Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вопросы по линейной алгебре
СообщениеДобавлено: 28 июн 2020, 18:14 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 июн 2020, 17:54
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. Будет ли верен критерий Сильвестра отрицательно определенной симметричной билинейной формы, если вместо левых верхних угловых миноров взять правые нижние для определения знаков?
2. Возможен ли оператор А такой, что rank A = 5, rank A[math]{^2}[/math]= 4, rank A[math]{^3}[/math] = 2. (Приходит идея использовать жорданову форму для явного предъявления такого оператора, но верно ведь, что понижение размерности образа с каждым применением понижается только у вырожденного оператора?)
3. Образуют ли все решения матричного уравнения АХ = В аффинное пространство? А если АХ = В? (Знаю, что Ах = b образует аффинное пространство, ассоциированное с однородной системой Ax = 0. Но здесь x, b - вектора-столбцы, в то время как A, B, X - матрицы nxn: потому не уверен, что АХ = 0 образует линейное пространство)
4. Может ли левое ядро некоторой билинейной функции быть нулевым, а правое - ненулевым? (Нет? Вроде как, их размерности должны совпадать)
5. Доказать, что длина проекции на вектор v равна расстоянию до подпространства векторов, ортогональных вектору v. (Это, получается, мы проектируем вектор на вектор. Ну, в случае R2 представляется прямоугольный треугольник, где длина проекции - опущенный перпендикуляр. Он как раз ортогонален вектору v. Но это частный случай, как его обобщить?)
6. Пусть у оператора f в евклидовом пространстве имеется инвариантное подпространство размерности n - 1. Доказать, что тогда f имеет хотя бы одно вещественное собственное значение. (Это собственное значение будет лежать в ограничении f на 1-мерное подпространство?)

Заранее спасибо, если будут подсказки хотя бы к нескольким из задач. Я понимаю, они устные, но я вот не обладаю большим пониманием, вот хочу его закалять.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вопросы по линейной алгебре
СообщениеДобавлено: 28 июн 2020, 19:05 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вопросы к экзамену?
1. Попробуйте перенумеровать переменные.
2. Нет. Поэкспериментируйте с матрицей, состоящей из клеток Жордана разных размеров с нулевой диагональю.
3.
localhost писал(а):
Образуют ли все решения матричного уравнения АХ = В аффинное пространство? А если АХ = В?

Не понял, в чём разница, но по любому да. Исходите из определения аффинного пространства. Матрица ведь есть и в каком-то смысле вектор.
4. Нет. Приведите билинейную форму к диагональному виду.
5. Надо записать ортогональное проектирование в общем виде. (Теорема об ортогональной проекции).
6. Чисто комплесные собственные значения идут парами (сопряжённые друг к другу). Такой паре соответствует инвариантное пространство чётной размерности в евклидовом пространстве над R.
localhost писал(а):
я вот не обладаю большим пониманием, вот хочу его закалять.

Правильно! Судя по вопросам, математика у вас предмет профильный. Понимание пригодится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
localhost
 Заголовок сообщения: Re: Вопросы по линейной алгебре
СообщениеДобавлено: 28 июн 2020, 19:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 июн 2020, 17:54
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Вопросы к экзамену?
1. Попробуйте перенумеровать переменные.
2. Нет. Поэкспериментируйте с матрицей, состоящей из клеток Жордана разных размеров с нулевой диагональю.
3.
localhost писал(а):
Образуют ли все решения матричного уравнения АХ = В аффинное пространство? А если АХ = В?

Не понял, в чём разница, но по любому да. Исходите из определения аффинного пространства. Матрица ведь есть и в каком-то смысле вектор.
4. Нет. Приведите билинейную форму к диагональному виду.
5. Надо записать ортогональное проектирование в общем виде. (Теорема об ортогональной проекции).
6. Чисто комплексные собственные значения идут парами (сопряжённые друг к другу). Такой паре соответствует инвариантное пространство чётной размерности в евклидовом пространстве над R.
localhost писал(а):
я вот не обладаю большим пониманием, вот хочу его закалять.

Правильно! Судя по вопросам, математика у вас предмет профильный. Понимание пригодится.


Спасибо большое Вам!!! Да, вопросы к экзамену прошлых лет.
Ой, я ошибся в 3 вопросе, там "А если ХА = В?".
По поводу второй задачи - верно ведь, что матрица 5х5 и размеры Жордановых клеток можно взять как 1, 1, 3. То есть, у нас матрица - нильпотент? Тогда мы должны были дойти когда-нибудь до того, что при некоторой степени rk A = 0?
А какая это теорема об ортогональной проекции? Как-то не могу вспомнить, обычно мы вектор на подпространство проектировали...
Кстати, а можно у Вас узнать, как определить левое/правое ядро по матрице билинейной функции?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вопросы по линейной алгебре
СообщениеДобавлено: 28 июн 2020, 20:01 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
localhost писал(а):
верно ведь, что матрица 5х5

Не факт. Матрица может быть 8х8, но её ранг может быть 5.
localhost писал(а):
Тогда мы должны были дойти когда-нибудь до того, что при некоторой степени rk A = 0?

Если у матрицы все собственные значения нулевые, то конечно дойдём. Но в каком темпе? Я советовал поэкспериментировать.
localhost писал(а):
обычно мы вектор на подпространство проектировали..

Вектор тоже подпространство.
localhost писал(а):
А какая это теорема об ортогональной проекции?

Скажите мне, какой у вас учебник, я скажу где почитать.
localhost писал(а):
Кстати, а можно у Вас узнать, как определить левое/правое ядро по матрице билинейной функции?

Думаю. что можно приведением к диагональному виду. И каких-то переменных в этом виде не будет. Не знаю, оптимальный ли это способ. Но для нашей задачи подойдёт.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вопросы по линейной алгебре
СообщениеДобавлено: 28 июн 2020, 20:12 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
localhost писал(а):
Ой, я ошибся в 3 вопросе, там "А если ХА = В?".

Я догадался, что вы где-то ошиблись. Тем не менее
searcher писал(а):
по любому да.

localhost писал(а):
верно ведь, что матрица 5х5 и размеры Жордановых клеток можно взять как 1, 1, 3.

У этой матрицы ранг равен 2.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вопросы по линейной алгебре
СообщениеДобавлено: 28 июн 2020, 20:23 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 июн 2020, 17:54
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
localhost писал(а):
Ой, я ошибся в 3 вопросе, там "А если ХА = В?".

Я догадался, что вы где-то ошиблись. Тем не менее
searcher писал(а):
по любому да.

localhost писал(а):
верно ведь, что матрица 5х5 и размеры Жордановых клеток можно взять как 1, 1, 3.

У этой матрицы ранг равен 2.


"Курс алгебры", Э. Винберг.
По поводу первой задачи: выходит, что утверждение верно для правых нижних угловых миноров при нечетных n? (где n - размерность пространства).
А, выходит, что если мы возьмем n жордановых клеток размера 1, то у нас выйдет нулевая матрица? Если мы возьмем жорданову клетку 5 на 5, то получим, что ранг равен 4? То бишь, у нас не получится "нужный" нам ранг, как бы мы ни старались?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вопросы по линейной алгебре
СообщениеДобавлено: 28 июн 2020, 21:11 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
localhost писал(а):
По поводу первой задачи: выходит, что утверждение верно для правых нижних угловых миноров при нечетных n?

Давайте для начала чётко сформулируйте утверждение.
localhost писал(а):
То бишь, у нас не получится "нужный" нам ранг, как бы мы ни старались?

Получится может всё что угодно. Я же писал:
searcher писал(а):
Но в каком темпе? Я советовал поэкспериментировать.

Может всё-таки наконец поэкспериментируйте? Ситуация с рангами 5->4->2 реально невозможна. А вот 5->3->2 очень даже возможна. Отойдите от компьютера и попробуйте сами сначала решить. Это если хотите "закалять понимание". Если совсем не будет идей, то вернёмся к вопросу завтра.
localhost писал(а):
"Курс алгебры", Э. Винберг.

Если вы пытаетесь вспомнить линейную алгебру, то мне кажется лучше взять второй том Кострикина. Точнее скажу позже. Но попробуйте в учебнике пока сами почитать про проекции.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вопросы по линейной алгебре
СообщениеДобавлено: 28 июн 2020, 21:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 июн 2020, 17:54
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо Вам большое за консультацию!!! С этой дистанционной учебой как-то подзапустил линейную алгебру:(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вопросы по линейной алгебре
СообщениеДобавлено: 28 июн 2020, 22:17 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
то мне кажется лучше взять второй том Кострикина. Точнее скажу позже

Про проекции можно почитать Стренг Г. "Линейная алгебра и её применения", параграф 2.5.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
localhost
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задача по линейной алгебре

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

R136a1

10

494

08 мар 2022, 18:58

Доказательство по линейной алгебре

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Aleexander

2

285

21 май 2019, 12:34

Задача по линейной алгебре

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

crazymadman18

5

558

05 апр 2017, 19:24

Две задании по Линейной Алгебре

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

karome

3

191

24 мар 2019, 09:40

Задание по линейной алгебре

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Elena___

1

357

09 июн 2016, 12:35

Задание по линейной алгебре

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

oficer

6

447

04 июн 2016, 14:25

Тригонометрия в линейной алгебре

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

dona_9

5

556

01 май 2016, 19:29

Задачи по Линейной Алгебре

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

v1negret

1

324

22 апр 2016, 12:13

Задачи по линейной алгебре

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

vangogiy

0

694

18 дек 2016, 17:49

Экзамен по линейной алгебре в понедельник

в форуме Объявления участников Форума

Mlle_Anastasie

20

2355

20 июн 2014, 14:23


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved