Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
localhost |
|
|
2. Возможен ли оператор А такой, что rank A = 5, rank A[math]{^2}[/math]= 4, rank A[math]{^3}[/math] = 2. (Приходит идея использовать жорданову форму для явного предъявления такого оператора, но верно ведь, что понижение размерности образа с каждым применением понижается только у вырожденного оператора?) 3. Образуют ли все решения матричного уравнения АХ = В аффинное пространство? А если АХ = В? (Знаю, что Ах = b образует аффинное пространство, ассоциированное с однородной системой Ax = 0. Но здесь x, b - вектора-столбцы, в то время как A, B, X - матрицы nxn: потому не уверен, что АХ = 0 образует линейное пространство) 4. Может ли левое ядро некоторой билинейной функции быть нулевым, а правое - ненулевым? (Нет? Вроде как, их размерности должны совпадать) 5. Доказать, что длина проекции на вектор v равна расстоянию до подпространства векторов, ортогональных вектору v. (Это, получается, мы проектируем вектор на вектор. Ну, в случае R2 представляется прямоугольный треугольник, где длина проекции - опущенный перпендикуляр. Он как раз ортогонален вектору v. Но это частный случай, как его обобщить?) 6. Пусть у оператора f в евклидовом пространстве имеется инвариантное подпространство размерности n - 1. Доказать, что тогда f имеет хотя бы одно вещественное собственное значение. (Это собственное значение будет лежать в ограничении f на 1-мерное подпространство?) Заранее спасибо, если будут подсказки хотя бы к нескольким из задач. Я понимаю, они устные, но я вот не обладаю большим пониманием, вот хочу его закалять. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Вопросы к экзамену?
1. Попробуйте перенумеровать переменные. 2. Нет. Поэкспериментируйте с матрицей, состоящей из клеток Жордана разных размеров с нулевой диагональю. 3. localhost писал(а): Образуют ли все решения матричного уравнения АХ = В аффинное пространство? А если АХ = В? Не понял, в чём разница, но по любому да. Исходите из определения аффинного пространства. Матрица ведь есть и в каком-то смысле вектор. 4. Нет. Приведите билинейную форму к диагональному виду. 5. Надо записать ортогональное проектирование в общем виде. (Теорема об ортогональной проекции). 6. Чисто комплесные собственные значения идут парами (сопряжённые друг к другу). Такой паре соответствует инвариантное пространство чётной размерности в евклидовом пространстве над R. localhost писал(а): я вот не обладаю большим пониманием, вот хочу его закалять. Правильно! Судя по вопросам, математика у вас предмет профильный. Понимание пригодится. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: localhost |
||
localhost |
|
|
searcher писал(а): Вопросы к экзамену? 1. Попробуйте перенумеровать переменные. 2. Нет. Поэкспериментируйте с матрицей, состоящей из клеток Жордана разных размеров с нулевой диагональю. 3. localhost писал(а): Образуют ли все решения матричного уравнения АХ = В аффинное пространство? А если АХ = В? Не понял, в чём разница, но по любому да. Исходите из определения аффинного пространства. Матрица ведь есть и в каком-то смысле вектор. 4. Нет. Приведите билинейную форму к диагональному виду. 5. Надо записать ортогональное проектирование в общем виде. (Теорема об ортогональной проекции). 6. Чисто комплексные собственные значения идут парами (сопряжённые друг к другу). Такой паре соответствует инвариантное пространство чётной размерности в евклидовом пространстве над R. localhost писал(а): я вот не обладаю большим пониманием, вот хочу его закалять. Правильно! Судя по вопросам, математика у вас предмет профильный. Понимание пригодится. Спасибо большое Вам!!! Да, вопросы к экзамену прошлых лет. Ой, я ошибся в 3 вопросе, там "А если ХА = В?". По поводу второй задачи - верно ведь, что матрица 5х5 и размеры Жордановых клеток можно взять как 1, 1, 3. То есть, у нас матрица - нильпотент? Тогда мы должны были дойти когда-нибудь до того, что при некоторой степени rk A = 0? А какая это теорема об ортогональной проекции? Как-то не могу вспомнить, обычно мы вектор на подпространство проектировали... Кстати, а можно у Вас узнать, как определить левое/правое ядро по матрице билинейной функции? |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
localhost писал(а): верно ведь, что матрица 5х5 Не факт. Матрица может быть 8х8, но её ранг может быть 5. localhost писал(а): Тогда мы должны были дойти когда-нибудь до того, что при некоторой степени rk A = 0? Если у матрицы все собственные значения нулевые, то конечно дойдём. Но в каком темпе? Я советовал поэкспериментировать. localhost писал(а): обычно мы вектор на подпространство проектировали.. Вектор тоже подпространство. localhost писал(а): А какая это теорема об ортогональной проекции? Скажите мне, какой у вас учебник, я скажу где почитать. localhost писал(а): Кстати, а можно у Вас узнать, как определить левое/правое ядро по матрице билинейной функции? Думаю. что можно приведением к диагональному виду. И каких-то переменных в этом виде не будет. Не знаю, оптимальный ли это способ. Но для нашей задачи подойдёт. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
localhost писал(а): Ой, я ошибся в 3 вопросе, там "А если ХА = В?". Я догадался, что вы где-то ошиблись. Тем не менее searcher писал(а): по любому да. localhost писал(а): верно ведь, что матрица 5х5 и размеры Жордановых клеток можно взять как 1, 1, 3. У этой матрицы ранг равен 2. |
||
Вернуться к началу | ||
localhost |
|
|
searcher писал(а): localhost писал(а): Ой, я ошибся в 3 вопросе, там "А если ХА = В?". Я догадался, что вы где-то ошиблись. Тем не менее searcher писал(а): по любому да. localhost писал(а): верно ведь, что матрица 5х5 и размеры Жордановых клеток можно взять как 1, 1, 3. У этой матрицы ранг равен 2. "Курс алгебры", Э. Винберг. По поводу первой задачи: выходит, что утверждение верно для правых нижних угловых миноров при нечетных n? (где n - размерность пространства). А, выходит, что если мы возьмем n жордановых клеток размера 1, то у нас выйдет нулевая матрица? Если мы возьмем жорданову клетку 5 на 5, то получим, что ранг равен 4? То бишь, у нас не получится "нужный" нам ранг, как бы мы ни старались? |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
localhost писал(а): По поводу первой задачи: выходит, что утверждение верно для правых нижних угловых миноров при нечетных n? Давайте для начала чётко сформулируйте утверждение. localhost писал(а): То бишь, у нас не получится "нужный" нам ранг, как бы мы ни старались? Получится может всё что угодно. Я же писал: searcher писал(а): Но в каком темпе? Я советовал поэкспериментировать. Может всё-таки наконец поэкспериментируйте? Ситуация с рангами 5->4->2 реально невозможна. А вот 5->3->2 очень даже возможна. Отойдите от компьютера и попробуйте сами сначала решить. Это если хотите "закалять понимание". Если совсем не будет идей, то вернёмся к вопросу завтра. localhost писал(а): "Курс алгебры", Э. Винберг. Если вы пытаетесь вспомнить линейную алгебру, то мне кажется лучше взять второй том Кострикина. Точнее скажу позже. Но попробуйте в учебнике пока сами почитать про проекции. |
||
Вернуться к началу | ||
localhost |
|
|
Спасибо Вам большое за консультацию!!! С этой дистанционной учебой как-то подзапустил линейную алгебру:(
|
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
searcher писал(а): то мне кажется лучше взять второй том Кострикина. Точнее скажу позже Про проекции можно почитать Стренг Г. "Линейная алгебра и её применения", параграф 2.5. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: localhost |
||
[ Сообщений: 9 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Задача по линейной алгебре
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
10 |
494 |
08 мар 2022, 18:58 |
|
Доказательство по линейной алгебре | 2 |
285 |
21 май 2019, 12:34 |
|
Задача по линейной алгебре
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
5 |
558 |
05 апр 2017, 19:24 |
|
Две задании по Линейной Алгебре
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
3 |
191 |
24 мар 2019, 09:40 |
|
Задание по линейной алгебре
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
1 |
357 |
09 июн 2016, 12:35 |
|
Задание по линейной алгебре
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
6 |
447 |
04 июн 2016, 14:25 |
|
Тригонометрия в линейной алгебре
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
5 |
556 |
01 май 2016, 19:29 |
|
Задачи по Линейной Алгебре
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
1 |
324 |
22 апр 2016, 12:13 |
|
Задачи по линейной алгебре
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
0 |
694 |
18 дек 2016, 17:49 |
|
Экзамен по линейной алгебре в понедельник
в форуме Объявления участников Форума |
20 |
2355 |
20 июн 2014, 14:23 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |