Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Периодичность матрицы перестановки
СообщениеДобавлено: 19 июл 2019, 16:22 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 окт 2018, 14:28
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день.
Помогите, пожалуйста, доказать, что всякая матрица перестановки периодична.

Из определения периодичной матрицы, нам надо доказать, что если [math]A[/math] матрица перестановки, то возведя ее в некоторую степень n, она станет единичной: [math]A^n={E}[/math]

Пробовал использовать свойство о том, что любую матрицу перестановки можно представить в виде произведения элементарных матриц перестановки (это матрицы, полученные из единичной перестановкой местами двух строк) . Вот ход мыслей:

Возьмем [math]a_{ij} \ne 0[/math] и перестановками строк (домножением соответствующей элементарной матрицей слева) перемещаем его на первое место. Так как в каждой строке или столбце только одна единица, то получим:[math]\begin{pmatrix} 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & a'_{22} & ... & a'_{2n} \\ ... & ... & ... & ... & \\ 0 & a'_{n2} & ... & a'_{nn} \end{pmatrix}[/math] и так далее, пока не получится единичной матрицы.
В итоге: [math]T_1T_2...T_kA=E[/math]
Все элементарные матрицы обратимы и обратная к элементарной матрице — это тоже элементарная матрица, следовательно: [math]A=T_{k}^{-1}...T_{2}^{-1}T_{1}^{-1}E[/math]
Придя к этому, а также поняв, что по идее каждая элементарная матрица перестановки имеет период 2, т.к. в ней поменяли местами только две строки и если домножить ее на саму себя эти строки снова поменяются местами и она станет единичной, я застопорился. Либо подход выбрал изначально неверный, либо тут не вижу как дальше рассуждать. Подскажите, пожалуйста.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Периодичность матрицы перестановки
СообщениеДобавлено: 19 июл 2019, 16:41 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5481
Cпасибо сказано: 59
Спасибо получено:
844 раз в 805 сообщениях
Очков репутации: 163

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Существует изоморфизм между множеством матриц перестановок и множеством перестановок с сохранением операции умножения. Каждую перестановку можно разложить в произведение циклов. Обозначим [math]n[/math] как наименьшее общее кратное длин этих циклов. Тогда, если мы любую перестановку возведём в степень [math]n[/math], то получим ту же самую перестановку.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Периодичность матрицы перестановки
СообщениеДобавлено: 19 июл 2019, 17:29 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 4688
Cпасибо сказано: 77
Спасибо получено:
1004 раз в 913 сообщениях
Очков репутации: 216

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Тогда, если мы любую перестановку возведём в степень n
, то получим ту же самую перестановку.


n+1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
searcher
 Заголовок сообщения: Re: Периодичность матрицы перестановки
СообщениеДобавлено: 19 июл 2019, 19:05 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 18172
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1289
Спасибо получено:
3901 раз в 3618 сообщениях
Очков репутации: 722

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher
swan
Так всё-таки [math]n[/math] или [math]n+1[/math]? Давайте рассмотрим перестановку [math]\sigma =\left( 1~2~3~4 \right).[/math] У меня получилось, что [math]\sigma^4=e.[/math] Я ошибся? :oops:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Периодичность матрицы перестановки
СообщениеДобавлено: 19 июл 2019, 19:26 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5481
Cпасибо сказано: 59
Спасибо получено:
844 раз в 805 сообщениях
Очков репутации: 163

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
У меня получилось, что [math]\sigma^4=e.[/math] Я ошибся? :oops:

Правильно. Отсюда следует, что [math]\sigma^5=\sigma[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Andy
 Заголовок сообщения: Re: Периодичность матрицы перестановки
СообщениеДобавлено: 19 июл 2019, 19:37 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 18172
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1289
Спасибо получено:
3901 раз в 3618 сообщениях
Очков репутации: 722

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher
Действительно. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Периодичность функции

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Nora

1

248

27 мар 2015, 18:19

Периодичность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Loren

4

156

02 май 2018, 23:17

Периодичность функций

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

alekscooper

3

90

04 мар 2019, 19:12

Исследовать функции на периодичность и найти основной период

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

st1nger

9

1555

22 май 2012, 12:28

График функции, симметрия и периодичность - сложное задание!

в форуме Тригонометрия

oltina

1

780

13 фев 2011, 13:12

Для данной матрицы найти диагональную и унитарную матрицы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

OceanDrama

1

605

01 дек 2014, 17:30

Равенство определителей матрицы и союзной матрицы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

darklagger

10

650

22 дек 2012, 20:34

Перестановки

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Gluck

1

1086

20 апр 2013, 22:13

Перестановки с повторениями

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

AGN

6

140

28 янв 2019, 08:48

Перестановки с повторениями

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

gagat

4

590

03 окт 2014, 12:16


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved