Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 29 дек 2017, 18:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 ноя 2017, 12:31
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если a,b,c вещественные и положительные числа, и [math]a^{3}+b^{3}+c^{3}=3[/math], доказать что [math]a^{4}b^{4}+b^{4}a^{4}+c^{4}a^{4} \leqslant 3[/math]. С виду вроде как простая, но зашел в тупик. Пытался решать что [math]f(a,b,c)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3[/math], найти минимум функции и проверить неравенство, но что-то не получается. Буду рад любой помощи и подсказке

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 29 дек 2017, 21:32 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10933
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 948
Спасибо получено:
3222 раз в 2814 сообщениях
Очков репутации: 628

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
первый и второй члены одинаковые. Это так?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 29 дек 2017, 21:34 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 ноя 2017, 12:31
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
первый и второй члены одинаковые. Это так?

Спасибо что заметили, Конечно же разные)
второе слагаемое [math]b^{4}c^{4}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 30 дек 2017, 00:12 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 18:48
Сообщений: 729
Cпасибо сказано: 27
Спасибо получено:
166 раз в 154 сообщениях
Очков репутации: 29

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вообще эта задача не кажеться простой лично мне.
Если не ошибаюсь верно более сильное утверждение:
[math]a^2+b^2+c^2=3 \Rightarrow a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\le3[/math]
Весьма олимпиадная задача, где Вы ее нашли?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 30 дек 2017, 18:22 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 ноя 2017, 12:31
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Slon писал(а):
Вообще эта задача не кажеться простой лично мне.
Если не ошибаюсь верно более сильное утверждение:
[math]a^2+b^2+c^2=3 \Rightarrow a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\le3[/math]
Весьма олимпиадная задача, где Вы ее нашли?


Домашняя работа)
Думаю может быть попробовать использовать неравенство Коши

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 02 янв 2018, 00:13 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 2319
Cпасибо сказано: 58
Спасибо получено:
764 раз в 709 сообщениях
Очков репутации: 115

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
khammisha писал(а):
Если a,b,c вещественные и положительные числа, и [math]a^{3}+b^{3}+c^{3}=3[/math], доказать что [math]a^{4}b^{4}+b^{4}a^{4}+c^{4}a^{4} \leqslant 3[/math].

Сначала доказываем неравенство: [math]\left( \frac{ a^3+b^3+c^3 }{ 3 } \right)^4 \geqslant \left({ \frac{ a^6b^6+b^6c^6+c^6a^6 }{ 3 } } \right)[/math], которое сводится к [math]\left( \frac{ x+y+z }{ 3 } \right)^4 \geqslant \left({ \frac{ x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 }{ 3 } } \right)[/math] для [math]x \geqslant 0,y \geqslant 0,z \geqslant 0[/math] (доказательство которого достаточно не простое). Дальше используем известное неравенство для средних степенных: [math]\sqrt[6]{ \frac{ a^6b^6+b^6c^6+c^6a^6 }{ 3 } } \geqslant \sqrt[4]{ \frac{ a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4 }{ 3 } }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
sergebsl
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 03 янв 2018, 18:12 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 12:03
Сообщений: 6436
Cпасибо сказано: 407
Спасибо получено:
3210 раз в 2533 сообщениях
Очков репутации: 674

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Изображение

Подсказали. Сам бы не решил.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали:
Slon
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 08 янв 2018, 13:37 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 18:48
Сообщений: 729
Cпасибо сказано: 27
Спасибо получено:
166 раз в 154 сообщениях
Очков репутации: 29

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\left( \frac{ x+y+z }{ 3 } \right)^4 \geqslant \left({ \frac{ x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 }{ 3 } } \right)[/math] для [math]x \geqslant 0,y \geqslant 0,z \geqslant 0[/math]

Нет, при [math]x=y=1, z = 0[/math] неравенство не выполняется.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 15 янв 2018, 10:23 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 дек 2017, 16:49
Сообщений: 45
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно воспользоваться неравенством Коши:

[math]3=a^{3}+b^{3}+c^{3} \geqslant 3\sqrt[3]{a^{3}b^{3}c^{3} }=3abc[/math]
То есть
[math]3 \geqslant 3abc[/math]
[math]abc \leqslant 1[/math]

Теперь рассмотрим:
[math]a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+a^{4}c^{4}=(a^{2}b^{2} )^{2}+(b^{2}c^{2})^{2}+(a^{2}c^{2})^{2}[/math]
Применим также неравенство Коши:
[math](a^{2}b^{2} )^{2}+(b^{2}c^{2})^{2}+(a^{2}c^{2})^{2} \geqslant 3\sqrt[3]{a^{8}b^{8}c^{8} }=3(abc)^{\frac{ 8 }{ 3 } }[/math]
Значит
[math]a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+a^{4}c^{4} \geqslant 3(abc)^{\frac{ 8 }{ 3 } }[/math]
А [math]abc \leqslant 1[/math], значит и [math](abc)^{\frac{ 8 }{ 3 } } \leqslant 1[/math]

Значит
[math]\frac{ a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+a^{4}c^{4} }{ (abc)^{\frac{ 8 }{ 3 } }} \leqslant 3[/math]
[math]a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+a^{4}c^{4} \leqslant\frac{ a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+a^{4}c^{4} }{ (abc)^{\frac{ 8 }{ 3 } }} \leqslant 3[/math]

Ну и наконец
[math]a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+a^{4}c^{4} \leqslant 3[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 15 янв 2018, 11:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 ноя 2017, 12:31
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
cuttheknot писал(а):
[math]a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+a^{4}c^{4} \geqslant 3(abc)^{\frac{ 8 }{ 3 } }[/math]
[math]\frac{ a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+a^{4}c^{4} }{ (abc)^{\frac{ 8 }{ 3 } }} \leqslant 3[/math]


Вы допустили здесь ошибку в неравенстве

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Как доказать неравенство

в форуме Алгебра

Kosta

1

159

28 окт 2015, 20:53

Доказать неравенство

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Skyfire

1

347

26 фев 2014, 03:35

Доказать неравенство

в форуме Алгебра

nikitalyutenko

2

83

26 фев 2018, 16:08

Доказать неравенство

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

anya_mathematics

5

179

28 ноя 2016, 16:38

Доказать неравенство

в форуме Алгебра

Woxa999

1

240

27 фев 2014, 14:21

Как доказать неравенство?

в форуме Тригонометрия

sfanter

14

463

23 янв 2016, 10:23

Доказать неравенство

в форуме Алгебра

Amorah

3

176

10 июн 2017, 17:06

Доказать неравенство

в форуме Алгебра

lika01

4

306

24 апр 2013, 15:38

Доказать неравенство

в форуме Геометрия

anya_mathematics

1

140

29 ноя 2016, 14:47

Доказать неравенство

в форуме Алгебра

Solopa

1

111

31 окт 2016, 15:00


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved