Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти какой - нибудь базис системы векторов
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=32&t=55759
Страница 1 из 2

Автор:  kicultanya [ 22 сен 2017, 19:41 ]
Заголовок сообщения:  Найти какой - нибудь базис системы векторов

Найти какой - нибудь базис системы векторов. Выразить через него все остальные векторы данной системы.
[math]\vec{a}[/math][math]_{1}[/math]= (1,1,2,-1)
[math]\vec{a}[/math][math]_{2}[/math]= (1,2,1,-2)
[math]\vec{a}[/math][math]_{3}[/math]= (1,1,-2,3)
[math]\vec{a}[/math][math]_{4}[/math]= (1,2,-3,4)
[math]\begin{pmatrix} \end{pmatrix}[/math]
[math]\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & -4 & 6 \end{vmatrix}[/math]=
[math]\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 1 & -5 & 5 \end{vmatrix}[/math]=
[math]\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}[/math]=-8
В чем ошибка? Решение не полное?

Автор:  Andy [ 22 сен 2017, 20:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти какой - нибудь базис системы векторов

kicultanya
Что Вы пытались доказать, используя определители?

Автор:  kicultanya [ 23 сен 2017, 09:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти какой - нибудь базис системы векторов

Решить задачу.

Автор:  Andy [ 23 сен 2017, 10:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти какой - нибудь базис системы векторов

kicultanya
Вы правильно вычислили определитель. Он не равен нулю. Значит, заданная система векторов, согласно теореме о необходимом и достаточном условии линейной независимости системы векторов в координатной форме, линейно независима и образует базис. А что Вы собираетесь делать дальше, чтобы решить задачу? Какие векторы нужно разложить по базису? Их ведь нет.

Автор:  Kirill1986 [ 23 сен 2017, 13:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти какой - нибудь базис системы векторов

kicultanya, Вы верно вычислили определитель. Как правильно сказал Andy, указанные в условии векторы и образуют базис. Все векторы в этом базисе просто равны самим себе. Можете преподавателю, помимо этого, добавить еще и такое второе решение. Базисом будет следующая классическая система векторов:
[math]\vec{e_{1} }=\left( 1,0,0,0 \right)[/math],
[math]\vec{e_{2} }=\left( 0,1,0,0 \right)[/math],
[math]\vec{e_{3} }=\left( 0,0,1,0 \right)[/math],
[math]\vec{e_{1} }=\left( 0,0,0,1 \right)[/math]
(определитель такой системы является определителем единичной матрицы [math]\left( 4 \times 4 \right)[/math], равен единице и, таким образом, отличен от нуля).
Векторы [math]\vec{a_{1} }[/math], [math]\vec{a_{2} }[/math], [math]\vec{a_{3} }[/math], [math]\vec{a_{4} }[/math] так выражаются через векторы [math]\vec{e_{1} }[/math], [math]\vec{e_{2} }[/math], [math]\vec{e_{3} }[/math], [math]\vec{e_{4} }[/math]:
[math]\vec{a_{1} }=\vec{e_{1} }+ \vec{e_{2} }+2\vec{e_{3} }-\vec{e_{4} }[/math];
[math]\vec{a_{2} }=\vec{e_{1} }+ 2\vec{e_{2} }+\vec{e_{3} }-2\vec{e_{4} }[/math];
[math]\vec{a_{3} }=\vec{e_{1} }+ \vec{e_{2} }-2\vec{e_{3} }+3\vec{e_{4} }[/math];
[math]\vec{a_{4} }=\vec{e_{1} }+ 2\vec{e_{2} }-3\vec{e_{3} }+4\vec{e_{4} }[/math].

Удачи!

Автор:  kicultanya [ 27 сен 2017, 19:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти какой - нибудь базис системы векторов

Найти какой- нибудь базис системы векторов. Выразить через него все остальные векторы данной системы:
bar (a)_1= (1,1,2,-1)`
bar (a)_2= (1,2,1,-2)`
bar (a)_3= (1,1,-2,3)`
bar (a)_4= (1,2,-3,4)`
A= |(1,1,2,-1),(1,2,1,-2),(1,1,-2,3),(1,2,-3,4)|= |(1,1,2,-1),(0,1,-1,-1),(0,0,-4,4),(0,1,-5,5)| = |(1,1,2,-1),(0,1,-1,-1),(0,0,-4,4),(0,0,-4,6)|= |(1,1,2,-1),(0,1,-1,-1),(0,0,-4,4),(0,0,0,2)|= -8 !=0`
Система векторов `a_1;a_2;a_3;a_4` является линейно - независимой.
Исходные векторы являются базисом четырехмерного пространства.
x_1+x_2+2x_3-x_4=0
x_2-x_3-x_4=0
`-4x_3+4x_4=8
`2x_4=0`
Чтобы получить какой-нибудь базис подставим произвольные значения x_1=1;x_3=1`
`x_2=-x_1-2x_3+x_4`
`x_2=-1-2+0=-3`
Ответ: (1,-3,1,0)
`xbar (a)_1+x_2bar (a)_2+x_3bar (a)_3+x_4bar (a)_4=b`
`bar (x)_1+bar (x)_2+bar (x)_3+bar (x)_4=1`
`bar (x)_1+2bar (x)_2+bar (x)_3+2bar (x)_4=-3`
`2bar (x)_1+bar (x)_2-2bar (x)_3-3bar (x)_4=1`
`-bar (x)_1-2bar (x)_2+3bar (x)_3+4bar (x)_4=0`
`Delta= |(1,1,1,1),(1,2,1,2),(2,1,-2,-3),(-1,-2,3,4)|=-8`
`Delta_1= |(1,1,1,1),(-3,2,1,2),(1,1,-2,-3),(0,-2,3,4)|=2`
`Delta_2= |(1,1,1,1),(1,-3,1,2),(2,1,-2,-3),(-1,0,3,4)|=0`
`Delta_3= |(1,1,1,1),(1,2,-3,2),(2,1,1,-3),(-1,-2,0,4)|=-42`
`Delta_4= |(1,1,1,1),(1,2,1,-3),(2,1,-2,1),(-1,-2,3,0)|=32`
`x_1=Delta_1/Delta=-(1/4)`
`x_2=Delta_2/Delta=0`
`x_3=Delta_3/Delta=21/4`
`x_4=Delta_4/Delta=4`
В базисе `а_1,а_2,а_3,а_4` координаты `x _1=-(1/4)`
`x_2=0`
`x_3=21/4`
`x_4=4

Спасибо.

Автор:  kicultanya [ 27 сен 2017, 20:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти какой - нибудь базис системы векторов

Найти какой - нибудь базис системы векторов. Выразить через него все остальные векторы данной системы.
[math]\vec{a}[/math][math]_{1}[/math]= (1,1,2,-1)
[math]\vec{a}[/math][math]_{2}[/math]= (1,2,1,-2)
[math]\vec{a}[/math][math]_{3}[/math]= (1,1,-2,3)
[math]\vec{a}[/math][math]_{4}[/math]= (1,2,-3,4)
[math]\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & -4 & 6 \end{vmatrix}[/math]=
[math]\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 1 & -5 & 5 \end{vmatrix}[/math]=
[math]\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}[/math]=-8
Система векторов [math]a_{1}, a_{2};a_{3};a_{4}[/math] является линейно - независимой.
Исходные векторы являются базисом четырехмерного пространства.
[math]x_{1}+x_{2}+2x_{3}-x_{4}=0[/math]
[math]x_{2}-x_{3}-x_{4}=0[/math]
[math]-4x_{3}+4x_{4}=8[/math]
[math]2x_{4}=0[/math]
Чтобы получить какой-нибудь базис подставим произвольные значения [math]x_{1}=1;x_{3}=1[/math]
[math]x_{2}=-x_{1}-2x_{3}+x_{4}[/math]
[math]x_{2}=-1-2+0=-3[/math]
Ответ: (1,-3,1,0)
[math]x a_{1}+x_{2} a_{2}+x_{3} a_{3}+x_{4} a_{4}=b[/math]
[math](x)_1+ (x)_2+(x)_3+ (x)_4=1[/math]
[math](x)_1+2 (x)_2+ (x)_3+2 (x)_4=-3[/math]
[math]2 (x)_1+ (x)_2-2 (x)_3-3 (x)_4=1[/math]
[math]- (x)_1-2 (x)_2+3 (x)_3+4 (x)_4=0[/math]
[math]\Delta[/math]= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -2 & -3 \\ -1 & -2 & 3 & 4 \end{vmatrix}=-8[/math]
\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -2 & -3 \\ -1 & -2 & 3 & 4 \end{vmatrix}=2[/math]
D ,fpbct f_{1},f_{2},f_{3},f_{4} rjjhlbyfns `x _1=-(1|4)`
[math]x_{2}=0[/math]
[math]x_{3}=\frac{ 21 }{ 4 }[/math]
[math]x_{4}=4[/math]
Спасибо.
Ошибка во всем решении. Нужно по другому решать?
В чем ошибка? Решение не полное?

Автор:  Andy [ 27 сен 2017, 20:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти какой - нибудь базис системы векторов

kicultanya
Всё, что нужно было, Вам уже написали. Четыре заданных вектора являются базисными. Что Вы хотите выразить в этом базисе? Или Вы хотите найти ещё один (уже третий) базис и выразить в нём четыре заданных вектора?

Автор:  kicultanya [ 02 окт 2017, 19:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти какой - нибудь базис системы векторов

Найти какой - нибудь базис системы векторов. Выразить через него все остальные векторы данной системы.
[math]\vec{a}[/math][math]_{1}[/math]= (1,1,2,-1)
[math]\vec{a}[/math][math]_{2}[/math]= (1,2,1,-2)
[math]\vec{a}[/math][math]_{3}[/math]= (1,1,-2,3)
[math]\vec{a}[/math][math]_{4}[/math]= (1,2,-3,4)
[math]\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -2 & -3\\ -1& -2 & 3 & 4 \end{vmatrix}[/math]=
[math]\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -4 & -5 \\ 0 & -1 & 4 & 5 \end{vmatrix}[/math]=
[math]\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & -4 \\ 0 & 0 & 4 & 6 \end{vmatrix}[/math]=
[math]\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 6 \end{vmatrix}[/math]=
[math]\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}[/math]=
[math]\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}[/math]=
[math]\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}[/math]=
Данная система образует базис (линейно- независимая система векторов, т. к. все [math]X_i[/math]=0
Ошибка во всем решении. Нужно по другому решать?
В чем ошибка? Решение не полное?

Автор:  kicultanya [ 08 ноя 2017, 18:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти какой - нибудь базис системы векторов

[math]\vec{a}[/math][math]_{1}[/math]= (1,1,2,-1)
[math]\vec{a}[/math][math]_{2}[/math]= (1,2,1,-2)
[math]\vec{a}[/math][math]_{3}[/math]= (1,1,-2,3)
[math]\vec{a}[/math][math]_{4}[/math]= (1,2,-3,4)
[math]\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 &\!\!\vline\!\!& \vec{a_{1}} \\ 1 & 2 & 1 & -2 &\!\!\vline\!\!& \vec{a_{2}} \\ 1 & 1 & -2 & 3 &\!\!\vline\!\!& \vec{a_{3}} \\ 1 & 2 & -3 & 4 &\!\!\vline\!\!& \vec{a _{4}} \end{pmatrix}[/math]=[math]\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 &\!\!\vline\!\!& \vec{a_{1} } \\ 0 & 1 & -1 & -1 &\!\!\vline\!\!& \vec{a_{2}} -\vec{a_{1}} \\ 0 & 0 & -4 & 4 &\!\!\vline\!\!& \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} \\ 0 & 1 & -5 & 5 &\!\!\vline\!\!& \vec{a _{4}}-\vec{a_{1}} \end{pmatrix}[/math]=[math]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 &\!\!\vline\!\!& \vec{a_{1} }-\vec{a_{2}} +\vec{a_{1}} \\ 0 & 1 & -1 & -1 &\!\!\vline\!\!& \vec{a_{2}} -\vec{a_{1}} \\ 0 & 0 & 1 & -1 &\!\!\vline\!\!&\frac{ \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} }{ -4 } \\ 0 & 0 & -4 & 6 &\!\!\vline\!\!& \vec{a _{4}}-\vec{a_{1}} -\vec{a_{2}} +\vec{a_{1}} \end{pmatrix}[/math]=[math]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 &\!\!\vline\!\!& \vec{a_{1} }-\vec{a_{2}} +\vec{a_{1}} \\ 0 & 1 & 0 & -2 &\!\!\vline\!\!& \vec{a_{2}} -\vec{a_{1}} +\frac{ \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} }{ -4 } \\ 0 & 0 & 1 & -1 &\!\!\vline\!\!&\frac{ \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} }{ -4 } \\ 0 & 0 & 0 & 2 &\!\!\vline\!\!& \vec{a _{4}}-\vec{a_{1}} -\vec{a_{2}} +\vec{a_{1}}+4 \frac{ \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} }{ -4 } \end{pmatrix}[/math]=[math]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 &\!\!\vline\!\!& \vec{a_{1} }-\vec{a_{2}} +\vec{a_{1}} \\ 0 & 1 & 0 & 0 &\!\!\vline\!\!& \vec{a_{2}} -\vec{a_{1}} +\frac{ \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} }{ -4 } +\vec{a_{4}}-\vec{a_{2}} +\frac{ \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} }{ -4 } \\ 0 & 0 & 1 & -1 &\!\!\vline\!\!&\frac{ \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} }{ -4 } \\ 0 & 0 & 0 & 1 &\!\!\vline\!\!& \frac{ \vec{a _{4}}-\vec{a_{2}} -\vec{a_{3}} +\vec{a_{1}} }{ 2 } \end{pmatrix}[/math]= [math]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 &\!\!\vline\!\!& \vec{a_{1} }-\vec{a_{2}} +\vec{a_{1}} \\ 0 & 1 & 0 & 0 &\!\!\vline\!\!& \vec{a_{2}} -\vec{a_{1}} +\frac{ \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} }{ -4 } +\vec{a_{4}}-\vec{a_{2}} +\frac{ \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} }{ -4 } \\ 0 & 0 & 1 & 0 &\!\!\vline\!\!&\frac{ \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} }{ -4 } +\frac{ \vec{a _{4}}-\vec{a_{2}} -\vec{a_{3}} +\vec{a_{1}} }{ 2 } \\ 0 & 0 & 0 & 1 &\!\!\vline\!\!& \frac{ \vec{a _{4}}-\vec{a_{2}} -\vec{a_{3}} +\vec{a_{1}} }{ 2 } \end{pmatrix}[/math]=[math]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 &\!\!\vline\!\!& \frac{ \vec{a_{1}}-\vec{2a_{2}} +\vec{9a_{3}}+6a_{4} }{ -4 } \\ 0 & 1 & 0 & 0 &\!\!\vline\!\!& \vec{a_{2}} -\vec{a_{1}} +\frac{ \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} }{ -4 } +\vec{a_{4}}-\vec{a_{2}} +\frac{ \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} }{ -4 } \\ 0 & 0 & 1 & 0 &\!\!\vline\!\!&\frac{ \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} }{ -4 } +\frac{ \vec{a _{4}}-\vec{a_{2}} -\vec{a_{3}} +\vec{a_{1}} }{ 2 } \\ 0 & 0 & 0 & 1 &\!\!\vline\!\!& \frac{ \vec{a _{4}}-\vec{a_{2}} -\vec{a_{3}} +\vec{a_{1}} }{ 2 } \end{pmatrix}[/math]
Получается [math]\frac{ \vec{a _{4}}-\vec{a_{2}} -\vec{a_{3}} +\vec{a_{1}} }{ 2 } =0[/math],
[math]\vec{a_{4}}=\vec{a_2}+ \vec{a_{3}}- \vec{a_{1}}[/math]
Все получилось, проверка не получается. Не могу найти ошибку. Спасибо.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/