Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=32&t=54861
Страница 1 из 2

Автор:  glikahoma [ 07 июн 2017, 18:57 ]
Заголовок сообщения:  Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени

Число [math]1+\sqrt{3}[/math] - корень многочлена [math]\boldsymbol{x} ^{4} + \boldsymbol{a} \boldsymbol{x} ^{3} + \boldsymbol{b} \boldsymbol{x} ^{2} + 6 \boldsymbol{x} + 2[/math], где [math]\boldsymbol{a} , \boldsymbol{b}[/math] - рациональные числа. Найти остальные корни этого многочлена.

Подскажите, пожалуйста, в какую сторону двигаться? Может посоветуете, что можно почитать из теории?

Автор:  Avgust [ 07 июн 2017, 19:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени

Раз дан корень, то заданный полином равен нулю. Подставим этот корень и тогда получим связь между [math]b[/math]и [math]a[/math]:

[math]b=-\frac{18+11\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}-\frac{5+3\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\cdot a[/math]

Если принять [math]b=1[/math], то отсюда [math]a=-4[/math]. Подставим в основное выражение:

[math]x^4-4x^3+x^2+6x+2=0[/math]

Методом Феррари, хоть и с трудом, но можно получить:

[math](x^2-2x-2)(x^2-2x-1)=0[/math]

Далее - школьная задача

Автор:  searcher [ 07 июн 2017, 19:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени

Avgust писал(а):
Методом Феррари

Ну если у нас есть один корень, то логично предположить, что и будет ещё такой же корень, но с минусом перед квадратным корнем. Отсюда уже первый множитель вырисовывается.

Автор:  Avgust [ 07 июн 2017, 19:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени

Логично, но не всегда такая удача бывает. В данном случае удача есть.

Автор:  glikahoma [ 07 июн 2017, 20:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени

Avgust писал(а):

[math]b=-\frac{18+11\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}-\frac{5+3\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\cdot a[/math]

Если принять [math]b=1[/math], то отсюда [math]a=-4[/math].


А почему мы здесь принимаем [math]\boldsymbol{b} = 1[/math] ??

Я сейчас копала и попробовала применить схему Горнера. В результате получила остаток, который приняла равным нулю, так как [math]1 + \sqrt{3}[/math] - корень многочлена. И в результате преобразований получила соотношение:
[math]\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} +3 + \left( \boldsymbol{a} + 4 \right)\sqrt{3} = 0[/math]
Так как [math]\boldsymbol{a} , \boldsymbol{b},3[/math] - рациональные числа, то [math]\left( \boldsymbol{a} + 4 \right)\sqrt{3}[/math] тоже должно быть рациональным, чтобы обратить сумму в ноль. А это возможно при обращении [math]\left( \boldsymbol{a} + 4 \right)[/math] в [math]\sqrt{3}[/math], что быть не может. Либо при [math]\boldsymbol{a} + 4 = 0[/math], откуда [math]\boldsymbol{a} = -4[/math]. И соответственно [math]\boldsymbol{b} = 1[/math] ( после подстановки в соотношение).

Эти рассуждения корректны? Но, как я понимаю, проще было подставить.

Автор:  Avgust [ 08 июн 2017, 15:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени

Я долго не мудрил, а просто построил график прямой и сразу увидел нужную точку.

Автор:  swan [ 08 июн 2017, 15:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени

Avgust писал(а):
Логично, но не всегда такая удача бывает.

Пример можно?

Автор:  Avgust [ 08 июн 2017, 16:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени

Миллион примеров, когда график функции явно несимметричен.

Автор:  swan [ 08 июн 2017, 17:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени

Avgust писал(а):
Миллион примеров, когда график функции явно несимметричен.


Миллион мне не нужен. Один, пожалуйста, дайте.
Многочлен с рациональными коэффициентами, с корнем [math]1+\sqrt 3[/math] и без корня [math]1-\sqrt 3[/math]

Автор:  glikahoma [ 10 июн 2017, 15:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени

Avgust писал(а):
Я долго не мудрил, а просто построил график прямой и сразу увидел нужную точку.


Я попробовала построить график онлайн и тоже увидела точку с рациональными координатами.
А как это сделать своими руками? Мне кажется это сложнее, чем попытаться упростить соотношение и исходя из рациональности подобрать коэффициенты (как я описала выше).
Честно говоря я не представляю, как вручную так построить график, чтобы увидеть нужную точку. Может, подскажите, пожалуйста?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/