Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказательство неравенства норм
СообщениеДобавлено: 19 сен 2015, 22:46 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 сен 2015, 22:31
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]||x||_{p} >= ||x||_{q} if q >= p[/math]

Я пытался доказать это использую следующее неравенство:

[math]\frac{d(\sum_{i=1}^{d}|x|^{\alpha})^{\frac{1}{\alpha}} }{d \alpha} <= 0[/math]

После преобразований дошел до следующего шага:

[math]((\sum_{i=1}^{d}|x_i|^{\alpha})^{\frac{1}{\alpha}}) ln(\sum_{i=1}^{d}|x_i|^{\alpha}) (\sum_{i=1}^{d}(|x_i|^{\alpha} ln(|x_i|) )[/math]

Пока что не получается доказать.

Буду рад любой помощи.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство неравенства норм
СообщениеДобавлено: 21 сен 2015, 11:38 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это довольно очевидно. Выберем среди [math]x_i[/math] элемент с максимальным модулем (без ограничения общности можно считать, что при этом [math]i=1[/math]) и вынесем его за скобки:

[math]\|x\|_p=|x_1|\left(1+\sum_{i=2}^d\left|\frac{x_i}{x_1}\right|^p\right)^{\frac1p}[/math]

Поскольку [math]\left|\frac{x_i}{x_1}\right|\leqslant1[/math], то сумма в скобках (обозначим ее [math]f(p)[/math]) будет уменьшаться при увеличении [math]p[/math]. Кроме того, выражение в скобках больше единицы, а функция [math]a^{\frac1p}[/math] при [math]a>1[/math] убывает с увеличением [math]p[/math]. Тогда

[math](1+f(p))^{\frac1p}\geqslant(1+f(p))^{\frac1q}\geqslant(1+f(q))^{\frac1q}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказательство неравенства

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

RamonaFlow

3

247

08 дек 2021, 12:55

Доказательство неравенства

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Maik

2

317

04 мар 2020, 15:50

Доказательство неравенства

в форуме Алгебра

VladGreen

5

336

15 июл 2018, 21:25

Доказательство неравенства

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

RamonaFlow

1

193

05 дек 2021, 15:14

Доказательство неравенства с 3 неизвестными

в форуме Алгебра

MathRandom

1

172

16 фев 2020, 16:52

Доказательство неравенства Бернулли

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Kranker

6

645

15 авг 2019, 19:52

Доказательство иррационального неравенства

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

zakharova-forum

1

244

12 июл 2020, 16:05

Доказательство для решения неравенства

в форуме Теория чисел

yuriy

25

1228

23 апр 2015, 18:52

Доказательство тригонометрического неравенства методом МИ

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

tata00tata

7

379

23 сен 2022, 19:38

Доказательство неравенства методом мат индукции

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

DIRID

3

429

18 сен 2017, 10:24


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 21


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved