Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: В каких числах n деление происходит без остатка?
СообщениеДобавлено: 15 окт 2015, 20:49 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 окт 2015, 20:42
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math](x+1)^n-x^n-1[/math]\\\ [math]x^2+x+1[/math]
:)
\\\ - делимость (три точки вертикальные)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: В каких числах n деление происходит без остатка?
СообщениеДобавлено: 16 окт 2015, 13:33 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4106
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1815 раз в 1510 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Возможно я сейчас предложу не самое лучшее решение, но оно хотя бы не так уж сложно приводит к ответу.

Исходный многочлен делится на другой многочлен только в том случае, когда корни этого другого многочлена являются корнями исходного многочлена. Корни многочлена [math]x^2+x+1[/math] есть

[math]x_{1,2}=-\frac12\pm i\frac{\sqrt3}2=e^{\pm\frac{2\pi i}3}[/math]

Поскольку [math]x_1+x_2=-1[/math], то, например, [math]x_1+1=-x_2=e^{\frac{\pi i}3}[/math]. Подставляя [math]x_1=e^{\frac{2\pi i}3}[/math] в исходный многочлен, с учетом только что сказанного получаем:

[math]e^{\frac{i\pi n}3}-e^{\frac{2i\pi n}3}-1=0[/math]

Выделяя действительную и мнимую части, получаем систему несложных тригонометрических уравнений:

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \cos\frac{\pi n}3-\cos\frac{2\pi n}3=1 \\ & \sin\frac{\pi n}3-\sin\frac{2\pi n}3=0
\end{aligned}\right.[/math]


Можно сделать замену [math]x=\frac{\pi n}3[/math]. Первое сводится к квадратному относительно [math]\cos x[/math], и с учетом натуральности [math]n[/math] можно получить решения, которые будут также удовлетворять и второму уравнению.

В итоге у меня получилось, что [math]n[/math] должно при делении на [math]6[/math] давать остатки [math]1[/math] и [math]5[/math] (другими словами, [math]n[/math] не должно делиться ни на [math]2[/math], ни на [math]3[/math]).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Деление без остатка

в форуме Алгебра

Tauka

33

1344

03 фев 2014, 03:56

Что происходит с косинусом?

в форуме Численные методы

TeodorMiller

6

210

22 фев 2019, 21:47

Событие A происходит одновременно с гипотезами B1 и B2

в форуме Теория вероятностей

vladislav1

4

321

26 апр 2012, 20:49

Как происходит атмосферная коррозия стали?

в форуме Химия и Биология

buzan

0

555

28 апр 2011, 03:58

Как происходит разложение на составляющие в уравнениях

в форуме Алгебра

Matemat

14

802

12 дек 2010, 15:32

Задача на нахождение остатка

в форуме Теория чисел

MalinkaAmnyam

4

134

04 ноя 2019, 22:03

Обозначение остатка от деления

в форуме Теория чисел

EugeniyV

6

1774

31 мар 2014, 13:01

Анализ остатка от деления

в форуме Теория чисел

Vadim LOL

2

475

17 июл 2013, 10:38

Доказать делимость выражения на 19 без остатка

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

konstantin_0725

1

607

13 окт 2012, 09:29

Объем остатка жидкости в цисцерне

в форуме Геометрия

Andrey1883

0

132

13 дек 2017, 16:10


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved