Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени
СообщениеДобавлено: 07 июн 2017, 18:57 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 июн 2017, 18:39
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Число [math]1+\sqrt{3}[/math] - корень многочлена [math]\boldsymbol{x} ^{4} + \boldsymbol{a} \boldsymbol{x} ^{3} + \boldsymbol{b} \boldsymbol{x} ^{2} + 6 \boldsymbol{x} + 2[/math], где [math]\boldsymbol{a} , \boldsymbol{b}[/math] - рациональные числа. Найти остальные корни этого многочлена.

Подскажите, пожалуйста, в какую сторону двигаться? Может посоветуете, что можно почитать из теории?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени
СообщениеДобавлено: 07 июн 2017, 19:21 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 11069
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3234 раз в 2824 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Раз дан корень, то заданный полином равен нулю. Подставим этот корень и тогда получим связь между [math]b[/math]и [math]a[/math]:

[math]b=-\frac{18+11\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}-\frac{5+3\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\cdot a[/math]

Если принять [math]b=1[/math], то отсюда [math]a=-4[/math]. Подставим в основное выражение:

[math]x^4-4x^3+x^2+6x+2=0[/math]

Методом Феррари, хоть и с трудом, но можно получить:

[math](x^2-2x-2)(x^2-2x-1)=0[/math]

Далее - школьная задача

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени
СообщениеДобавлено: 07 июн 2017, 19:35 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 4108
Cпасибо сказано: 41
Спасибо получено:
617 раз в 583 сообщениях
Очков репутации: 138

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Методом Феррари

Ну если у нас есть один корень, то логично предположить, что и будет ещё такой же корень, но с минусом перед квадратным корнем. Отсюда уже первый множитель вырисовывается.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени
СообщениеДобавлено: 07 июн 2017, 19:38 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 11069
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3234 раз в 2824 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Логично, но не всегда такая удача бывает. В данном случае удача есть.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени
СообщениеДобавлено: 07 июн 2017, 20:07 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 июн 2017, 18:39
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):

[math]b=-\frac{18+11\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}-\frac{5+3\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\cdot a[/math]

Если принять [math]b=1[/math], то отсюда [math]a=-4[/math].


А почему мы здесь принимаем [math]\boldsymbol{b} = 1[/math] ??

Я сейчас копала и попробовала применить схему Горнера. В результате получила остаток, который приняла равным нулю, так как [math]1 + \sqrt{3}[/math] - корень многочлена. И в результате преобразований получила соотношение:
[math]\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} +3 + \left( \boldsymbol{a} + 4 \right)\sqrt{3} = 0[/math]
Так как [math]\boldsymbol{a} , \boldsymbol{b},3[/math] - рациональные числа, то [math]\left( \boldsymbol{a} + 4 \right)\sqrt{3}[/math] тоже должно быть рациональным, чтобы обратить сумму в ноль. А это возможно при обращении [math]\left( \boldsymbol{a} + 4 \right)[/math] в [math]\sqrt{3}[/math], что быть не может. Либо при [math]\boldsymbol{a} + 4 = 0[/math], откуда [math]\boldsymbol{a} = -4[/math]. И соответственно [math]\boldsymbol{b} = 1[/math] ( после подстановки в соотношение).

Эти рассуждения корректны? Но, как я понимаю, проще было подставить.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени
СообщениеДобавлено: 08 июн 2017, 15:27 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 11069
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3234 раз в 2824 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я долго не мудрил, а просто построил график прямой и сразу увидел нужную точку.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени
СообщениеДобавлено: 08 июн 2017, 15:50 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 4007
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
856 раз в 778 сообщениях
Очков репутации: 204

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Логично, но не всегда такая удача бывает.

Пример можно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени
СообщениеДобавлено: 08 июн 2017, 16:00 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 11069
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3234 раз в 2824 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Миллион примеров, когда график функции явно несимметричен.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени
СообщениеДобавлено: 08 июн 2017, 17:01 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 4007
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
856 раз в 778 сообщениях
Очков репутации: 204

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Миллион примеров, когда график функции явно несимметричен.


Миллион мне не нужен. Один, пожалуйста, дайте.
Многочлен с рациональными коэффициентами, с корнем [math]1+\sqrt 3[/math] и без корня [math]1-\sqrt 3[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
venjar
 Заголовок сообщения: Re: Направьте в нужную сторону: корни многочлена 4-ой степени
СообщениеДобавлено: 10 июн 2017, 15:06 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 июн 2017, 18:39
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Я долго не мудрил, а просто построил график прямой и сразу увидел нужную точку.


Я попробовала построить график онлайн и тоже увидела точку с рациональными координатами.
А как это сделать своими руками? Мне кажется это сложнее, чем попытаться упростить соотношение и исходя из рациональности подобрать коэффициенты (как я описала выше).
Честно говоря я не представляю, как вручную так построить график, чтобы увидеть нужную точку. Может, подскажите, пожалуйста?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти корни многочлена 4-й степени

в форуме Алгебра

DannyO

4

259

11 мар 2016, 17:33

Корни многочлена

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

oksanakurb

7

389

25 янв 2012, 21:48

Кратные корни многочлена

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

klocchi

7

164

02 май 2018, 18:24

Действиетльные корни многочлена

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

matstat

4

246

22 апр 2016, 14:31

Вещественные корни многочлена

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Archer666

4

1010

20 май 2013, 16:15

Корни многочлена на одной прямой

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Free Dreamer

0

240

25 янв 2013, 15:39

Отделите корни многочлена по методу Штурма

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

neeara

3

90

14 дек 2017, 06:50

Корни хар. многочлена могут не быть собственными значениями?

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

iNarek94

0

141

19 сен 2015, 18:23

Корни и степени

в форуме Алгебра

zzzw

1

128

05 ноя 2015, 17:21

Степени и корни

в форуме Алгебра

AndrewV

2

221

20 мар 2012, 18:19


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved