Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Образ линейного отображения
СообщениеДобавлено: 17 янв 2018, 00:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 сен 2017, 21:31
Сообщений: 15
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день! Дано утверждение:
Изображение

Почему из него следует, что набор образов базисных векторов линейно зависим? Т.е. мы знаем размерность образов линейного пространства M при действии линейного отображение из L в M, но мы же не знаем размерности линейного пространства M.
Буду очень признателен за ответ, т.к. пока сам не додумался и пока что-то объяснения не нахожу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Образ линейного отображения
СообщениеДобавлено: 17 янв 2018, 01:20 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 14:50
Сообщений: 235
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
68 раз в 65 сообщениях
Очков репутации: -6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
inetskin писал(а):
Добрый день! Дано утверждение:
Изображение

Почему из него следует, что набор образов базисных векторов линейно зависим? Т.е. мы знаем размерность образов линейного пространства M при действии линейного отображение из L в M, но мы же не знаем размерности линейного пространства M.
Буду очень признателен за ответ, т.к. пока сам не додумался и пока что-то объяснения не нахожу.


Ядро линейного оператора A действующего в каком то линейном пространстве L это набор всех векторов x для которых выпольнено Ax = 0. Если это выполнено только для нулевого вектора - то ядро тривиално и его размерност dim(KerA) =0. В Вашем случае есть ненулевой вектор v, такой что Av = [math]\lambda[/math]v , тогда линейный оператор (Av - [math]\lambda v[/math]), переводить ненулевой вектор v в нулевой, это значить что у этого оператора dim(Ker(A - [math]\lambda v[/math] )) [math]\ne[/math] 0. Если размерность пространства L - n, а ранг оператора (Av - [math]\lambda v[/math]) означим через r(Av- [math]\lambda v[/math] ), то n = r(Av - [math]\lambda v[/math] ) + dim(Ker(Av - [math]\lambda v[/math])). r(Av- [math]\lambda v[/math] ) означаеться и как dimIm(Av - [math]\lambda v[/math]), а dim(Ker(Av - [math]\lambda v[/math])) называеться дефект линейного оператора! Это означает, что w матрица линейного оператора (Av - [math]\lambda v[/math]) размерност менше n т.е. определитель матрица = 0.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали:
inetskin
 Заголовок сообщения: Re: Образ линейного отображения
СообщениеДобавлено: 17 янв 2018, 01:25 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2716
Cпасибо сказано: 20
Спасибо получено:
399 раз в 379 сообщениях
Очков репутации: 122

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
inetskin писал(а):
но мы же не знаем размерности линейного пространства M.

n

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
inetskin
 Заголовок сообщения: Re: Образ линейного отображения
СообщениеДобавлено: 17 янв 2018, 12:33 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2716
Cпасибо сказано: 20
Спасибо получено:
399 раз в 379 сообщениях
Очков репутации: 122

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Поясню предыдущий пост.
inetskin писал(а):
при действии линейного отображение из L в M,

Из текста видно ([math]A\nu = \lambda \nu[/math]) , что у нас отображение из L в L.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
inetskin
 Заголовок сообщения: Re: Образ линейного отображения
СообщениеДобавлено: 17 янв 2018, 13:14 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 14:50
Сообщений: 235
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
68 раз в 65 сообщениях
Очков репутации: -6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Поясню предыдущий пост.
inetskin писал(а):
при действии линейного отображение из L в M,

Из текста видно ([math]A\nu = \lambda \nu[/math]) , что у нас отображение из L в L.


Линейный оператор, это линейное изображение в рамки определеном линейноом пространстве L, линейное изображение более общее понятие , оно линейно изображает элементый линейного пространство L в элементый линейного пространство M. В данном задании говориться об линейном операторе!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали:
inetskin
 Заголовок сообщения: Re: Образ линейного отображения
СообщениеДобавлено: 18 янв 2018, 22:21 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 сен 2017, 21:31
Сообщений: 15
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan, Light & Truth, огромное спасибо за пояснение, вы мне очень помогли! Иначе не смог дальше бы продолжить обучение, без понимания происходящего. Еще раз большое спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Образ линейного отображения
СообщениеДобавлено: 18 янв 2018, 22:59 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 сен 2017, 21:31
Сообщений: 15
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А если образы базисных векторов переходят в пространство образа где размерность 2, но размерность всего пространства, на которое происходит отображение 3. Почему же тогда векторы будут линейно зависимыми?
Например, векторы (1,0) и (0,1) это результат действия отображения линейного оператора над неким трехмерным пространством в трехмерное пространство. Размерность образа равна 2, т.е. меньше 3, но как мы видим оба этих вектора линейно независимы. Но в утверждении говорится, что наоборот.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Образ линейного отображения
СообщениеДобавлено: 18 янв 2018, 23:56 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2716
Cпасибо сказано: 20
Спасибо получено:
399 раз в 379 сообщениях
Очков репутации: 122

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
inetskin писал(а):
А если образы базисных векторов переходят в пространство образа где размерность 2

В двумерное подпространство трёхмерного пространства.
inetskin писал(а):
Например, векторы (1,0) и (0,1) это результат действия отображения линейного оператора над неким трехмерным пространством в трехмерное пространство.

Прежде всего, это векторы трёхмерного пространства и поэтому должны иметь три координаты.
inetskin писал(а):
но как мы видим оба этих вектора линейно независимы. Но в утверждении говорится, что наоборот.

Там три вектора должны быть.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Образ линейного отображения
СообщениеДобавлено: 20 янв 2018, 13:11 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 сен 2017, 21:31
Сообщений: 15
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
inetskin писал(а):
А если образы базисных векторов переходят в пространство образа где размерность 2

В двумерное подпространство трёхмерного пространства.
inetskin писал(а):
Например, векторы (1,0) и (0,1) это результат действия отображения линейного оператора над неким трехмерным пространством в трехмерное пространство.

Прежде всего, это векторы трёхмерного пространства и поэтому должны иметь три координаты.
inetskin писал(а):
но как мы видим оба этих вектора линейно независимы. Но в утверждении говорится, что наоборот.

Там три вектора должны быть.



Допустим Av1=(1,0,0) и Av2 = (0,1,0) а Av3 = (0,0,1) они же будут линейно независимыми. Если вам несложно, не могли более подробно объяснить. Заранее большое спасибо и извините если уже надоел.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Образ линейного отображения
СообщениеДобавлено: 20 янв 2018, 13:22 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 14:50
Сообщений: 235
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
68 раз в 65 сообщениях
Очков репутации: -6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
inetskin писал(а):
searcher писал(а):
inetskin писал(а):
А если образы базисных векторов переходят в пространство образа где размерность 2

В двумерное подпространство трёхмерного пространства.
inetskin писал(а):
Например, векторы (1,0) и (0,1) это результат действия отображения линейного оператора над неким трехмерным пространством в трехмерное пространство.

Прежде всего, это векторы трёхмерного пространства и поэтому должны иметь три координаты.
inetskin писал(а):
но как мы видим оба этих вектора линейно независимы. Но в утверждении говорится, что наоборот.

Там три вектора должны быть.



Допустим Av1=(1,0,0) и Av2 = (0,1,0) а Av3 = (0,0,1) они же будут линейно независимыми. Если вам несложно, не могли более подробно объяснить. Заранее большое спасибо и извините если уже надоел.

Будут линейно независимыми, это базисные векторы и их матрица [math]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/math] , это единичная матрица трехмерном пространстве, ее определитель равен 1, т..е [math]\ne 0[/math] , а это и условия для линейной независимости!
Если Вы хотите через линейное изображение(ЭТО УЖЕ НЕ БУДЕТ ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР! Об этом писали!) перевести их в каком нибудь двумерное пространства то надо строить соответную матрицу для перевода из трехмерном в двумерном пространстве, она будеть размерности 2 х 3, т.е. имеет двух строк и три столбца, и умножать по правило строку на столбец ! Например
[math]\begin{pmatrix} a1 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \end{pmatrix}[/math].[math]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/math] =[math]\begin{pmatrix} a1 \\ a21 \end{pmatrix}[/math], подобному и с осталных двух векторов!
Образы этих трех линейно независимых в тримерном пространстве вектором в двумерном пространстве в котором Вы их перевезли уже будут ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫ - в двумерном пространстве не могут быть болше двух линейно независимые векторов! Оба пространства НЕ ИЗОМОРФНЫЕ !

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали:
inetskin
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти матрицу линейного отображения

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

_vadik_

4

353

24 сен 2013, 15:10

Найти образ угла

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

qwer

0

135

23 июн 2016, 14:53

Найти образ квадранта

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

NohchI95

14

515

03 янв 2014, 15:41

Найти образ при отображении

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

delmel

6

393

21 апр 2015, 23:57

Образ и ядро оператора

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

mishaukr7

0

148

31 май 2015, 15:55

Числовой образ оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

IvanBel

2

117

30 май 2016, 16:55

Найти образ области

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

sashka11

2

434

21 мар 2013, 15:34

Найти образ отображений

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

photographer

1

88

21 ноя 2016, 23:31

Найти ядро и образ оператора

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Silas

3

897

06 апр 2012, 14:40

Линейный оператор, его образ и ядро

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Upax

2

172

04 апр 2016, 22:30


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved