Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Изоморфизм и собственные значения симметр. реальных матриц
СообщениеДобавлено: 26 апр 2018, 05:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 апр 2018, 04:45
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уважаемые матгуру,
Не могли бы Вы пролить ясность на следующую проблему: известно, что если спектры двух графов не совпадают, то они - не изоморфны. С другой стороны, неизоморфные графы могут иметь одинаковые спектры. Это в случае с графами.
1) А работает ли это же правило в случае произвольных реальных диагональных матриц?
2) Если работает, то есть ли дополнительный метод(ы) проверки того, что две реальные диагональные матрицы, имеющий одинаковый спектр, изоморфны или нет?
Эта задача имеет практическое приложение - было бы очень здорово использовать спектры матриц в качестве "отпечатков пальцев", т.е. уникальности каждой матрицы.
Эмпирические расчёты с использованием десятков тысяч матриц вроде как показывают, что неизоморфные матрицы с одним и тем же спектром пока не попадались, но остаётся некая неудовлетворённость с общей теорией...
Большой спасибо

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Изоморфизм и собственные значения симметр. реальных матриц
СообщениеДобавлено: 26 апр 2018, 08:58 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Mistral писал(а):
в случае произвольных реальных диагональных матриц?

Реальных - я так понял в смысле действительных.
Mistral писал(а):
1) А работает ли это же правило в случае произвольных реальных диагональных матриц?

Работает, если вы учитываете кратность собственных значений.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Изоморфизм и собственные значения симметр. реальных матриц
СообщениеДобавлено: 23 май 2018, 03:27 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 апр 2018, 04:45
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо,
Тогда, если можно, следующий вопрос: если две действительные симметричные матрицы - изоспектральны, то является ли наличие матрицы перестановок, которая переводит одну матрицу в другую, ДОСТАТОЧНЫМ условием изоморфности этих двух матриц?

Спасибо

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Изоморфизм и собственные значения симметр. реальных матриц
СообщениеДобавлено: 23 май 2018, 08:37 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Mistral писал(а):
Тогда, если можно, следующий вопрос: если две действительные симметричные матрицы - изоспектральны, то является ли наличие матрицы перестановок, которая переводит одну матрицу в другую, ДОСТАТОЧНЫМ условием изоморфности этих двух матриц?

Извините, я не понимаю вашу терминологию. Я не знаю, что такое изоспектральные матрицы. Я не знаю, что такое перевод матрицы одну в другую посредством матрицы перестановок. Я не знаю, что такое изоморфные матрицы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Изоморфизм и собственные значения симметр. реальных матриц
СообщениеДобавлено: 04 июн 2018, 07:55 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 апр 2018, 04:45
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
> Я не знаю, что такое изоспектральные матрицы.
Под "изоспектральностью матриц" понимается то, что матрицы имеют одинаковые собственные значения (спектр).

> не знаю, что такое перевод матрицы одну в другую посредством матрицы перестановок

Ма́трица перестано́вки (или подстано́вки) — квадратная бинарная матрица, в каждой строке и столбце которой находится ровно один единичный элемент. Каждая матрица перестановки размера n × n является матричным представлением перестановки из n элементов.

Умножение произвольной матрицы M на перестановочную соответственно меняет местами её столбцы.

Теперь уточняю вопрос: допустим, у нас есть два графа общего вида (т.е. элементы матрицы смежности равны в общем случае не только 0 и 1, но и другим числам (весам), причём матрицы смежности остаются симметричными).
Допустим теперь, что две разные матрицы смежности, соответствующие этим графам, имеют один и тот же спектр.
Известно, что в общем случае наличие одинаковых спектров матриц смежностей не является ДОСТАТОЧНЫМ условием изоморфности графов.
Теперь допустим, что существует такая матрица перестановки, что умножая одну матрицу смежности на перестановочную матрицу мы получаем вторую матрицу смежности.
Т.е. у нас есть 1) две матрицы смежности, имеющие одинаковый спектр и 2) матрица перестановки, умножая на которую, из одной матрицы смежности можно получить вторую.
Теперь: является ли наличие этих двух условий ДОСТАТОЧНЫМ для того, чтобы заключить, что два наших графа - изоморфны?..

Спасибо

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Изоморфизм и собственные значения симметр. реальных матриц
СообщениеДобавлено: 04 июн 2018, 09:40 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Mistral писал(а):
Я не знаю, что такое изоспектральные матрицы.Под "изоспектральностью матриц" понимается то, что матрицы имеют одинаковые собственные значения (спектр).

Если бы всё было так просто, то я наверное бы догадался. Встречный вопрос. Будут ли многочлены [math]A=x^2(x-1)[/math] и [math]B=x(x-1)^2[/math] иметь одинаковые корни? Ответ зависит от того, как понимать выражение "иметь одинаковые корни". Так и для матриц надо уточнять, что понимать под выражением "иметь одинаковые собственные значения (спектр)". Во всяком случае Гугл не знает, что такое изоспектральные и изоморфные матрицы. Что касается ваших вопросов по графам, то я в них не разбираюсь. Подождём пока подойдут специалисты по спектральной теории графов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

FFC_96

1

423

21 окт 2015, 09:19

Найти собственные значения и собственные векторы оператора

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

mctayler

11

566

25 дек 2018, 20:12

Найти собственные векторы и собственные значения оператора

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Dima_44

4

670

11 дек 2014, 00:06

Найти собственные значения и собственные векторы линейного о

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Irishka09

2

464

01 дек 2014, 20:13

Найти собственные значения и собственные векторы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Rosian

11

422

09 ноя 2020, 21:48

Собственные векторы и собственные значения лин.преобр

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

dona_9

2

322

24 фев 2016, 14:06

Найти собственные значения и собственные и присоединенные

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Arno

0

376

03 дек 2014, 22:14

Собственные значения и собственные вектора

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

mechislav

1

226

01 апр 2018, 21:38

Собственные значения и собственные векторы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Vlac3

5

336

01 апр 2018, 14:26

Собственные значения и собственные векторы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

ilucha120101

3

133

18 май 2019, 01:10


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved