Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Определить что является линейным пространством
СообщениеДобавлено: 21 сен 2017, 22:18 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 сен 2017, 21:31
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день, помогите пожалуйста разобраться, вот задача:


Изображение

1) x=-0.5 , тогда пусть будут два вектора, координаты которых удовлетворяют условию 2y-z=-0.5 : (-0.5 ; 5; 10.5) и (-0.5 ; 2 ; 4.5). Если сложим векторы то получим (-1;7;15). координата при x не выполняет условие, когда x=-0.5 значит эти векторы не образуют линейное пространство
2) образует т.к. в при сумме данных векторов, удовлетворяющих этому условию, условие x+y=0 будет соблюдаться.
3) да, потому что в сумме будет многочлен того же типа.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определить что является линейным пространством
СообщениеДобавлено: 22 сен 2017, 15:11 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 96
Cпасибо сказано: 24
Спасибо получено:
24 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Невольно создается впечатление, что задачи составлялись не очень грамотным человеком. Как говорится, дай Бог, чтобы я ошибался.

Задание 1
При грамотном построении речи следует говорить так. Есть множество векторов в линейном пространстве [math]\mathbb{R} ^{3}[/math], координаты которых удовлетворяют уравнениям: [math]x+2y-z=0[/math], [math]2\left(x+4 \right)-7=0[/math] (последнее уравнение вообще какое-то странноватое; просто хочется понять мысли составителя этого уравнения; он, что, проверяет, умеют ли студенты решать уравнения за курс пятого класса средней школы?...). Тем не менее, из второго уравнения следует, что [math]x=-\frac{ 1 }{ 2 }[/math]. Из первого же уравнения с учетом полученного для [math]x[/math] значения следует: [math]z=-\frac{ 1 }{ 2 } +y[/math]. Значит, мы имеем дело с множеством [math]K[/math] векторов, координаты которых записываются в виде [math]\left( -\frac{ 1 }{ 2 }, y, -\frac{ 1 }{ 2 }+y \right)[/math], где [math]y \in \mathbb{R}[/math] (т. е. является произвольным вещественным числом). Это множество не замкнуто относительно операции сложения векторов. Действительно, если [math]\left( -\frac{ 1 }{ 2 }, y_{1} , -\frac{ 1 }{ 2 }+y_{1} \right) \in K[/math] и [math]\left( -\frac{ 1 }{ 2 }, y_{2} , -\frac{ 1 }{ 2 }+y_{2} \right) \in K[/math], то их сумма [math]\left( - 1, y_{1}+y_{2} , -1+y_{1}+y_{2} \right) \notin K[/math] хотя бы потому, что первая компонента равна [math]1[/math], а не [math]-\frac{ 1 }{ 2 }[/math]. Есть и еще одна причина. Векторы из множества [math]K[/math] удовлетворяют такому условию: разность между третьей и второй компонентами равна [math]-\frac{ 1 }{ 2 }[/math]. У вектора же [math]\left( - 1, y_{1}+y_{2} , -1+y_{1}+y_{2} \right)[/math] эта разность равна [math]- 1[/math]. Вывод: множество [math]K[/math] не замкнуто относительно сложения и уже хотя бы поэтому не образует линейное пространство.

Задание 2
Пусть [math]K[/math] - множество векторов из [math]\mathbb{R} ^{3}[/math] с условием [math]x+y=0[/math]. Пусть [math]\left( x_{1},y_{1} ,z_{1} \right) \in K[/math], [math]\left( x_{2} ,y_{2} ,z_{2} \right) \in K[/math]. Тогда их сумма [math]\left( x_{1}+x_{2}, y_{1} +y_{2}, z_{1} +z_{2} \right) \in K[/math], поскольку [math]\left( x_{1}+x_{2} \right)+\left( y_{1}+y_{2} \right) = \left( x_{1}+y_{1} \right)+ \left( x_{2}+y_{2} \right)=0+0=0[/math]. Множество [math]K[/math] также замкнуто относительно операции умножения на числа [math]\lambda \in \mathbb{R}[/math]: если [math]\left( x ,y ,z \right) \in K[/math], то вектор [math]\lambda \left( x,y,z \right)=\left( \lambda x, \lambda y, \lambda z \right)[/math] удовлетворяет условию [math]\lambda x+ \lambda y= \lambda \left( x+y \right)= \lambda \cdot 0=0[/math]. По известной теореме линейной алгебры заключаем, что [math]K[/math] - линейное пространство.

Задание 3
Прошу прощения. Уже устал писать... Ваш ответ верный, но очень важно добавить, что не только в сумме будет многочлен того же типа, но и при произведении произвольного многочлена из указанного в условии множества на произвольное вещественное число. Это второе условие ничуть не менее важно, чем первое, на которое Вы указали. Вместе они образуют необходимое и достаточное условие, чтобы множество было линейным пространством.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Является ли линейным пространством?

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Fennady

6

177

27 май 2014, 18:22

Является ли линейным пространством множество

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

OlegSuvorov

2

92

20 фев 2017, 10:16

Определить является ли данное преобразование линейным

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

kicultanya

0

27

10 окт 2017, 20:25

Будет ли являться линейным пространством:

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

igor96

1

132

05 дек 2014, 18:50

Является ли лин.пространством

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Ekaterina1234567

1

189

19 окт 2013, 21:33

Является ли метрическим пространством множество всех

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

torres070

3

301

18 ноя 2013, 20:41

Является ли оператор линейным

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

ConorM

0

116

30 ноя 2015, 19:20

Доказть что является линейным оператором

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

mozhik

3

210

19 мар 2012, 20:33

Выяснить, является ли преобразование линейным

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Pashkat

2

1229

29 май 2013, 13:46

Как показать, что отображение является линейным оператором?

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

crazymadman18

13

190

06 апр 2017, 15:46


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved