Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задание по многочленам с кратностью
СообщениеДобавлено: 08 дек 2018, 20:16 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
08 дек 2018, 16:55
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дан многочлен P(x) степени 34 с действительными коэффициентами, имеющий 1 различных действительных корней и 2 различных комплексных корней(без учёта кратности). Пусть P''(x) есть вторая производная P(x). Чему равна минимальная степень НОД(P(x),P''(x))?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задание по многочленам с кратностью
СообщениеДобавлено: 14 дек 2018, 03:35 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
10 окт 2018, 22:06
Сообщений: 830
Cпасибо сказано: 209
Спасибо получено:
245 раз в 225 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Попробуйте записать

[math]P\left( x \right) = \left( x - a \right)^{2m} \cdot \left( ax^{2} + bx + c \right)^{n}[/math], где

[math]x = a[/math] - действительный корень кратности [math]2m[/math], а скобке [math]ax^{2} + bx + c = 0\left( b^{2} - 4ac < 0 \right)[/math] соответствует пара комплексно-сопряженных корней. При этом, очевидно,

[math]\deg{P\left( x \right) } =2m + 2n = 34[/math]

Теперь посчитайте производную от произведения сложных функций.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задание по многочленам с кратностью
СообщениеДобавлено: 14 дек 2018, 04:02 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
07 дек 2018, 20:55
Сообщений: 242
Cпасибо сказано: 58
Спасибо получено:
43 раз в 36 сообщениях
Очков репутации: -26

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Очевидно, что [math]30.[/math]
[math]P=a_{32} b_{2} ; \quad \; P''=a''_{30} b_{2} +2a'_{31} b'_{1} +a_{32} b''_{0};[/math]
НОД[math](P; P'')=a_{30}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задание по многочленам с кратностью
СообщениеДобавлено: 16 дек 2018, 06:19 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2721
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
837 раз в 670 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Fenix, а это ничего, что НОД многочленов это не число, а многочлен?

Кратность корня при дифференцировании понижается ровно на единицу.
У нас есть пара комплексно сопряжённых корней одинаковой кратности и один действительный корень.
Поэтому с точностью до числового множителя многочлен имеет вид [math]P(x)=(x-\alpha)^{2k}(x-\beta)^{17-k}(x-\overline\beta)^{17-k},\,
\alpha\in \mathbb R,\, \beta\not\in \mathbb R, \, 1\leqslant k\leqslant 16[/math]

Дифференцирование понижает кратность корня ровно на единицу.

Если [math]k\leqslant 15[/math], то второе дифференцирование понизит кратности всех трёх корней ровно на 2, следовательно степень НОДа будет равна [math]28.[/math]
Степень НОДа будет [math]30[/math] при [math]k=16.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали:
Fenix
 Заголовок сообщения: Re: Задание по многочленам с кратностью
СообщениеДобавлено: 17 дек 2018, 11:28 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
07 дек 2018, 20:55
Сообщений: 242
Cпасибо сказано: 58
Спасибо получено:
43 раз в 36 сообщениях
Очков репутации: -26

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dr Watson
А вторые производные от "чисел", стало быть, у вас вопросов не вызывают?

Минимально 28, согласен. Кратность упустил ...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задание по многочленам с кратностью
СообщениеДобавлено: 18 дек 2018, 09:18 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2721
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
837 раз в 670 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Fenix писал(а):
dr Watson
А вторые производные от "чисел", стало быть, у вас вопросов не вызывают?

А почему они должны вызывать - число это постоянная функция, она бесконечно дифференцируема.

Однако, спасибо за подсказку, теперь я понял, как нужно было понять Вашу головоломку.

Под [math]a_{32}[/math] Вы разумеете многочлен [math]a[/math] степени 32, при дифференцировании степень его понижается. Вы ставите штрих и индекс уменьшаете на единицу ... И из всей этой хиромантии Вы умудрились получить НОД[math]=a_{30},[/math], т.е. в Вашей нотации - степень НОДа=30. :lol:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задание по многочленам с кратностью
СообщениеДобавлено: 18 дек 2018, 12:16 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
07 дек 2018, 20:55
Сообщений: 242
Cпасибо сказано: 58
Спасибо получено:
43 раз в 36 сообщениях
Очков репутации: -26

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dr Watson писал(а):
Под [math]a_{32}[/math] Вы разумеете многочлен [math]a[/math] степени [math]32[/math]
.
Конечно, иксы выписывать долго.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задание 2

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

alex1

2

374

07 апр 2017, 14:48

Задание 3

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

alex1

1

286

08 апр 2017, 16:25

Задание 4

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

alex1

12

635

08 апр 2017, 18:43

Задание

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

alex1

3

251

09 апр 2017, 18:40

Задание

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

alex1

8

488

10 апр 2017, 15:52

Задание

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

alex1

4

469

13 апр 2017, 16:37

15 задание из ЕГЭ

в форуме Алгебра

Yabereza2603

1

144

09 дек 2017, 21:00

Задание

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

alex1

6

395

17 апр 2017, 15:29

Задание

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Juli_124

0

267

23 янв 2016, 16:03

Задание

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

alex1

5

409

18 апр 2017, 20:45


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 20


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved