Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Разложить вектор
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=32&t=55760
Страница 1 из 1

Автор:  kicultanya [ 22 сен 2017, 20:32 ]
Заголовок сообщения:  Разложить вектор

Разложить вектор [math]\overline{x}[/math](3,-1,1) на сумму двух векторов, один из которых лежит в подпространстве, натянутом на векторы [math]\overline{a}_{1}[/math](0,1,2), [math]\overline{a}_{2}[/math](1,1,1), а другой ортогонален этому пространству. Спасибо.

Автор:  3D Homer [ 22 сен 2017, 21:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложить вектор

Один способ — это записать [math]\bar{x}=x_1\bar{a}_1+x_2\bar{a}_2+\bar{y}[/math], где [math]\bar{y}[/math] перпендикулярен [math]\bar{a}_1[/math], [math]\bar{a}_2[/math]. Далее умножьте это равенство скалярно на [math]\bar{a}_1[/math] и [math]\bar{a}_2[/math]. Получится система из двух уравнений на [math]x_1[/math], [math]x_2[/math].

Автор:  Kirill1986 [ 22 сен 2017, 23:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложить вектор

Для нахождения продольной компоненты строим единичные векторы: [math]\vec{e_{1} }=\frac{ \vec{a_{1} } }{ \left| \vec{a_{1} } \right| }=\left( 0, \frac{ 1 }{ \sqrt{5} }, \frac{ 2 }{ \sqrt{5} } \right)[/math] и [math]\vec{e_{2} }=\frac{ \vec{a_{2} } }{ \left| \vec{a_{2} } \right| }=\left( \frac{ 1 }{ \sqrt{5} } , \frac{ 1 }{ \sqrt{5} }, \frac{ 1 }{ \sqrt{5} } \right)[/math]. Находим проекции: [math]x_{1}=\vec{x} \cdot \vec{e_{1} }=\frac{ 1 }{ \sqrt{5} }[/math], [math]x_{2}=\vec{x} \cdot \vec{e_{2} }=\frac{ 3 }{ \sqrt{5} }[/math]. Тогда [math]\vec{x_{1} }=x_{1} \cdot \vec{e_{1} }=\left(0,\frac{ 1 }{ 5 }, \frac{ 2 }{ 5 } \right)[/math], [math]\vec{x_{2} }=x_{2} \cdot \vec{e_{2} }=\left(\frac{ 3 }{ 5 } ,\frac{ 3 }{ 5 }, \frac{ 3 }{ 5 } \right)[/math]. Наконец, [math]{\vec{x_{ \parallel } } }=\vec{x_{1} }+\vec{x_{2} }=\left( \frac{ 3 }{ 5 }, \frac{ 4 }{ 5 }, 1 \right)[/math]. [math]\vec{x }=\vec{x_{ \parallel }}+\vec{x_{ \perp } }[/math], поэтому [math]\vec{x_{ \perp }}=\vec{x}-\vec{x_{ \parallel }}=\left( \frac{ 12 }{ 5 }, -\frac{ 9 }{ 5 },0 \right)[/math].

Автор:  3D Homer [ 22 сен 2017, 23:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложить вектор

Что-то (12, -9, 0) не перпендикулярен (0,1,2) и (1,1,1).

Автор:  Kirill1986 [ 22 сен 2017, 23:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложить вектор

Ну, конечно, я ведь неправильно нашел [math]\vec{e_{2} }=\left( \frac{ 1 }{ \sqrt{3} }, \frac{ 1 }{ \sqrt{3} }, \frac{ 1 }{ \sqrt{3} } \right)[/math]. [math]x_{2} =\vec{x} \cdot \vec{e_{2} }=\sqrt{3}[/math]. [math]\vec{x_{2} }=x_{2} \cdot \vec{e_{2} }=\left( 1,1,1 \right)[/math]...

Так, стоп!!! Здесь не сказано, что базис ортогональный! Соответственно, мое решение не проходит... А у меня 4 ночи... Я баеньки пошел. Пусть кто-нибудь за меня потрудится... Если к завтрашнему дню эти семечки не будут расщелканы, то я их дощелкаю. :)

Автор:  Kirill1986 [ 23 сен 2017, 07:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложить вектор

kicultanya, Вы немного не дописали условие задачи до конца. Дано ли в условии, что базис, в котором записаны координаты всех векторов, фигурирующих в условии, является ортонормированным? Если нет, то условие следует дополнить заданием матрицы Грама базисной системы векторов.

Автор:  kicultanya [ 23 сен 2017, 09:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложить вектор

kicultanya писал(а):
Разложить вектор [math]\overline{x}[/math](3,-1,1) на сумму двух векторов, один из которых лежит в подпространстве, натянутом на векторы [math]\overline{a}_{1}[/math](0,1,2), [math]\overline{a}_{2}[/math](1,1,1), а другой ортогонален этому пространству. Спасибо.

Это все условие.

Автор:  Kirill1986 [ 23 сен 2017, 13:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложить вектор

kicultanya, в таком случае я гарантированно говорю Вам, что в условие некорректно. Преподаватели ВУЗов частенько допускают подобные ошибки в условиях, если их задачи не проходят рецензирование, как у всех выпускаемых учебников-задачников. Нижеприводимое решение справедливо в предположении, что базис является ортонормированным.
[math]\vec{e_{1} }=\frac{ \vec{a_{1} } }{\left| \vec{a_{1} } \right| }=\left( 0, \frac{ 1 }{ \sqrt{5} },\frac{ 2 }{ \sqrt{5} } \right)[/math], [math]\vec{e_{2} }=\frac{ \vec{a_{2} } }{\left| \vec{a_{2} } \right| }=\left(\frac{ 1 }{ \sqrt{3} } , \frac{ 1 }{ \sqrt{3} },\frac{ 1 }{ \sqrt{3} } \right)[/math].
Строим вектор [math]\vec{e_{3}^{'}} =\vec{e_{1} } \times \vec{e_{2} }= \begin{vmatrix} \vec{e_{x} } & \vec{e_{y} } & \vec{e_{z} } \\ 0 & \frac{ 1 }{ \sqrt{5} } & \frac{ 2 }{ \sqrt{5} } \\ \frac{ 1 }{ \sqrt{3} } & \frac{ 1 }{ \sqrt{3} } & \frac{ 1 }{ \sqrt{3} } \end{vmatrix}=\left( -\frac{ 1 }{ \sqrt{15} }, \frac{ 2 }{ \sqrt{15} }, -\frac{ 1 }{ \sqrt{15} } \right)[/math] и нормируем его: [math]\vec{e_{3} }=\frac{\vec{e_{3}^{'}}}{ \left| \vec{e_{3}^{'}} \right| }=\left( -\frac{ 1 }{ \sqrt{6}}, \sqrt{\frac{ 2 }{ 3 } } ,-\frac{ 1 }{ \sqrt{6}} \right)[/math].
Тогда [math]x_{ \perp }=\vec{x} \cdot \vec{e_{3} }=-\sqrt{6}[/math], [math]\vec{x_{ \perp }}=x_{ \perp } \cdot \vec{e_{3} }=\left( 1,-2,1 \right)[/math].
[math]\vec{x_{ \parallel } }=\vec{x}- \vec{x_{ \perp }}=\left( 2, 1, 0 \right)[/math].
ОТВЕТ:[math]\vec{x_{ \parallel } }=\left( 2, 1, 0 \right)[/math], [math]\vec{x_{ \perp }}=\left( 1,-2,1 \right)[/math].

Кстати, в моих предыдущих ответах многое написано правильно, но логика получения результата неверна, поскольку, вообще говоря, [math]\vec{x_{ \parallel } } \ne \vec{x_{1}} + \vec{x_{2}}[/math] (!)

Удачи!

Автор:  Kirill1986 [ 23 сен 2017, 16:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложить вектор

Нет, все же я немного поспешил... Задача поставлена корректно! Указанные в условии векторы все взяты из пространства [math]\mathbb{R} ^{3}[/math]. Все координаты (числа в скобках) указаны относительно ортонормированного базиса [math]\vec{e_{1} }=\left( 1,0,0 \right)[/math], [math]\vec{e_{2} }=\left( 0,1,0 \right)[/math], [math]\vec{e_{3} }=\left( 0,0,1 \right)[/math]. Мое замечание было бы верно, если бы не было прямого указания на пространство [math]\mathbb{R} ^{3}[/math], и векторы записывались бы в виде [math]\vec{v}= v_{1}\vec{e_{1}}+v_{2}\vec{e_{2}}+v_{3}\vec{e_{3}}[/math]. Вот тогда на базисные векторы [math]\vec{e_{1} }[/math], [math]\vec{e_{2} }[/math], [math]\vec{e_{3} }[/math] действительно следовало бы наложить ограничение ортонормированности: [math]\vec{e_{i} } \cdot \vec{e_{j} }= \delta _{ij}[/math], [math]i, j \in \left\{ 1,2,3 \right\}[/math]. Но здесь оно уже выполнено. Ведь в пространстве [math]\mathbb{R} ^{3}[/math] по определению [math]\vec{x} \cdot \vec{y}=\sum\limits_{i=1}^{3} x_{i}y_{i}[/math], где [math]\vec{x}=\left( x_{1},x_{2},x_{3} \right)[/math], [math]\vec{y}=\left( y_{1},y_{2},y_{3} \right)[/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/