Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Матрицы докзательство если ABAB=0, то тогда и BABA = 0 http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=32&t=56214 |
Страница 1 из 1 |
Автор: | Elefanto [ 22 окт 2017, 12:45 ] |
Заголовок сообщения: | Матрицы докзательство если ABAB=0, то тогда и BABA = 0 |
Здравствуйте. Даны 2 квадратные матрицы А и В из множества рациональных чисел. Надо доказать (или дать контрпример) следующего: если ABAB=0, то тогда и BABA = 0. Спасибо за помощь. |
Автор: | 3D Homer [ 22 окт 2017, 13:18 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Матрицы докзательство если ABAB=0, то тогда и BABA = 0 |
Это верно для матриц размера 2х2, но ложно для матриц большего размера. Например, [math]A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/math]. |
Автор: | Elefanto [ 22 окт 2017, 13:32 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Матрицы докзательство если ABAB=0, то тогда и BABA = 0 |
Cпасибо большое! А для матриц два на два можете дать доказательство ... Надеюсь, что не очень затрудняю с этим ) |
Автор: | 3D Homer [ 22 окт 2017, 13:43 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Матрицы докзательство если ABAB=0, то тогда и BABA = 0 |
Я скопирую доказательство из книги: Kiran Sridhara Kedlaya, Bjorn Poonen, Ravi Vakil. The William Lowell Putnam Mathematical Competition 1985-2000. Если [math]ABAB=0[/math], то [math]B(ABAB)A=0[/math], следовательно, матрица [math]BA[/math] нильпотентна. Но если матрица [math]M[/math] размера 2х2 нильпотентна, то ее характеристический многочлен есть [math]x^2[/math], поэтому [math]M^2=0[/math] по теореме Гамильтона-Кэли. |
Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |