Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Матрицы докзательство если ABAB=0, то тогда и BABA = 0
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=32&t=56214
Страница 1 из 1

Автор:  Elefanto [ 22 окт 2017, 12:45 ]
Заголовок сообщения:  Матрицы докзательство если ABAB=0, то тогда и BABA = 0

Здравствуйте. Даны 2 квадратные матрицы А и В из множества рациональных чисел. Надо доказать (или дать контрпример) следующего: если ABAB=0, то тогда и BABA = 0. Спасибо за помощь.

Автор:  3D Homer [ 22 окт 2017, 13:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Матрицы докзательство если ABAB=0, то тогда и BABA = 0

Это верно для матриц размера 2х2, но ложно для матриц большего размера. Например, [math]A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/math].

Автор:  Elefanto [ 22 окт 2017, 13:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Матрицы докзательство если ABAB=0, то тогда и BABA = 0

Cпасибо большое! А для матриц два на два можете дать доказательство ... Надеюсь, что не очень затрудняю с этим )

Автор:  3D Homer [ 22 окт 2017, 13:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Матрицы докзательство если ABAB=0, то тогда и BABA = 0

Я скопирую доказательство из книги: Kiran Sridhara Kedlaya, Bjorn Poonen, Ravi Vakil. The William Lowell Putnam Mathematical Competition 1985-2000.

Если [math]ABAB=0[/math], то [math]B(ABAB)A=0[/math], следовательно, матрица [math]BA[/math] нильпотентна. Но если матрица [math]M[/math] размера 2х2 нильпотентна, то ее характеристический многочлен есть [math]x^2[/math], поэтому [math]M^2=0[/math] по теореме Гамильтона-Кэли.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/