Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 29 дек 2017, 17:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 ноя 2017, 11:31
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если a,b,c вещественные и положительные числа, и [math]a^{3}+b^{3}+c^{3}=3[/math], доказать что [math]a^{4}b^{4}+b^{4}a^{4}+c^{4}a^{4} \leqslant 3[/math]. С виду вроде как простая, но зашел в тупик. Пытался решать что [math]f(a,b,c)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3[/math], найти минимум функции и проверить неравенство, но что-то не получается. Буду рад любой помощи и подсказке

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 29 дек 2017, 20:32 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 11069
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3234 раз в 2824 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
первый и второй члены одинаковые. Это так?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 29 дек 2017, 20:34 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 ноя 2017, 11:31
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
первый и второй члены одинаковые. Это так?

Спасибо что заметили, Конечно же разные)
второе слагаемое [math]b^{4}c^{4}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 29 дек 2017, 23:12 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
205 раз в 186 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вообще эта задача не кажеться простой лично мне.
Если не ошибаюсь верно более сильное утверждение:
[math]a^2+b^2+c^2=3 \Rightarrow a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\le3[/math]
Весьма олимпиадная задача, где Вы ее нашли?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 30 дек 2017, 17:22 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 ноя 2017, 11:31
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Slon писал(а):
Вообще эта задача не кажеться простой лично мне.
Если не ошибаюсь верно более сильное утверждение:
[math]a^2+b^2+c^2=3 \Rightarrow a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\le3[/math]
Весьма олимпиадная задача, где Вы ее нашли?


Домашняя работа)
Думаю может быть попробовать использовать неравенство Коши

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 01 янв 2018, 23:13 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 2943
Cпасибо сказано: 83
Спасибо получено:
981 раз в 908 сообщениях
Очков репутации: 144

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
khammisha писал(а):
Если a,b,c вещественные и положительные числа, и [math]a^{3}+b^{3}+c^{3}=3[/math], доказать что [math]a^{4}b^{4}+b^{4}a^{4}+c^{4}a^{4} \leqslant 3[/math].

Сначала доказываем неравенство: [math]\left( \frac{ a^3+b^3+c^3 }{ 3 } \right)^4 \geqslant \left({ \frac{ a^6b^6+b^6c^6+c^6a^6 }{ 3 } } \right)[/math], которое сводится к [math]\left( \frac{ x+y+z }{ 3 } \right)^4 \geqslant \left({ \frac{ x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 }{ 3 } } \right)[/math] для [math]x \geqslant 0,y \geqslant 0,z \geqslant 0[/math] (доказательство которого достаточно не простое). Дальше используем известное неравенство для средних степенных: [math]\sqrt[6]{ \frac{ a^6b^6+b^6c^6+c^6a^6 }{ 3 } } \geqslant \sqrt[4]{ \frac{ a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4 }{ 3 } }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
sergebsl
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 03 янв 2018, 17:12 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 6614
Cпасибо сказано: 414
Спасибо получено:
3276 раз в 2591 сообщениях
Очков репутации: 680

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Изображение

Подсказали. Сам бы не решил.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали:
Slon
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 08 янв 2018, 12:37 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
205 раз в 186 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\left( \frac{ x+y+z }{ 3 } \right)^4 \geqslant \left({ \frac{ x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 }{ 3 } } \right)[/math] для [math]x \geqslant 0,y \geqslant 0,z \geqslant 0[/math]

Нет, при [math]x=y=1, z = 0[/math] неравенство не выполняется.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 15 янв 2018, 09:23 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 дек 2017, 15:49
Сообщений: 45
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно воспользоваться неравенством Коши:

[math]3=a^{3}+b^{3}+c^{3} \geqslant 3\sqrt[3]{a^{3}b^{3}c^{3} }=3abc[/math]
То есть
[math]3 \geqslant 3abc[/math]
[math]abc \leqslant 1[/math]

Теперь рассмотрим:
[math]a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+a^{4}c^{4}=(a^{2}b^{2} )^{2}+(b^{2}c^{2})^{2}+(a^{2}c^{2})^{2}[/math]
Применим также неравенство Коши:
[math](a^{2}b^{2} )^{2}+(b^{2}c^{2})^{2}+(a^{2}c^{2})^{2} \geqslant 3\sqrt[3]{a^{8}b^{8}c^{8} }=3(abc)^{\frac{ 8 }{ 3 } }[/math]
Значит
[math]a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+a^{4}c^{4} \geqslant 3(abc)^{\frac{ 8 }{ 3 } }[/math]
А [math]abc \leqslant 1[/math], значит и [math](abc)^{\frac{ 8 }{ 3 } } \leqslant 1[/math]

Значит
[math]\frac{ a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+a^{4}c^{4} }{ (abc)^{\frac{ 8 }{ 3 } }} \leqslant 3[/math]
[math]a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+a^{4}c^{4} \leqslant\frac{ a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+a^{4}c^{4} }{ (abc)^{\frac{ 8 }{ 3 } }} \leqslant 3[/math]

Ну и наконец
[math]a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+a^{4}c^{4} \leqslant 3[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать неравенство
СообщениеДобавлено: 15 янв 2018, 10:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 ноя 2017, 11:31
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
cuttheknot писал(а):
[math]a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+a^{4}c^{4} \geqslant 3(abc)^{\frac{ 8 }{ 3 } }[/math]
[math]\frac{ a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+a^{4}c^{4} }{ (abc)^{\frac{ 8 }{ 3 } }} \leqslant 3[/math]


Вы допустили здесь ошибку в неравенстве

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать неравенство

в форуме Интегральное исчисление

TheGuy

1

108

15 апр 2017, 08:54

Доказать неравенство.

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

svetlanka25

5

459

05 ноя 2011, 20:46

Доказать неравенство

в форуме Алгебра

Nemesis

2

473

14 янв 2011, 19:34

доказать неравенство

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

bobo

4

590

30 сен 2012, 13:36

Доказать неравенство

в форуме Алгебра

Solopa

1

127

31 окт 2016, 14:00

Доказать неравенство

в форуме Алгебра

Woxa999

7

375

08 мар 2015, 12:01

Как доказать неравенство

в форуме Алгебра

Kosta

1

167

28 окт 2015, 19:53

Доказать неравенство

в форуме Дифференциальное исчисление

lampard

2

192

06 дек 2011, 02:04

Доказать неравенство

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

progphp

1

220

24 май 2015, 22:05

Доказать неравенство

в форуме Алгебра

nikitalyutenko

2

92

26 фев 2018, 15:08


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved