Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти квадратный корень из матрицы
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=32&t=65374
Страница 1 из 1

Автор:  MathMonk [ 23 май 2019, 15:25 ]
Заголовок сообщения:  Найти квадратный корень из матрицы

Дана матрица [math]\boldsymbol{A}[/math] [math]\begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 5 \end{bmatrix}[/math]. Найти матрицу [math]\boldsymbol{B}[/math] такую, что [math]\boldsymbol{B} ^{2}[/math] = [math]\boldsymbol{A}[/math].
Для решения задачи я нашел собственные значения матрицы [math]\boldsymbol{A}[/math]. Они равны [math]\lambda _{1}[/math] = 2 и [math]\lambda _{2}[/math] = 8. Нашел ортонормированный базис из собственных векторов [math]\boldsymbol{e} _{1}[/math] = (1/[math]\sqrt{2}[/math], 1/[math]\sqrt{2}[/math]) и [math]\boldsymbol{e} _{2}[/math] = (-1/[math]\sqrt{2}[/math], 1/[math]\sqrt{2}[/math]). После чего я нахожу произведение трех матриц: обратной к матрице, столбцы которой есть данные векторы, диагональной матрицы, на диагонали которой стоят числа [math]\sqrt{2}[/math] и [math]\sqrt{8}[/math] и матрицы, стобцы которой есть данные векторы. Однако результат не сходится(хотя я проверял с помощью онлайн калькулятора). Где в алгоритме допущена ошибка?

Автор:  michel [ 23 май 2019, 15:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти квадратный корень из матрицы

В помощь
Изображение

Автор:  AGN [ 23 май 2019, 16:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти квадратный корень из матрицы

Поскольку порядок матрицы (2) небольшой, то можно решить и вручную, т.е. без вычисления собственных значений.
Ищем матрицу в виде

[math]B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}[/math]

Из условия

[math]B^{2} = A \Rightarrow \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}[/math], то есть

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& a^{2} + bc = 5 \\
& ab + bd = - 3 \\
& ac + cd = - 3 \\
& bc + d^{2} = 5
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& a^{2} + bc = 5 \\
& d^{2} + bc = 5 \\
& b\left( a + d \right) = - 3 \\
& c\left( a + d \right) = - 3
\end{aligned}\right.[/math]


Из сравнения третьего и четвертого уравнений залючаем, что [math]b = c[/math], а из первых двух имеем [math]a^{2} = d^{2}[/math], откуда [math]a = d[/math] ([math]a = - d[/math] не удовлетворяет двум последним уравнениям).
Система упростилась до

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& a^{2} + b^{2} = 5 \\
& 2ab = - 3
\end{aligned}\right.[/math]


Дальше - очевидно.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/