Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 10 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
khammisha |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
первый и второй члены одинаковые. Это так?
|
||
Вернуться к началу | ||
khammisha |
|
|
Avgust писал(а): первый и второй члены одинаковые. Это так? Спасибо что заметили, Конечно же разные) второе слагаемое [math]b^{4}c^{4}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Slon |
|
|
Вообще эта задача не кажеться простой лично мне.
Если не ошибаюсь верно более сильное утверждение: [math]a^2+b^2+c^2=3 \Rightarrow a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\le3[/math] Весьма олимпиадная задача, где Вы ее нашли? |
||
Вернуться к началу | ||
khammisha |
|
|
Slon писал(а): Вообще эта задача не кажеться простой лично мне. Если не ошибаюсь верно более сильное утверждение: [math]a^2+b^2+c^2=3 \Rightarrow a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\le3[/math] Весьма олимпиадная задача, где Вы ее нашли? Домашняя работа) Думаю может быть попробовать использовать неравенство Коши |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
khammisha писал(а): Если a,b,c вещественные и положительные числа, и [math]a^{3}+b^{3}+c^{3}=3[/math], доказать что [math]a^{4}b^{4}+b^{4}a^{4}+c^{4}a^{4} \leqslant 3[/math]. Сначала доказываем неравенство: [math]\left( \frac{ a^3+b^3+c^3 }{ 3 } \right)^4 \geqslant \left({ \frac{ a^6b^6+b^6c^6+c^6a^6 }{ 3 } } \right)[/math], которое сводится к [math]\left( \frac{ x+y+z }{ 3 } \right)^4 \geqslant \left({ \frac{ x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 }{ 3 } } \right)[/math] для [math]x \geqslant 0,y \geqslant 0,z \geqslant 0[/math] (доказательство которого достаточно не простое). Дальше используем известное неравенство для средних степенных: [math]\sqrt[6]{ \frac{ a^6b^6+b^6c^6+c^6a^6 }{ 3 } } \geqslant \sqrt[4]{ \frac{ a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4 }{ 3 } }[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: sergebsl |
||
pewpimkin |
|
|
Подсказали. Сам бы не решил. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали: Slon |
||
Slon |
|
|
[math]\left( \frac{ x+y+z }{ 3 } \right)^4 \geqslant \left({ \frac{ x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 }{ 3 } } \right)[/math] для [math]x \geqslant 0,y \geqslant 0,z \geqslant 0[/math]
Нет, при [math]x=y=1, z = 0[/math] неравенство не выполняется. |
||
Вернуться к началу | ||
cuttheknot |
|
|
Можно воспользоваться неравенством Коши:
[math]3=a^{3}+b^{3}+c^{3} \geqslant 3\sqrt[3]{a^{3}b^{3}c^{3} }=3abc[/math] То есть [math]3 \geqslant 3abc[/math] [math]abc \leqslant 1[/math] Теперь рассмотрим: [math]a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+a^{4}c^{4}=(a^{2}b^{2} )^{2}+(b^{2}c^{2})^{2}+(a^{2}c^{2})^{2}[/math] Применим также неравенство Коши: [math](a^{2}b^{2} )^{2}+(b^{2}c^{2})^{2}+(a^{2}c^{2})^{2} \geqslant 3\sqrt[3]{a^{8}b^{8}c^{8} }=3(abc)^{\frac{ 8 }{ 3 } }[/math] Значит [math]a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+a^{4}c^{4} \geqslant 3(abc)^{\frac{ 8 }{ 3 } }[/math] А [math]abc \leqslant 1[/math], значит и [math](abc)^{\frac{ 8 }{ 3 } } \leqslant 1[/math] Значит [math]\frac{ a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+a^{4}c^{4} }{ (abc)^{\frac{ 8 }{ 3 } }} \leqslant 3[/math] [math]a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+a^{4}c^{4} \leqslant\frac{ a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+a^{4}c^{4} }{ (abc)^{\frac{ 8 }{ 3 } }} \leqslant 3[/math] Ну и наконец [math]a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+a^{4}c^{4} \leqslant 3[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
khammisha |
|
|
cuttheknot писал(а): [math]a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+a^{4}c^{4} \geqslant 3(abc)^{\frac{ 8 }{ 3 } }[/math] [math]\frac{ a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+a^{4}c^{4} }{ (abc)^{\frac{ 8 }{ 3 } }} \leqslant 3[/math] Вы допустили здесь ошибку в неравенстве |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 10 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Доказать неравенство | 1 |
296 |
15 май 2016, 06:40 |
|
Доказать неравенство | 3 |
609 |
08 янв 2017, 11:50 |
|
Как доказать неравенство
в форуме Алгебра |
1 |
290 |
28 окт 2015, 19:53 |
|
Доказать неравенство | 1 |
376 |
14 окт 2015, 23:45 |
|
Доказать неравенство
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
3 |
334 |
26 сен 2017, 17:48 |
|
Доказать неравенство
в форуме Алгебра |
9 |
422 |
27 дек 2020, 17:34 |
|
Доказать неравенство
в форуме Алгебра |
5 |
354 |
18 июн 2018, 17:20 |
|
Доказать неравенство
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
8 |
272 |
30 дек 2022, 15:18 |
|
Доказать неравенство
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
4 |
380 |
19 июл 2017, 10:38 |
|
Доказать неравенство
в форуме Алгебра |
3 |
465 |
10 июн 2017, 16:06 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 25 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |