Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти множество решений однородной системы
СообщениеДобавлено: 16 ноя 2011, 22:33 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 ноя 2011, 21:38
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Найти множество решений однородной системы трех линейных уравне-
ний с четырьмя неизвестными.

[math]\begin{cases}x_1+4x_2-3x_3-9x_4=0,\\ 3x_2-7x_3-10x_4=0,\\ 2x_1+5x_2+x_3-8x_4=0.\end{cases}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти множество решений однородной системы
СообщениеДобавлено: 16 ноя 2011, 23:28 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
11 май 2011, 17:52
Сообщений: 4429
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
1115 раз в 923 сообщениях
Очков репутации: 409

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Элементарными преобразованиями приведите матрицу системы к ступенчатому виду.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти множество решений однородной системы
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2011, 17:21 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 23:52
Сообщений: 5946
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 3211
Спасибо получено:
3073 раз в 2246 сообщениях
Очков репутации: 650

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Raihan, используйте метод Гаусса.
Сначала из строки 3 вычитаем строку 1, умноженную на 2, затем из строки 3 вычтем строку 2, умноженную на -1.

[math]\left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}1&4&-3&-9&\vline &0\\ 0&3&-7}&-10&\vline & 0 \\ 2&5&1&{ - 8}&\vline & 0 \end{array}\!\!\right)\sim \left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}} 1&4&-3&-9&\vline & 0 \\ 0&3&-7&-10&\vline & 0 \\ 0&-3&7&10&\vline & 0 \end{array}\!\!\right) \sim \left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}1&4&-3&-9&\vline & 0\\ 0&3&-7&-10&\vline & 0\\ 0&0&0&0&\vline & 0\end{array}\!\!\right)\!.[/math]

Как видно, система имеет решение, так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Рассмотрим строку 2 последней получившейся расширенной матрицы, которая эквивалентна следующему уравнению:

[math]3x_2-7x_3-10x_4=0[/math]. Выразим [math]x_2[/math] через [math]x_3[/math] и [math]x_4[/math]

[math]x_2=\frac{7}{3}x_3+\frac{10}{3}x_4[/math].

Рассмотрим строку 1 последней получившейся расширенной матрицы, которая эквивалентна следующему уравнению:

[math]x_1+4x_2-3x_3-9x_4=0[/math]. Выразим [math]x_1[/math] через [math]x_2,x_3[/math] и [math]x_4[/math]

[math]x_1=-4x_2+3x_3+9x_4[/math]. Подставим, ранее найденное, значение переменной [math]x_2[/math]

[math]x_1=-4\!\left(\frac{7}{3}x_3+\frac{10}{3}x_4\right)+3x_3+9x_4=-\frac{19}{3}x_3-\frac{13}{3}x_4[/math].

Ответ: [math]\begin{cases}x_1=-\dfrac{19}{3}\,x_3-\dfrac{13}{3}\,x_4,\\[10pt] x_2=\dfrac{7}{3}\,x_3+\dfrac{10}{3}\,x_4,\end{cases}[/math] где [math]x_3,x_4[/math] - свободные переменные.


Последний раз редактировалось Alexdemath 18 ноя 2011, 22:39, всего редактировалось 1 раз.
Опечатка

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти множество решений однородной системы
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2011, 22:11 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
20 ноя 2011, 21:58
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Найти множество решений однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными

[math]\begin{cases}3x_1+x_2-2x_3-x_4=0,\\4x_1-3x_2+5x_3-3x_4=0,\\ x_1+3x_2-6x_3-10x_4=0.\end{cases}[/math]

Меняем местами строки, после первую строку умножаем на -3 и -4 и прибавляем ее ко второй и четвертой
1 3 - 6 - 10 * -3 и * -4
3 1 - 2 - 1
4 - 3 5 - 3
После умножения и сложения получаем-
1 3 -6 -10
0 -8 16 29
0 -15 29 37
Теперь вторую строку умножать на - 15/8 чтобы привести уравнение к треугольной форме и через х3 и х4 выразить х4.
Если все же мы умножим то получим
1 3 -6 -10
0 -8 16 29
0 0 -1 731/8
Теперь допустим что х3= \alpha , где \alpha \in \mathbb{R}

я правильно развиваю мысль или нет ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти множество решений однородной системы
СообщениеДобавлено: 24 янв 2012, 21:54 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 янв 2012, 13:19
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
доброго времени суток))
помогите, плиз с аналогичной задачей
[math]\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2{x_1} - 2{x_2} + {x_3} - {x_4} = 0,} \\ {2{x_1} - 3{x_2} + 5{x_3} + 4{x_4} = 0,} \\ { - 2{x_1} + {x_2} + 3{x_3} + 6{x_4} = 0.} \end{array}} \right.\][/math]
Вот мое решение, но мне уже ясно дали понять, - оно неправильное :(
Запишем систему в виде матрицы
[math]\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 2}&1&{ - 1} \\ 2&{ - 3}&5&4 \\ { - 2}&1&3&6 \end{array}} \right| = \left| \begin{gathered} 0 \hfill \\ 0 \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right|\][/math]
Дальше я умножил 2-ую строку на (-1), и добавил 2-ую строку к 1-ой
[math]\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&{ - 4}&{ - 5} \\ 2&{ - 3}&5&4 \\ { - 2}&1&3&6 \end{array}} \right| = \left| \begin{gathered} 0 \hfill \\ 0 \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right|\][/math]
Дальше я добавил 3-ю строку ко второй
[math]\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&{ - 4}&{ - 5} \\ 0&{ - 2}&8&10 \\ { - 2}&1&3&6 \end{array}} \right| = \left| \begin{gathered} 0 \hfill \\ 0 \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right|\][/math]
Умножил 1-ую строку на (2) и добавил 2-ую строку к 1-ой
[math]\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0 \\ 0&{ - 2}&8&{10} \\ { - 2}&1&3&6 \end{array}} \right| = \left| \begin{gathered} 0 \hfill \\ 0 \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right|\][/math]
из 2-ой строки выразил
[math]\[{x_2} = \frac{{0 - 8 * 0 - 10 * 0}}{{ - 2}} = \frac{0}{{ - 2}} = 0\][/math]
и из 3-й строки выразил
[math]\[{x_1} = \frac{{0 - 1 * 0 - 3 * 0 - 6 * 0}}{{ - 2}} = \frac{0}{{ - 2}} = 0\][/math]
Но ведь ноль не должен получаться, должно быть "множество решений"
Помогите плиз!!!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти множество решений однородной системы
СообщениеДобавлено: 24 янв 2012, 22:16 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
20 фев 2011, 00:53
Сообщений: 1804
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 273
Спасибо получено:
942 раз в 738 сообщениях
Очков репутации: 221

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\begin{gathered} {x_2} = \frac{{0 - 8{x_3} - 10{x_4}}}{{ - 2}} = 4{x_3} + 5{x_4} \hfill \\ {x_1} = \frac{{0 - {x_2} - 3{x_3} - 6{x_4}}}{{ - 2}} = \frac{{4{x_3} + 5{x_4}}}{2} + \frac{3}{2}{x_3} + 3{x_4} = \frac{7}{2}{x_3} + \frac{{11}}{2}{x_4} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
hmury
 Заголовок сообщения: Re: Найти множество решений однородной системы
СообщениеДобавлено: 25 янв 2012, 03:55 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 23:52
Сообщений: 5946
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 3211
Спасибо получено:
3073 раз в 2246 сообщениях
Очков репутации: 650

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
hmury писал(а):
доброго времени суток))
помогите, плиз с аналогичной задачей
[math]\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2{x_1} - 2{x_2} + {x_3} - {x_4} = 0,} \\ {2{x_1} - 3{x_2} + 5{x_3} + 4{x_4} = 0,} \\ { - 2{x_1} + {x_2} + 3{x_3} + 6{x_4} = 0.} \end{array}} \right.[/math]
Помогите плиз!!!

Приведём расширенную матрицу системы к диагональному виду с помощью метода Гаусса-Жордана:

1) запишем расширенную матрицу системы уравнений;
2) поменяем местами строки 1 и 3;
3) прибавим строку 1 к строкам 2 и 3;
4) поменяем местами строки 2 и 3;
5) умножим строку 2 на -2 и прибавим её к строке 3;
6) умножим строку 2 на -1;
7) умножим строку 2 на -1 и прибавим её к строке 1;
8) строку 1 разделим на -2;

[math]\begin{gathered}\left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}} 2&{-2}&1&{-1}\\2&{-3}&5&4\\{-2}&1&3&6\end{array}\!\!\right)\sim \left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}} {-2}&1&3&6\\2&{-3}&5&4\\2&{-2}&1&{-1}\end{array}\!\!\right)\sim \left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}} {-2}&1&3&6\\0&{-2}&8&{10}\\0&{-1}&4&5 \end{array}\!\!\right)\sim\hfill\\[5pt] \sim\left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}} {-2}&1&3&6\\0&{-1}&4&5\\0&{-2}&8&{10} \end{array}\!\!\right)\sim \left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}} {-2}&1&3&6\\0&{-1}&4&5\\0&0&0&0\end{array}\!\!\right)\sim\left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}} {-2}&1&3&6\\0&1&{-4}&{-5}\\0&0&0&0\end{array}\!\!\right)\sim \hfill\\[5pt]\sim\left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}} {-2}&0&7&{11}\\0&1&{-4}&{-5}\\0&0&0&0 \end{array}\!\!\right)\sim \left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}} 1&0&{-\dfrac{7}{2}}&{-\dfrac{{11}}{2}}\\0&1&{-4}&{-5}\\0&0&0&0 \end{array}\!\!\right)~ \Rightarrow~ \begin{cases}x_1=\dfrac{7}{2}\,x_3+\dfrac{11}{2}\,x_4,\\[3pt] x_2=4x_3+5x_4.\end{cases} \hfill\\\end{gathered}[/math]

где [math]x_1,\,x_2[/math] - базисные переменные, а [math]x_3,\,x_4[/math] - свободные переменные.

Найдём фундаментальную систему решений. Так как [math]n=4[/math] (количество неизвестных) и [math]r=\operatorname{rg}A=2[/math] (ранг матрицы коэффициентов неизвестных), то надо подобрать [math]n-r=2[/math] линейно независимых решения. Подставляем в преобразованную систему такие наборы значений свободных переменных, чтобы избавиться от дробей:

1) если [math]x_3=2,~x_4=0[/math], то [math]x_1=7,~x_2=8[/math];
2) если [math]x_3=0,~x_4=2[/math], то [math]x_1=11,~x_2=10[/math].

Записываем фундаментальную систему решений: [math]\varphi_1=\begin{pmatrix} 7&8&2&0 \end{pmatrix}^T,~~ \varphi_2= \begin{pmatrix}{11}&{10}&0&2 \end{pmatrix}^T[/math].
Записываем общее решение исходной однородной системы уравнений:

[math]x=C_1\cdot\varphi_1+ C_2\cdot\varphi_2=C_1\! \begin{pmatrix} 7\\8\\2\\0 \end{pmatrix} + C_2\! \begin{pmatrix} 11\\10\\0\\2 \end{pmatrix}[/math], где [math]C_1,\,C_2[/math] - произвольные постоянные.

Смотрите теорему об общем решении однородной системы уравнений.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
hmury, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Найти множество решений однородной системы
СообщениеДобавлено: 26 янв 2012, 20:48 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 янв 2012, 13:19
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо большое!!! вот "+" :good:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Методом Гаусса найти множество решений однородной системы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

abochar

5

428

02 дек 2011, 16:52

Построить множество решений системы неравенств

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Lena_titova

1

195

22 ноя 2014, 16:07

Построить множество решений системы линейных неравенств

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

froska

40

2166

24 окт 2013, 06:57

Построить множество решений системы линейных неравенст

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Roccat526

1

86

02 янв 2017, 21:53

Найти ФСР однородной системы уравнений

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

f0rt1q

2

349

17 ноя 2013, 14:56

найти общее решение однородной системы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

mots_ul

1

379

13 ноя 2011, 11:49

Найти множество решений уравнения

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

ivashenko

4

76

10 окт 2017, 13:13

Найти фундаментальную систему решений системы уравнений

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

dmitriykn9z

1

231

04 май 2014, 13:53

найти область решений системы линейных неравенств

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

zarema

1

531

30 ноя 2011, 16:58

Нулевое решение однородной системы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

nata+++

4

292

08 июн 2014, 13:32


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 14


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved