Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
vitalikkudinov |
|
||
(Как доказать в общем виде: если кол-во слагаемых меньше порядка матрицы, то определитель будет равен 0?) [math]\begin{gathered} {x_1},{x_2} \in \mathbb{R} \hfill \\ \det \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {x_1^0 + x_2^0}&{x_1^1 + x_2^1}&{x_1^2 + x_2^2} \\ {x_1^1 + x_2^1}&{x_1^2 + x_2^2}&{x_1^3 + x_2^3} \\ {x_1^2 + x_2^2}&{x_1^3 + x_2^3}&{x_1^4 + x_2^4} \end{array}} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
Tantan |
|
||
Определитель = 0,
1) Если у него нулевой ряд или нулевой столб; 2) Если какой то ряд или столб являеться линейной комбинации некоторые других рядов или стольбцов этого определителя; Если определитель n-ого порядка нулевой то его матрица имеет ранг [math]r < n[/math] ; Если матрица определителя имеет ранг [math]r < n[/math], то определитель обезательно нулевой! |
|||
Вернуться к началу | |||
searcher |
|
||
Представьте ваш определитель, как определитель матрицы [math]A'A+B'B[/math] , где [math]A,B[/math] - матрицы единичного ранга.
|
|||
Вернуться к началу | |||
Tantan |
|
||
Ваш определител нулевой потому что он можно разложить на сумму 2 определителя в каждой из которых второй столбец равен первому - умножен на число - для первого это [math]x_{1}[/math] , а для второго это [math]x_{2}[/math].
А это означает, что в каждом из них имеет один столб, каторы пропорционален один из других стольбцов. |
|||
Вернуться к началу | |||
Tantan |
|
||
det[math]\begin{pmatrix} x_{1}^{0} & x_{1}^{1} & x_{1}^{2} \\ x_{1}^{1} & x_{1}^{2} & x_{1}^{3} \\ x_{1}^{2} & x_{1}^{3} & x_{1}^{4} \end{pmatrix}[/math] + det[math]\begin{pmatrix} x_{2}^{0} & x_{2}^{1} & x_{2}^{2} \\ x_{2}^{1} & x_{2}^{2} & x_{2}^{3} \\ x_{2}^{2} & x_{2}^{3} & x_{2}^{4} \end{pmatrix} =[/math] det[math]\begin{pmatrix} x_{1}^{0} + x_{2}^{0} & x_{1}^{1} + x_{2}^{1} & x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \\ x_{1}^{1} +x_{2}^{1} & x_{1}^{2} +x_{2}^{2} & x_{1}^{3} + x_{2}^{3} \\ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} & x_{1}^{3} +x_{2}^{3} & x_{1}^{4} + x_{2}^{4} \end{pmatrix}[/math]
В каждом из первых двух определителей рядов и стольбцов пропорциональны поетому и они = 0, а это означает что и их сумма = 0. |
|||
Вернуться к началу | |||
vitalikkudinov |
|
|
Tantan писал(а): det[math]\begin{pmatrix} x_{1}^{0} & x_{1}^{1} & x_{1}^{2} \\ x_{1}^{1} & x_{1}^{2} & x_{1}^{3} \\ x_{1}^{2} & x_{1}^{3} & x_{1}^{4} \end{pmatrix}[/math] + det[math]\begin{pmatrix} x_{2}^{0} & x_{2}^{1} & x_{2}^{2} \\ x_{2}^{1} & x_{2}^{2} & x_{2}^{3} \\ x_{2}^{2} & x_{2}^{3} & x_{2}^{4} \end{pmatrix} =[/math] det[math]\begin{pmatrix} x_{1}^{0} + x_{2}^{0} & x_{1}^{1} + x_{2}^{1} & x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \\ x_{1}^{1} +x_{2}^{1} & x_{1}^{2} +x_{2}^{2} & x_{1}^{3} + x_{2}^{3} \\ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} & x_{1}^{3} +x_{2}^{3} & x_{1}^{4} + x_{2}^{4} \end{pmatrix}[/math] В каждом из первых двух определителей рядов и стольбцов пропорциональны поетому и они = 0, а это означает что и их сумма = 0. А какие строки/столбцы пропорциональны в первых двух определителях? Если следовать вашей логике, можно разложить определитель, в котором три слагаемых, на три определителя, каждый из которых будет равным нулю. Но определитель из трех слагаемых не равен нулю. Но: |
||
Вернуться к началу | ||
vitalikkudinov |
|
|
searcher писал(а): Представьте ваш определитель, как определитель матрицы [math]A'A+B'B[/math] , где [math]A,B[/math] - матрицы единичного ранга. И как это поможет? [math]\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {x_1^0 + x_2^0}&{x_1^1 + x_2^1}&{x_1^2 + x_2^2} \\ {x_1^1 + x_2^1}&{x_1^2 + x_2^2}&{x_1^3 + x_2^3} \\ {x_1^2 + x_2^2}&{x_1^3 + x_2^3}&{x_1^4 + x_2^4} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {x_1^0}&{x_1^1}&{x_1^2} \\ {x_1^1}&{x_1^2}&{x_1^3} \\ {x_1^2}&{x_1^3}&{x_1^4} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {x_2^0}&{x_2^1}&{x_2^2} \\ {x_2^1}&{x_2^2}&{x_2^3} \\ {x_2^2}&{x_2^3}&{x_2^4} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {x_1^0} \\ {x_1^1} \\ {x_1^2} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {x_1^0}&{x_1^1}&{x_1^2} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {x_2^0} \\ {x_2^1} \\ {x_2^2} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {x_2^0}&{x_2^1}&{x_2^2} \end{array}} \right)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
||
Например
[math]x_{1}^{0}[/math], я понял как x1 в нулевой степени, а [math]x_{1}^{2}[/math] как x1 в квадрат. Разве не так? Если эта не так , а только индиксы та надо писат[math]x_{10} , x_{12}[/math] и т.д. |
|||
Вернуться к началу | |||
searcher |
|
||
vitalikkudinov писал(а): И как это поможет? Ранг каждого слагаемого единичный. (Ранг произведения не больше ранга сомножителей). Ранг нашей матрицы не больше двух. (Ранг суммы не больше суммы рангов). |
|||
Вернуться к началу | |||
vitalikkudinov |
|
|
Tantan писал(а): Например [math]x_{1}^{0}[/math], я понял как x1 в нулевой степени, а [math]x_{1}^{2}[/math] как x1 в квадрат. Разве не так? Если эта не так , а только индиксы та надо писат[math]x_{10} , x_{12}[/math] и т.д. Да, это степени, а не индексы |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |