Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказательство степени полинома
СообщениеДобавлено: 26 июн 2015, 09:32 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
26 июн 2014, 13:59
Сообщений: 297
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как доказать, что сумма [math]1^k+2^k+\ldots+n^k[/math] представляет полином от [math]n[/math] [math](k+1)[/math]-й степени, то бишь -- [math]P_{k+1}(n)[/math] ?

Пытался рассмотреть Hockey-Stick Identity в треугольнике Паскаля. Потом понял, что комбинаторно у меня доказать ничего не выйдет. Потом подумал, может по индукции. Например, для произвольного многочлена k-й степени и суммы его значений в n точках. Тоже ничего не вышло. Есть идеи? :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство степени полинома
СообщениеДобавлено: 26 июн 2015, 10:17 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У меня встречный вопрос! Можно ли считать известную формулу для суммы последовательных натуральных квадратов полиномом? [math]1^2+2^2+...+n^2=\frac{ (2n+1)(n+1)n }{ 6 }[/math]. Если да, то можно предложить такое доказательство: каждое слагаемое [math]m^k[/math]в сумме [math]1^k+2^k+...+n^k[/math] можно представить в виде [math]m^k=F(m+1)-F(m)[/math], где [math]F(m)=a \cdot m^{k+1}+b \cdot m^k+...[/math], так как при вычитании [math](m+1)^{k+1}-m^{k+1[/math] слагаемые с k+1 степенью сокращаются. В результате для суммы имеем [math]1^k+2^k+...+n^k=F(2)-F(1)+F(3)-F(2)+...+F(n+1)-F(n)=F(n+1)-F(1)[/math], т.е. мы доказали, что эта сумма полином от переменной (n+1) степени k+1. Заметим ещё, так как [math]F(n+1)=...+h[/math] и [math]F(1)=...+h[/math], то этот полином не имеет свободного слагаемого, т.е. делится на n.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Bonaqua
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство степени полинома
СообщениеДобавлено: 26 июн 2015, 22:28 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
26 июн 2014, 13:59
Сообщений: 297
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel,
Цитата:
так как при вычитании (m+1)^{k+1}-m^{k+1 слагаемые с k+1 степенью сокращаются.


Я не понял этот момент. Можно подробнее чуть?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство степени полинома
СообщениеДобавлено: 26 июн 2015, 23:15 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По формуле бинома Ньютона [math](m+1)^{k+1}-m^{k+1}=(m^{k+1}+(k+1)m^k+\frac{ (k+1) k}{ 2 }m^{k-1}+... )-m^{k+1}=(k+1)m^{k}+...[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство степени полинома
СообщениеДобавлено: 27 июн 2015, 15:44 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
26 июн 2014, 13:59
Сообщений: 297
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Очень стыдно, но можете объяснить, как вышло, что [math]F(n+1)-F(1)[/math] ? :oops:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство степени полинома
СообщениеДобавлено: 27 июн 2015, 16:58 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Выше было написано выражение, в котором идет сумма с [math]m^k=F(m+1)-F(m)[/math] (c n слагаемыми): [math]1^k+2^k+...+m^k+...+n^k=(F(2)-F(1))+(F(3)-F(2)+...+(F(m+1)-F(m))+...+(F(n)-F(n-1))+(F(n+1)-F(n)))=F(n+1)-F(1)[/math], в которой все слагаемые сокращаются кроме двух.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Bonaqua
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство степени полинома
СообщениеДобавлено: 27 июн 2015, 17:08 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
26 июн 2014, 13:59
Сообщений: 297
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel, все, понял! Большое спасибо!!!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство степени полинома
СообщениеДобавлено: 28 июн 2015, 14:40 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
26 июн 2014, 13:59
Сообщений: 297
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel, нет, обманул, снова нужно прояснить один момент.

[math]1^k+2^k+...+n^k=F(2)-F(1)+F(3)-F(2)+...+F(n)-F(n-1)+F(n+1)-F(n)+F(n+2)-F(n+1)... =-F(1)-F(n-1).[/math]

Разве нет?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство степени полинома
СообщениеДобавлено: 28 июн 2015, 17:32 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1888
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 275
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я думаю стоит воспользоваться индукцией и [math]\sum\limits_{k = 1}^n {k\left( {k - 1} \right)\left( {k - 2} \right)...\left( {k - m + 1} \right)} = \frac{{\left( {n + 1} \right)n..\left( {n - m + 1} \right)}}{{m + 1}}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство степени полинома
СообщениеДобавлено: 28 июн 2015, 21:41 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Bonaqua писал(а):
michel, нет, обманул, снова нужно прояснить один момент.

[math]1^k+2^k+...+n^k=F(2)-F(1)+F(3)-F(2)+...+F(n)-F(n-1)+F(n+1)-F(n)+F(n+2)-F(n+1)... =-F(1)-F(n-1).[/math]

Разве нет?

Конечно, нет. Во-первых, Вы добавили лишнюю пару [math]F(n+2)-F(n+1)[/math] (последняя пара должна быть такая: [math]n^k=F(n+1)-F(n)[/math]), во-вторых, никак не могло появиться [math]-F(n-1)[/math], оно же сокращается слагаемым предыдущей пары [math]F(n-1)-F(n-2)[/math], т.е. в Вашей записи получается [math]F(n+2)-F(1)[/math] (из-за дополнительной пары)
А вообще говоря, это известный прием, когда сумму членов последовательности вычисляют, представляя каждое слагаемое как разность соседних членов некоторой другой последовательности. Вот типичный пример:[math]\frac{ 1 }{ 1 \cdot 2 }+\frac{ 1 }{ 2 \cdot 3 }+...\frac{ 1 }{ n(n+1) }=\left( 1-\frac{ 1 }{ 2 } \right) +\left( \frac{ 1 }{ 2 }-\frac{ 1 }{ 3 } \right) +...+\left( \frac{ 1 }{ n }-\frac{ 1 }{ n+1 } \right) =1-\frac{ 1 }{ n+1 }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Bonaqua
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Корни полинома 4ой степени

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

jeliza_rosa

4

217

29 апр 2022, 09:10

Корни полинома 4 степени

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Avgust

6

306

05 ноя 2019, 23:56

Анализ полинома

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Lenar0809

1

360

17 окт 2015, 20:28

Вычесление полинома Жегалкина

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Dankyway

0

281

24 дек 2016, 00:14

Нахождение коэффициентов полинома

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

shadow8619

20

1234

03 окт 2018, 09:07

Представить в виде полинома Жегалкина

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Alcantara

7

572

18 ноя 2016, 14:38

Определить все коэффициенты и степень полинома

в форуме Maple

Ciber15

1

245

07 май 2018, 17:34

Оценка погрешности полинома Ньютона

в форуме Численные методы

mad_math

2

338

12 сен 2019, 20:32

Понять степень полинома по графику

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

K1b0rg

2

299

31 авг 2020, 20:51

Доказать существоание полинома вида p(A) = A^-1

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

kit

16

421

02 май 2019, 18:12


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 30


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved