Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 8 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
ElenaObrain |
|
|
Доказать, что векторы [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] образуют базис (линейно независимы), и найти разложение вектора [math]\vec{x}[/math] по этому базису. [math]\vec{x}=(-9,5,5),\quad \vec{a}= (4,1,1),\quad \vec{b}=(2,0,-3),\quad \vec{c}=(-1,2,1)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю ElenaObrain "Спасибо" сказали: kristy9 |
||
Alexdemath |
|
|
Есть онлайн-сервис доказать, что векторы образуют базис, и разложить вектор по базису
Вычислим определитель матрицы перехода, составленной из координат векторов [math]\vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}[/math] [math]\begin{aligned}\begin{vmatrix}4&2&-1\\ 1&0&2\\ 1&-3&1\end{vmatrix}&= 4 \cdot 0 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \cdot 1 + ( - 1) \cdot 1 \cdot (-3)-[(-1)\cdot0\cdot1+ 2 \cdot 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2\cdot(-3)]=\\[-14pt] &= 0 + 4 + 3 - (0 + 2 - 24) = 7 + 22 = 29 \ne 0. \end{aligned}[/math] Так как определитель матрицы перехода не равен нулю, то ранг этой матрицы равен трем и из теоремы о базисном миноре следует, что векторы [math]\vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}[/math] линейно независимы и могут быть приняты в качестве базиса пространства [math]\mathbb{R}^3[/math]. Пусть [math]x_1,x_2,x_3[/math] - координаты вектора [math]\vec{x}[/math] в базисе [math]\vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}[/math], тогда, согласно теореме о разложении вектора по базису в пространстве, имеем [math]\vec{x}= x_1\,\vec{a}+x_2\,\vec{b}+x_3\,\vec{c}~\,\Rightarrow~\,x_1\!\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}+ x_2\!\begin{pmatrix}2\\0\\ -3\end{pmatrix}+ x_3\!\begin{pmatrix} -1\\2\\ 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-9\\ 5 \\ 5\end{pmatrix}~\Rightarrow~\begin{cases}4x_1+ 2x_2-x_3=-9,\\ x_1+2x_3=5,\\ x_1-3x_2+x_3 = 5.\end{cases}[/math] Решим систему методом Крамера: [math]\begin{aligned} \Delta&=\begin{vmatrix}4&2&-1\\ 1&0&2\\ 1&-3&1\end{vmatrix}=29;\\ \Delta x_1&= \begin{vmatrix}-9&2&-1\\ 5&0&2\\5&-3&1\end{vmatrix}=\ldots=- 29~~\Rightarrow~~ x_1= \frac{\Delta x_1}{\Delta}=\frac{-29}{29}=-1;\\ \Delta x_2&=\begin{vmatrix}4&-9&-1\\ 1&5&2\\ 1&5&1 \end{vmatrix}=\ldots= -29~\Rightarrow~~x_2= \frac{\Delta x_2}{\Delta}= \frac{-29}{29}=-1;\\ \Delta x_3&= \begin{vmatrix} 4&2&-9\\ 1&0&5\\ 1&-3&5\end{vmatrix}=\ldots=87~~\Rightarrow~~x_3= \frac{\Delta x_3}{\Delta}=\frac{87}{29}=3.\end{aligned}[/math] Подробное решение системы можно получить здесь: метод Крамера онлайн. Также есть Онлайн-решатель для разложения вектора по базису. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: AlexSalemski, kristy9, paveligorevich, sfanter, toxa_na_svyazi, Troy79 |
||
AlexSalemski |
|
|
Всё понял в решении, но никак не могу въехать, почему базис именно "3"...
|
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
AlexSalemski писал(а): Всё понял в решении, но никак не могу въехать, почему базис именно "3"... Что такое "3"? |
||
Вернуться к началу | ||
AlexSalemski |
|
|
Прошу прощения, неправильно выразился.
"Так как определитель матрицы перехода не равен нулю, то ранг этой матрицы равен трем" Почему именно трем? Это по определению, или определяется условием? |
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
AlexSalemski писал(а): Прошу прощения, неправильно выразился. "Так как определитель матрицы перехода не равен нулю, то ранг этой матрицы равен трем" Почему именно трем? Это по определению, или определяется условием? По определению ранга матрицы:
|
||
Вернуться к началу | ||
AlexSalemski |
|
|
Спасибо!
|
||
Вернуться к началу | ||
nikifal |
|
|
Спасибо за информацию, очень помогло.
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 8 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Векторы образуют базис трехмерного пространства | 1 |
559 |
12 ноя 2016, 23:36 |
|
Найти, образуют ли векторы базис пространства строк
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
3 |
614 |
14 апр 2016, 09:43 |
|
Показать что векторы образуют базис, и найти координаты вект | 11 |
1550 |
10 апр 2014, 17:33 |
|
Образуют ли векторы базисы
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
4 |
258 |
21 окт 2020, 15:26 |
|
Ортогональный базис подпространства, натянутого на векторы
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
0 |
808 |
10 окт 2017, 18:22 |
|
Векторы можно принять за базис (проверить решение) | 3 |
184 |
20 окт 2020, 20:49 |
|
Векторы. Базис трехмерного пространства. Уравнение плоскости | 3 |
658 |
06 дек 2017, 14:51 |
|
Найти присоединенные векторы и составить Жорданов базис
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
1 |
210 |
16 май 2021, 02:17 |
|
Доказать что точки образуют прямоугольный треугольник
в форуме Геометрия |
7 |
208 |
11 май 2020, 02:57 |
|
Доказать что векторы коллинеарны | 1 |
400 |
05 ноя 2014, 21:40 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 26 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |