Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 13 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Bonaqua |
|
|
Пытался рассмотреть Hockey-Stick Identity в треугольнике Паскаля. Потом понял, что комбинаторно у меня доказать ничего не выйдет. Потом подумал, может по индукции. Например, для произвольного многочлена k-й степени и суммы его значений в n точках. Тоже ничего не вышло. Есть идеи? |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
У меня встречный вопрос! Можно ли считать известную формулу для суммы последовательных натуральных квадратов полиномом? [math]1^2+2^2+...+n^2=\frac{ (2n+1)(n+1)n }{ 6 }[/math]. Если да, то можно предложить такое доказательство: каждое слагаемое [math]m^k[/math]в сумме [math]1^k+2^k+...+n^k[/math] можно представить в виде [math]m^k=F(m+1)-F(m)[/math], где [math]F(m)=a \cdot m^{k+1}+b \cdot m^k+...[/math], так как при вычитании [math](m+1)^{k+1}-m^{k+1[/math] слагаемые с k+1 степенью сокращаются. В результате для суммы имеем [math]1^k+2^k+...+n^k=F(2)-F(1)+F(3)-F(2)+...+F(n+1)-F(n)=F(n+1)-F(1)[/math], т.е. мы доказали, что эта сумма полином от переменной (n+1) степени k+1. Заметим ещё, так как [math]F(n+1)=...+h[/math] и [math]F(1)=...+h[/math], то этот полином не имеет свободного слагаемого, т.е. делится на n.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: Bonaqua |
||
Bonaqua |
|
|
michel,
Цитата: так как при вычитании (m+1)^{k+1}-m^{k+1 слагаемые с k+1 степенью сокращаются. Я не понял этот момент. Можно подробнее чуть? |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
По формуле бинома Ньютона [math](m+1)^{k+1}-m^{k+1}=(m^{k+1}+(k+1)m^k+\frac{ (k+1) k}{ 2 }m^{k-1}+... )-m^{k+1}=(k+1)m^{k}+...[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
Bonaqua |
|
|
Очень стыдно, но можете объяснить, как вышло, что [math]F(n+1)-F(1)[/math] ?
|
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Выше было написано выражение, в котором идет сумма с [math]m^k=F(m+1)-F(m)[/math] (c n слагаемыми): [math]1^k+2^k+...+m^k+...+n^k=(F(2)-F(1))+(F(3)-F(2)+...+(F(m+1)-F(m))+...+(F(n)-F(n-1))+(F(n+1)-F(n)))=F(n+1)-F(1)[/math], в которой все слагаемые сокращаются кроме двух.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: Bonaqua |
||
Bonaqua |
|
|
michel, все, понял! Большое спасибо!!!
|
||
Вернуться к началу | ||
Bonaqua |
|
|
michel, нет, обманул, снова нужно прояснить один момент.
[math]1^k+2^k+...+n^k=F(2)-F(1)+F(3)-F(2)+...+F(n)-F(n-1)+F(n+1)-F(n)+F(n+2)-F(n+1)... =-F(1)-F(n-1).[/math] Разве нет? |
||
Вернуться к началу | ||
erjoma |
|
|
Я думаю стоит воспользоваться индукцией и [math]\sum\limits_{k = 1}^n {k\left( {k - 1} \right)\left( {k - 2} \right)...\left( {k - m + 1} \right)} = \frac{{\left( {n + 1} \right)n..\left( {n - m + 1} \right)}}{{m + 1}}[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Bonaqua писал(а): michel, нет, обманул, снова нужно прояснить один момент. [math]1^k+2^k+...+n^k=F(2)-F(1)+F(3)-F(2)+...+F(n)-F(n-1)+F(n+1)-F(n)+F(n+2)-F(n+1)... =-F(1)-F(n-1).[/math] Разве нет? Конечно, нет. Во-первых, Вы добавили лишнюю пару [math]F(n+2)-F(n+1)[/math] (последняя пара должна быть такая: [math]n^k=F(n+1)-F(n)[/math]), во-вторых, никак не могло появиться [math]-F(n-1)[/math], оно же сокращается слагаемым предыдущей пары [math]F(n-1)-F(n-2)[/math], т.е. в Вашей записи получается [math]F(n+2)-F(1)[/math] (из-за дополнительной пары) А вообще говоря, это известный прием, когда сумму членов последовательности вычисляют, представляя каждое слагаемое как разность соседних членов некоторой другой последовательности. Вот типичный пример:[math]\frac{ 1 }{ 1 \cdot 2 }+\frac{ 1 }{ 2 \cdot 3 }+...\frac{ 1 }{ n(n+1) }=\left( 1-\frac{ 1 }{ 2 } \right) +\left( \frac{ 1 }{ 2 }-\frac{ 1 }{ 3 } \right) +...+\left( \frac{ 1 }{ n }-\frac{ 1 }{ n+1 } \right) =1-\frac{ 1 }{ n+1 }[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: Bonaqua |
||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 13 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Корни полинома 4ой степени
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
4 |
217 |
29 апр 2022, 09:10 |
|
Корни полинома 4 степени
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
6 |
306 |
05 ноя 2019, 23:56 |
|
Анализ полинома
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
1 |
360 |
17 окт 2015, 20:28 |
|
Вычесление полинома Жегалкина | 0 |
281 |
24 дек 2016, 00:14 |
|
Нахождение коэффициентов полинома | 20 |
1234 |
03 окт 2018, 09:07 |
|
Представить в виде полинома Жегалкина | 7 |
572 |
18 ноя 2016, 14:38 |
|
Определить все коэффициенты и степень полинома
в форуме Maple |
1 |
245 |
07 май 2018, 17:34 |
|
Оценка погрешности полинома Ньютона
в форуме Численные методы |
2 |
338 |
12 сен 2019, 20:32 |
|
Понять степень полинома по графику
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
2 |
299 |
31 авг 2020, 20:51 |
|
Доказать существоание полинома вида p(A) = A^-1
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
16 |
421 |
02 май 2019, 18:12 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 30 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |