравствуйте помогите с решением поэтапно
Даны вершины треугольника АВС. Найти:1) уравнение сторон;2) длину стороны ВС; 3)уравнение высоты, опущенной из вершины А;4) площадь треугольника АВС; 5)систему неравенств, определяющих треугольник АВС. :) :) :)

А (-2;-6), В (-6; -3), С (10; -1).
заранее спасибо

Автор:  Ellipsoid [ 02 дек 2017, 15:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Даны координаты вершин треугольника АВС, найти ...

А Вы первое сообщение темы читали?

Автор:  Emeraldhoe [ 24 дек 2023, 10:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Даны координаты вершин треугольника АВС, найти ...

pewpimkin писал(а):
Уравнения биссектрис еще.Самое, на мой взгляд , муторное

Предлагаю найти уравнение биссектрисы так:
[math]\left| \overline{BA1} \right|[/math]=[math]\left| \overline{BC1} \right|[/math]=1

[math]\overline{BA1}[/math]=[math]\frac{ 1}{ \overline{\left| BA \right| } }[/math] *[math]\overline{BA}[/math]

[math]\overline{BC1}[/math]=[math]\frac{ 1}{ \overline{\left| BC \right| } }[/math] *[math]\overline{BC}[/math]

[math]\overline{BN1}[/math]=[math]\overline{BA1}[/math]+[math]\overline{BC1}[/math]

[math]\frac{ x-x_{B} }{ x_{BN1} }[/math]=[math]\frac{ y-y_{B} }{ y_{BN1} }[/math]Изображение

Автор:  wrobel [ 24 дек 2023, 13:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Даны координаты вершин треугольника АВС, найти ...

Декартовы системы координат тут совершенно неуместны по причине произвольности их выбора. Давайте считать, что треугольник ABC задан двумя векторам [math]\boldsymbol{AB},\boldsymbol{AC}.[/math] "Задан" означает, что эти векторы известны, в частности известны их модули и скалярное произведение. Вот через это и надо выражать все остальное.

Например, высота на сторону BC это вектор [math]\boldsymbol h=t\boldsymbol{AC}+(1-t)\boldsymbol{AB}.[/math] Параметр t ищется из уравнения [math](\boldsymbol h,\boldsymbol{AC}-\boldsymbol{AB})=0[/math]

Через S обозначим центр описанной окружности. Введем вектор
[math]\boldsymbol{AS}=x\boldsymbol{AC}+y\boldsymbol{AB}[/math].
Параметры x,y ищутся из системы
[math]|\boldsymbol{AS}|^2=|\boldsymbol{AS}-\boldsymbol{AC}|^2=|\boldsymbol{AS}-\boldsymbol{AB}|^2[/math]

Это система линейных уравнений относительно x,y

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/