Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=32&t=54861 |
Страница 1 из 2 |
Автор: | glikahoma [ 07 июн 2017, 18:57 ] |
Заголовок сообщения: | Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени |
Число [math]1+\sqrt{3}[/math] - корень многочлена [math]\boldsymbol{x} ^{4} + \boldsymbol{a} \boldsymbol{x} ^{3} + \boldsymbol{b} \boldsymbol{x} ^{2} + 6 \boldsymbol{x} + 2[/math], где [math]\boldsymbol{a} , \boldsymbol{b}[/math] - рациональные числа. Найти остальные корни этого многочлена. Подскажите, пожалуйста, в какую сторону двигаться? Может посоветуете, что можно почитать из теории? |
Автор: | Avgust [ 07 июн 2017, 19:21 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени |
Раз дан корень, то заданный полином равен нулю. Подставим этот корень и тогда получим связь между [math]b[/math]и [math]a[/math]: [math]b=-\frac{18+11\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}-\frac{5+3\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\cdot a[/math] Если принять [math]b=1[/math], то отсюда [math]a=-4[/math]. Подставим в основное выражение: [math]x^4-4x^3+x^2+6x+2=0[/math] Методом Феррари, хоть и с трудом, но можно получить: [math](x^2-2x-2)(x^2-2x-1)=0[/math] Далее - школьная задача |
Автор: | searcher [ 07 июн 2017, 19:35 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени |
Avgust писал(а): Методом Феррари Ну если у нас есть один корень, то логично предположить, что и будет ещё такой же корень, но с минусом перед квадратным корнем. Отсюда уже первый множитель вырисовывается. |
Автор: | Avgust [ 07 июн 2017, 19:38 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени |
Логично, но не всегда такая удача бывает. В данном случае удача есть. |
Автор: | glikahoma [ 07 июн 2017, 20:07 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени |
Avgust писал(а): [math]b=-\frac{18+11\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}-\frac{5+3\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\cdot a[/math] Если принять [math]b=1[/math], то отсюда [math]a=-4[/math]. А почему мы здесь принимаем [math]\boldsymbol{b} = 1[/math] ?? Я сейчас копала и попробовала применить схему Горнера. В результате получила остаток, который приняла равным нулю, так как [math]1 + \sqrt{3}[/math] - корень многочлена. И в результате преобразований получила соотношение: [math]\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} +3 + \left( \boldsymbol{a} + 4 \right)\sqrt{3} = 0[/math] Так как [math]\boldsymbol{a} , \boldsymbol{b},3[/math] - рациональные числа, то [math]\left( \boldsymbol{a} + 4 \right)\sqrt{3}[/math] тоже должно быть рациональным, чтобы обратить сумму в ноль. А это возможно при обращении [math]\left( \boldsymbol{a} + 4 \right)[/math] в [math]\sqrt{3}[/math], что быть не может. Либо при [math]\boldsymbol{a} + 4 = 0[/math], откуда [math]\boldsymbol{a} = -4[/math]. И соответственно [math]\boldsymbol{b} = 1[/math] ( после подстановки в соотношение). Эти рассуждения корректны? Но, как я понимаю, проще было подставить. |
Автор: | Avgust [ 08 июн 2017, 15:27 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени |
Я долго не мудрил, а просто построил график прямой и сразу увидел нужную точку. |
Автор: | swan [ 08 июн 2017, 15:50 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени |
Avgust писал(а): Логично, но не всегда такая удача бывает. Пример можно? |
Автор: | Avgust [ 08 июн 2017, 16:00 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени |
Миллион примеров, когда график функции явно несимметричен. |
Автор: | swan [ 08 июн 2017, 17:01 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени |
Avgust писал(а): Миллион примеров, когда график функции явно несимметричен. Миллион мне не нужен. Один, пожалуйста, дайте. Многочлен с рациональными коэффициентами, с корнем [math]1+\sqrt 3[/math] и без корня [math]1-\sqrt 3[/math] |
Автор: | glikahoma [ 10 июн 2017, 15:06 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени |
Avgust писал(а): Я долго не мудрил, а просто построил график прямой и сразу увидел нужную точку. Я попробовала построить график онлайн и тоже увидела точку с рациональными координатами. А как это сделать своими руками? Мне кажется это сложнее, чем попытаться упростить соотношение и исходя из рациональности подобрать коэффициенты (как я описала выше). Честно говоря я не представляю, как вручную так построить график, чтобы увидеть нужную точку. Может, подскажите, пожалуйста? |
Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |