Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Через точки A и B провести плоскость
СообщениеДобавлено: 07 фев 2021, 16:29 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Vlad_ok
Vlad_ok писал(а):
Через точки A(2,−1,−2)и B(6,1,−1)провести плоскость такую, что расстояние от нее до точки C(4,0,1)равно d=√5.

Как я и ожидал, мне не удалось обойтись без ошибок при попытке решить эту задачу. Главной причиной тому моя невнимательность. После работы над ошибками вкратце воспроизведу суть предложенного мной решения.

▼ Решение задачи
[math]\vec{AB}=\left\{ 6-2;~1-(-1);~-1-(-2) \right\}=\left\{ 4;~2;~1 \right\}[/math]

-- направляющий вектор прямой [math]AB;[/math]
[math]\frac{x-2}{4}=\frac{y-(-1)}{2}=\frac{z-(-2)}{1},[/math]

или
[math]\frac{x-2}{4}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+2}{1}[/math]

-- канонические уравнения прямой [math]AB;[/math]
[math]2(x-2)=4(y+1)[/math] и [math]2(z+2)=1(y+1),[/math]

или
[math]2x-4=4y+4[/math] и [math]2z+4=y+1,[/math]

или
[math]x-2y-4=0[/math] и [math]y-2z-3=0[/math]

-- уравнения прямой [math]AB[/math] в виде линии пересечения двух плоскостей;
[math]\alpha (x-2y-4)+\beta (y-2z-3)=0,[/math]

или
[math]\alpha x+(-2 \alpha+\beta)y-2 \beta z+(-4 \alpha-3 \beta)=0[/math]

-- уравнение пучка плоскостей, определяемого прямой [math]AB;[/math]
[math]A=\alpha,~B= -2 \alpha+\beta,~C=-2 \beta[/math] -- координаты нормального вектора искомой плоскости; [math]D=-4 \alpha-3 \beta;[/math]

из формулы для расстояния от точки [math]C(4;~0;~1)[/math] до искомой плоскости получим
[math]\rho=\frac{\left| 4 \cdot \alpha+0 \cdot (-2 \alpha+\beta)+1 \cdot (-2 \beta)+(-4 \alpha-3 \beta) \right|}{\sqrt{\alpha^2+(-2 \alpha+\beta)^2+(-2 \beta)^2}}=\sqrt{5},[/math]

[math]\frac{\left| -5 \beta \right|}{\sqrt{5 \alpha^2-4 \alpha \beta+5 \beta^2}}=\sqrt{5},[/math]

что при [math]\left| -5 \beta \right|=\sqrt{5}[/math] даёт два случая:
1) [math]-5 \beta=-\sqrt{5},[/math] [math]\beta=\frac{1}{\sqrt{5}},[/math]
[math]\sqrt{5 \alpha^2-4 \alpha \beta+5 \beta^2}=\sqrt{5 \alpha^2-\frac{4}{\sqrt{5}} \alpha+1}=1,[/math]

[math]5 \alpha^2-\frac{4}{\sqrt{5}} \alpha+1=1,[/math]

[math]5 \alpha^2-\frac{4}{\sqrt{5}} \alpha=0,[/math]

[math]\alpha \left( 5 \alpha-\frac{4}{\sqrt{5}} \right)=0[/math]

откуда [math]\alpha_1=0,~\alpha_2=\frac{4}{5 \sqrt{5}},[/math] и получаем два уравнения для искомой плоскости:
1а)
[math]0x+ \left( -2 \cdot 0+\frac{1}{\sqrt{5}} \right)y+ \left( -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \right)z+\left( -4 \cdot 0-3 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \right)=0,[/math]

[math]\frac{1}{\sqrt{5}}y-\frac{2}{\sqrt{5}}z-\frac{3}{\sqrt{5}}=0,[/math]

[math]y-2z-3=0[/math] -- первое уравнение;

1б)
[math]\frac{4}{5 \sqrt{5}}x+ \left( -2 \cdot \frac{4}{5 \sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}} \right)y+ \left( -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \right)z+\left( -4 \cdot \frac{4}{5 \sqrt{5}}-3 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \right)=0,[/math]

[math]\frac{4}{5 \sqrt{5}}x-\frac{3}{5 \sqrt{5}}y-\frac{10}{5 \sqrt{5}}z-\frac{31}{5 \sqrt{5}}=0,[/math]

[math]4x-3y-10z-31=0[/math] -- второе уравнение;

2) [math]-5 \beta=\sqrt{5},[/math] [math]\beta=-\frac{1}{\sqrt{5}},[/math]
[math]\sqrt{5 \alpha^2-4 \alpha \beta+5 \beta^2}=\sqrt{5 \alpha^2+\frac{4}{\sqrt{5}} \alpha+1}=1,[/math]

[math]5 \alpha^2+\frac{4}{\sqrt{5}} \alpha+1=1,[/math]

[math]5 \alpha^2+\frac{4}{\sqrt{5}} \alpha=0,[/math]

[math]\alpha \left( 5 \alpha+\frac{4}{\sqrt{5}} \right)=0[/math]

откуда [math]\alpha_1=0,~\alpha_2=-\frac{4}{5 \sqrt{5}},[/math] и получаем два уравнения для искомой плоскости:
2а)
[math]0x+ \left( -2 \cdot 0+\frac{1}{\sqrt{5}} \right)y+ \left( -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \right)z+\left( -4 \cdot 0-3 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \right)=0,[/math]

[math]\frac{1}{\sqrt{5}}y-\frac{2}{\sqrt{5}}z-\frac{3}{\sqrt{5}}=0,[/math]

[math]y-2z-3=0[/math] -- первое уравнение;

2б)
[math]-\frac{4}{5 \sqrt{5}}x+ \left( -2 \cdot \left( -\frac{4}{5 \sqrt{5}} \right)+\left( -\frac{1}{\sqrt{5}} \right) \right)y+ \left( -2 \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{5}} \right) \right)z+\left( -4 \cdot \left( -\frac{4}{5 \sqrt{5}} \right)-3 \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{5}} \right) \right)=0,[/math]

[math]-\frac{4}{5 \sqrt{5}}x+\frac{13}{5 \sqrt{5}}y+\frac{10}{5 \sqrt{5}}z+\frac{31}{5 \sqrt{5}}=0,[/math]

[math]-4x+3y+10z+31=0,[/math]

[math]4x-3y-10z-31=0[/math] -- второе уравнение.

Эти уравнения те же, что и в первом случае. Значит, искомыми являются две плоскости: [math]y-2z-3=0[/math] или [math]4x-3y-10z-31=0.[/math]


slava_psk
slava_psk писал(а):
4x-3y-10z-31=0

Я плохо знаю математику, но моё пространственное воображение подсказывает мне, что искомых плоскостей должно быть две. Возможно, мне удалось определить их уравнения в решении, которое я предложил автору вопроса.

Не принимайте, пожалуйста, моё решение на веру. Во-первых, не исключены ошибки в вычислениях, хотя я и старался их избежать. Во-вторых, я начинаю плохо соображать... :oops:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
Vlad_ok
 Заголовок сообщения: Re: Через точки A и B провести плоскость
СообщениеДобавлено: 07 фев 2021, 16:49 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 13:40
Сообщений: 3550
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
624 раз в 591 сообщениях
Очков репутации: 98

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy, вы совершенно правы. Второе уравнение будет плоскость: y-2z-3=0

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Через точки A и B провести плоскость
СообщениеДобавлено: 07 фев 2021, 23:37 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Когда-то на форуме выкладывал код, который считал четыре плоскости, проходящие через заданную точку O и касающиеся двух заданных сфер O1 и O2. Не буду его упрощать, подставлю нулевой радиус сферы O1.
/*Задание центров и радиусов сфер 1 и 2*/
O=(2,-1,-2);O1=(6,1,-1);O2=(4,0,1);R1=0;R2=sqrt 5;
ext=2;/*Число пар решений*/
/*Расчет нормали к плоскости, задаваемой точками O,O1,O2*/
V=(O1-O)vert(O2-O);
LB1:
print "Коэффициенты уравнений двух плоскостей касания и соответствующие им точки касания. Вариант касания ",3-ext;
OP=solve(V,0\O1-O,R1\O2-O,R2);L=sqrt(1-OP*OP);
N1=OP+L*V/abs V;
print "Плоскость 1:",(N1,-N1*O)*abs V;
print "T11=",T11=O1-N1*R1;
print "T12=",T12=O2-N1*R2;
N2=OP-L*V/abs V;
print "Плоскость 2:",(N2,-N2*O)*abs V;
print "T21=",T21=O1-N2*R1;
print "T22=",T22=O2-N2*R2;
print;
if(ext--,R2=-R2,goto LB2);
goto LB1;
LB2:

Получается:
Изображение
Плоскостей четыре, но на самом деле там две одинаковые с точностью до множителя пары.
Результат численного расчета соответствует результату slava_psk.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3  Страница 3 из 3 [ Сообщений: 23 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Провести плоскость через точку перпендикулярную данной

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

gail-ul

6

361

25 ноя 2016, 19:29

Через прямую провести плоскость параллельную прямой

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Safinika

4

1513

23 ноя 2017, 18:35

Провести через точку M прямую

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

ALON

1

222

25 дек 2022, 19:04

Провести дугу через точку и касательно к окружности

в форуме Геометрия

NemoSUN

8

326

21 мар 2017, 14:07

Через начало координат провести прямую равноудаленную от т

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

lanuska_mur

9

937

25 июн 2015, 19:29

Провести дугу через точку и касательно к линии

в форуме Геометрия

NemoSUN

15

309

13 янв 2022, 14:27

Провести через вершину C прямую, параллельную ребру AD, и на

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

sms66

7

636

23 дек 2015, 00:29

Проекция точки на плоскость

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Maik

4

350

31 мар 2021, 18:16

Через точку провести прямую и найти уравнение прямой

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

lanvandance

3

598

30 окт 2018, 16:08

Провести через точку прямую параллельную другой прямой

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

MisterOrange

1

420

28 май 2019, 20:38


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved