Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Утверждение о длине вектора
СообщениеДобавлено: 19 авг 2018, 00:09 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 июн 2018, 19:24
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не могу понять верно ли данное утверждение:
[math]\forall x\in \mathbb{R}^{N} \,\colon \left\| Ax \right\| \leqslant \left\| \lambda_{max}x \right\|[/math]

Где [math]\lambda_{max}[/math] - это максимально по модулю собственное значение матрицы A, [math]\left\| x \right\|= \sqrt{ \sum\limits_{i=1}^{N} x_i^2 }[/math]


Можно доказать, или ссылку на доказательство, пожалуйста.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Утверждение о длине вектора
СообщениеДобавлено: 19 авг 2018, 08:27 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 июн 2018, 19:24
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сам понял, что не верно, потому, что для случая с матрицей [math]A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}[/math], у которой максимальное собственное значение равно 2, и вектром [math]v=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/math], [math]\left\| Av \right\|>\lambda_{max} \left\| v \right\|[/math].

Однако в этом случае у меня есть другой вопрос, есть ли какая-то константа k, для которой выполнялось бы данное утверждение [math]\forall x\in \mathbb{R}^{N} \,\colon \left\| Ax \right\| \leqslant \left\| kx \right\|[/math].
Очевидно что k может равняться [math]k=max(abs(A))*n[/math], где n - кол-во столбцов в матрице A. А какой-то более точной верхней оценки нет?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Утверждение о длине вектора
СообщениеДобавлено: 19 авг 2018, 09:43 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
aggravator писал(а):
А какой-то более точной верхней оценки нет?

Почитайте про норму матрицы (линейного оператора).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
aggravator
 Заголовок сообщения: Re: Утверждение о длине вектора
СообщениеДобавлено: 19 авг 2018, 10:48 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 июн 2018, 19:24
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо, если кому-нибудь интересно, то в случае евклидовой нормы k - это максимальное сингулярное число матрицы A.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
А есть ли формула длины в длине?

в форуме Палата №6

MihailM

2

188

17 дек 2022, 20:08

Доказать параллельность прямых при равных длине биссектрис в

в форуме Геометрия

mdauletiyarov

4

161

13 окт 2020, 14:57

При какой длине основания площадь треугольника максимальна

в форуме Дифференциальное исчисление

md_house

3

352

29 дек 2018, 09:17

Вычислить криволинейные интегралы І рода по длине дуги L

в форуме Интегральное исчисление

Pilbeg

0

314

02 июн 2014, 21:22

Построение треугольника по углу, биссектрисе и длине стороны

в форуме Геометрия

Li6-D

37

1318

02 апр 2023, 18:35

Вычислить координаты вектора относительно базиса вектора

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Camilla1910

1

566

11 ноя 2014, 22:18

Проекция вектора на направление вектора?

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

32423fsdf

2

90

22 ноя 2023, 22:18

Доказать утверждение

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

indiana_johns

5

261

11 окт 2021, 04:24

Верно ли утверждение

в форуме Дифференциальное исчисление

rfgbnfkbyf

1

253

11 май 2016, 15:29

Верно ли утверждение?З

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Vovaaaa

2

514

04 июн 2018, 05:31


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved