Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать, что векторы а, b, c образуют базис
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2011, 22:03 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 ноя 2011, 13:55
Сообщений: 15
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите с решением, пожалуйста.

Доказать, что векторы [math]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/math] образуют базис (линейно независимы), и найти разложение вектора [math]\vec{x}[/math] по этому базису.

[math]\vec{x}=(-9,5,5),\quad \vec{a}= (4,1,1),\quad \vec{b}=(2,0,-3),\quad \vec{c}=(-1,2,1)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ElenaObrain "Спасибо" сказали:
kristy9
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что векторы а, b, c образуют базис
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2011, 22:55 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 23:52
Сообщений: 5955
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 3217
Спасибо получено:
3087 раз в 2250 сообщениях
Очков репутации: 650

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Есть онлайн-сервис доказать, что векторы образуют базис, и разложить вектор по базису

Вычислим определитель матрицы перехода, составленной из координат векторов [math]\vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}[/math]

[math]\begin{aligned}\begin{vmatrix}4&2&-1\\ 1&0&2\\ 1&-3&1\end{vmatrix}&= 4 \cdot 0 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \cdot 1 + ( - 1) \cdot 1 \cdot (-3)-[(-1)\cdot0\cdot1+ 2 \cdot 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2\cdot(-3)]=\\[-14pt] &= 0 + 4 + 3 - (0 + 2 - 24) = 7 + 22 = 29 \ne 0. \end{aligned}[/math]

Так как определитель матрицы перехода не равен нулю, то ранг этой матрицы равен трем и из теоремы о базисном миноре следует, что векторы [math]\vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}[/math] линейно независимы и могут быть приняты в качестве базиса пространства [math]\mathbb{R}^3[/math].
Пусть [math]x_1,x_2,x_3[/math] - координаты вектора [math]\vec{x}[/math] в базисе [math]\vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}[/math], тогда, согласно теореме о разложении вектора по базису в пространстве, имеем

[math]\vec{x}= x_1\,\vec{a}+x_2\,\vec{b}+x_3\,\vec{c}~\,\Rightarrow~\,x_1\!\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}+ x_2\!\begin{pmatrix}2\\0\\ -3\end{pmatrix}+ x_3\!\begin{pmatrix} -1\\2\\ 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-9\\ 5 \\ 5\end{pmatrix}~\Rightarrow~\begin{cases}4x_1+ 2x_2-x_3=-9,\\ x_1+2x_3=5,\\ x_1-3x_2+x_3 = 5.\end{cases}[/math]
Решим систему методом Крамера:

[math]\begin{aligned} \Delta&=\begin{vmatrix}4&2&-1\\ 1&0&2\\ 1&-3&1\end{vmatrix}=29;\\ \Delta x_1&= \begin{vmatrix}-9&2&-1\\ 5&0&2\\5&-3&1\end{vmatrix}=\ldots=- 29~~\Rightarrow~~ x_1= \frac{\Delta x_1}{\Delta}=\frac{-29}{29}=-1;\\ \Delta x_2&=\begin{vmatrix}4&-9&-1\\ 1&5&2\\ 1&5&1 \end{vmatrix}=\ldots= -29~\Rightarrow~~x_2= \frac{\Delta x_2}{\Delta}= \frac{-29}{29}=-1;\\ \Delta x_3&= \begin{vmatrix} 4&2&-9\\ 1&0&5\\ 1&-3&5\end{vmatrix}=\ldots=87~~\Rightarrow~~x_3= \frac{\Delta x_3}{\Delta}=\frac{87}{29}=3.\end{aligned}[/math]

Подробное решение системы можно получить здесь: метод Крамера онлайн.
Также есть Онлайн-решатель для разложения вектора по базису.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
AlexSalemski, kristy9, paveligorevich, sfanter, toxa_na_svyazi, Troy79, Vadim Shlovikov
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что векторы а, b, c образуют базис
СообщениеДобавлено: 17 ноя 2013, 02:26 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
17 ноя 2013, 02:23
Сообщений: 3
Откуда: Симферополь
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всё понял в решении, но никак не могу въехать, почему базис именно "3"...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что векторы а, b, c образуют базис
СообщениеДобавлено: 17 ноя 2013, 03:49 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 23:52
Сообщений: 5955
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 3217
Спасибо получено:
3087 раз в 2250 сообщениях
Очков репутации: 650

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
AlexSalemski писал(а):
Всё понял в решении, но никак не могу въехать, почему базис именно "3"...

Что такое "3"?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что векторы а, b, c образуют базис
СообщениеДобавлено: 17 ноя 2013, 17:26 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
17 ноя 2013, 02:23
Сообщений: 3
Откуда: Симферополь
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Прошу прощения, неправильно выразился.
"Так как определитель матрицы перехода не равен нулю, то ранг этой матрицы равен трем" Почему именно трем? Это по определению, или определяется условием?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что векторы а, b, c образуют базис
СообщениеДобавлено: 17 ноя 2013, 19:17 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 23:52
Сообщений: 5955
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 3217
Спасибо получено:
3087 раз в 2250 сообщениях
Очков репутации: 650

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
AlexSalemski писал(а):
Прошу прощения, неправильно выразился.
"Так как определитель матрицы перехода не равен нулю, то ранг этой матрицы равен трем" Почему именно трем? Это по определению, или определяется условием?

По определению ранга матрицы:

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что векторы а, b, c образуют базис
СообщениеДобавлено: 17 ноя 2013, 20:35 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
17 ноя 2013, 02:23
Сообщений: 3
Откуда: Симферополь
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что векторы а, b, c образуют базис
СообщениеДобавлено: 09 фев 2015, 05:20 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
09 фев 2015, 02:37
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо за информацию, очень помогло.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать по определению, что векторы образуют базис

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

MAKSUS_87

1

448

14 дек 2013, 14:19

Векторы образуют базис трехмерного пространства

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Cinnamon_I

1

220

13 ноя 2016, 00:36

Найти, образуют ли векторы базис пространства строк

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Alinmora

3

214

14 апр 2016, 10:43

Показать что векторы образуют базис, и найти координаты вект

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Grigori

11

1144

10 апр 2014, 18:33

Векторы а и в образуют угол 120 градусов. Зная, что |a|=1

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Ivan7776

11

1050

19 дек 2013, 00:17

Векторы и базис

в форуме Геометрия

hardstyle993

1

258

24 дек 2012, 23:05

Ортогональный базис подпространства, натянутого на векторы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

kicultanya

0

136

10 окт 2017, 19:22

Векторы. Базис трехмерного пространства. Уравнение плоскости

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Lisuka

3

172

06 дек 2017, 15:51

Доказать, что 2 прямые образуют угол, меньший 26 град

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

sheff

7

474

22 окт 2013, 11:33

Доказать что векторы коллинеарны

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Snoop88

1

218

05 ноя 2014, 22:40


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved