Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Найти квадратный корень из матрицы http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=32&t=65374 |
Страница 1 из 1 |
Автор: | MathMonk [ 23 май 2019, 15:25 ] |
Заголовок сообщения: | Найти квадратный корень из матрицы |
Дана матрица [math]\boldsymbol{A}[/math] [math]\begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 5 \end{bmatrix}[/math]. Найти матрицу [math]\boldsymbol{B}[/math] такую, что [math]\boldsymbol{B} ^{2}[/math] = [math]\boldsymbol{A}[/math]. Для решения задачи я нашел собственные значения матрицы [math]\boldsymbol{A}[/math]. Они равны [math]\lambda _{1}[/math] = 2 и [math]\lambda _{2}[/math] = 8. Нашел ортонормированный базис из собственных векторов [math]\boldsymbol{e} _{1}[/math] = (1/[math]\sqrt{2}[/math], 1/[math]\sqrt{2}[/math]) и [math]\boldsymbol{e} _{2}[/math] = (-1/[math]\sqrt{2}[/math], 1/[math]\sqrt{2}[/math]). После чего я нахожу произведение трех матриц: обратной к матрице, столбцы которой есть данные векторы, диагональной матрицы, на диагонали которой стоят числа [math]\sqrt{2}[/math] и [math]\sqrt{8}[/math] и матрицы, стобцы которой есть данные векторы. Однако результат не сходится(хотя я проверял с помощью онлайн калькулятора). Где в алгоритме допущена ошибка? |
Автор: | michel [ 23 май 2019, 15:46 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Найти квадратный корень из матрицы |
В помощь |
Автор: | AGN [ 23 май 2019, 16:09 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Найти квадратный корень из матрицы |
Поскольку порядок матрицы (2) небольшой, то можно решить и вручную, т.е. без вычисления собственных значений. Ищем матрицу в виде [math]B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}[/math] Из условия [math]B^{2} = A \Rightarrow \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}[/math], то есть [math]\left\{\!\begin{aligned} & a^{2} + bc = 5 \\ & ab + bd = - 3 \\ & ac + cd = - 3 \\ & bc + d^{2} = 5 \end{aligned}\right.[/math] [math]\left\{\!\begin{aligned} & a^{2} + bc = 5 \\ & d^{2} + bc = 5 \\ & b\left( a + d \right) = - 3 \\ & c\left( a + d \right) = - 3 \end{aligned}\right.[/math] Из сравнения третьего и четвертого уравнений залючаем, что [math]b = c[/math], а из первых двух имеем [math]a^{2} = d^{2}[/math], откуда [math]a = d[/math] ([math]a = - d[/math] не удовлетворяет двум последним уравнениям). Система упростилась до [math]\left\{\!\begin{aligned} & a^{2} + b^{2} = 5 \\ & 2ab = - 3 \end{aligned}\right.[/math] Дальше - очевидно. |
Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |