Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сумма векторов подпространств, натянутых на (1,-1) и (2,1)
СообщениеДобавлено: 11 апр 2019, 16:48 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 апр 2019, 15:49
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день!
Застрял на такой задаче:
Пусть V и W - подпространства [math]R^2[/math], натянутые на (1, -1) и (2, 1) соответственно. Найдите векторы v ∈ V и w ∈ W , такие что v + w = (5, 1).

Получается, что V - это всевозможные линейные комбинации [math]\alpha_1 - \alpha_2[/math], а W - комбинации [math]2\beta_1 + \beta_2[/math], где [math]\alpha, \beta[/math] из R.
Мы должны получить вектор v+w c координатами [math](\alpha_1 + 2\beta_1; -\alpha_2+ \beta_2)[/math], где [math]\alpha_1 + 2\beta_1 = 5[/math] и [math]-\alpha_2+ \beta_2 = 1[/math].
Видимо, я где-то сильно ошибаюсь, раз получаю систему из двух уравнений с четырьмя неизвестными.
Подскажите, как в этом случае правильно рассуждать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма векторов подпространств, натянутых на (1,-1) и (2,1)
СообщениеДобавлено: 11 апр 2019, 17:41 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 1511
Cпасибо сказано: 48
Спасибо получено:
431 раз в 414 сообщениях
Очков репутации: 164

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]max[/math]_[math]m,[/math]
если правильно Вас понял, то Вы ищите, такие v,w - что:

[math]v = \alpha_{1}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \alpha_{2}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/math]

[math]w = \beta_{1}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \beta_{2}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/math] , и [math]v+w =(5,1)[/math] так? Тогда получите:

[math]\left\{\!\begin{aligned}

& \alpha_{1} + 2\alpha_{2} +\beta_{1} + 2\beta_{2}=5 \\
& -\alpha_{1} + \alpha_{2} -\beta_{1} + \beta_{2}=1
\end{aligned}\right.[/math]

положите [math]\lambda = \alpha_{1} + \beta_{1}, \mu =\alpha_{2}+\beta_{2}[/math] и
получите, [math]\left\{\!\begin{aligned}
& \lambda + 2\mu = 5 \\
& - \lambda + \mu = 1
\end{aligned}\right.[/math]
, у это систему есть решения [math]\lambda= 1, \mu = 2[/math]
а от сюда [math]\alpha_{1} + \beta_{1}= 1 \Rightarrow \alpha_{1} = 1- \beta_{1}[/math]
[math]\alpha_{2} + \beta_{2}= 2 \Rightarrow \alpha_{2} = 2-\beta_{2}[/math]
И так на каждую двойку чисель [math]\beta_{1}, \beta_{2}[/math] , получите соответствующую двойку
[math]\alpha_{1}, \alpha_{2}[/math] и наоборот!
Т.е. решение не однозначно есть много таких векторов [math]v \in V,w \in W[/math] , чей сумма [math]= (5,1)[/math].
И если подумаете убедитес, что это логично! Постройте вектор с координатом [math]= (5,1)[/math] на плоскости
и вземите произвольную точка плоскости вне несущую пряму этого вектора и свержите ее с начало и конец этого вектора, получите двух векторов чей сумма равна этого вектора, если правилно свержите трех точек!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма векторов подпространств, натянутых на (1,-1) и (2,1)
СообщениеДобавлено: 11 апр 2019, 18:14 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 4713
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
711 раз в 676 сообщениях
Очков репутации: 150

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
max_m
Я бы начал с выяснения вопроса, как натянуть подпространство на вектор [math](1,1)[/math] . Думаю, что вам тут надо исходить из определений.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма векторов подпространств, натянутых на (1,-1) и (2,1)
СообщениеДобавлено: 11 апр 2019, 18:15 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 4713
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
711 раз в 676 сообщениях
Очков репутации: 150

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan писал(а):
И если подумаете убедитес, что это логично! Постройте вектор с координатом [math]= (5,1)[/math] на плоскости
и вземите произвольную точка плоскости вне несущую пряму этого вектора и свержите ее с начало и конец этого вектора, получите двух векторов чей сумма равна этого вектора, если правилно свержите трех точек!

Чего-то сомневаюсь на счёт логичности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Векторное пространство как сумма одномерных подпространств

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

soka

2

1175

27 июл 2010, 16:01

Сумма векторов

в форуме Геометрия

kucher

4

156

30 сен 2016, 21:46

Сумма векторов

в форуме Геометрия

oak1996

3

237

01 июн 2015, 03:14

Сумма векторов

в форуме Алгебра

novo9

3

294

08 окт 2012, 19:45

Орт вектора и сумма векторов

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Miracle

1

104

26 дек 2016, 17:59

Смешанное произведение и сумма векторов

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

ilyachiz

4

148

09 окт 2016, 20:21

Доказать что сумма векторов равна нулю

в форуме Геометрия

Alexey_Kubirev

1

3780

30 сен 2012, 16:10

Сумма собственных векторов не является вектором

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Chek

1

68

30 май 2018, 07:02

Найти базис системы векторов и координаты векторов в ней

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Alecsand1232342

1

330

05 янв 2018, 09:20

Найти базисы подпространств

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

vas999

1

111

09 авг 2017, 16:35


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved