Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: С одной стороны пространство, а с другой - нет
СообщениеДобавлено: 16 июл 2013, 16:57 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
04 дек 2011, 13:21
Сообщений: 110
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
19 раз в 17 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте! В своем учебнике я наткнулся на два интересных упражнения:

Показать, что множество n-мерных векторов, сумма элементов которых равна 0 - подпространство.
И следующее:
Найти размерность и базис для этого пространства.

Я доказал, что это пространство. И идея для базиса тоже есть. Я думаю, что в качестве него подойдут векторы такого типа:
[math]\begin{Vmatrix}1 & -1 & 0 & ... & 0\end{Vmatrix}[/math]
[math]\begin{Vmatrix}0 & 1 & -1 & ... & 0\end{Vmatrix}[/math]
[math]\begin{Vmatrix}-1 & 0 & 0 & ... & 1\end{Vmatrix}[/math]
Они линейно независимы между собой, и теперь осталось только доказать, что из них можно получить любой вектор этого пространства. Таким образом, любой вектор
[math]\begin{Vmatrix}a_1 & a_2 & a_3 & ... & a_n\end{Vmatrix}[/math], для которого сумма элементов равна нулю, можно получить из приведенного выше базиса. Если так, то для любого такого вектора можно записать:
[math]\begin{Vmatrix}a_1 & a_2 & a_3 & ... & a_n\end{Vmatrix} = \alpha_1 \begin{Vmatrix} 1 & -1 & 0 & ... & 0\end{Vmatrix} + \alpha_2 \begin{Vmatrix}0 & 1 & -1 & ... & 0\end{Vmatrix} + ... +\alpha_n \begin{Vmatrix}-1 & 0 & 0 & ... & 1\end{Vmatrix}[/math]
То есть должна выполняться система уравнений:
[math]\left\{\begin{matrix}a_2 = \alpha_2 - \alpha_1\\ a_3 = \alpha_3 - \alpha_2\\ ...\\ a_n = \alpha_n - \alpha_{n-1}\\ a_1 = \alpha_1 - \alpha_n\end{matrix}\right.[/math]
Но когда ее решаешь, то получаешь, что остается одна свободная переменная (например, у меня получилась такой [math]\alpha_1[/math]). То есть возможна целая куча таких коэффициентов, которые приведут к одному и тому же вектору. Это противоречит тому, что один вектор можно разложить по другим только одним способом. Вначале я подумал, что это неоднозначное разложение может быть вызвано тем, что какие-то из базисных векторов все-таки линейно-зависимы, но это не так. Кто-нибудь может сказать, в чем тут дело? Спасибо за внимание.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: С одной стороны пространство, а с другой - нет
СообщениеДобавлено: 16 июл 2013, 16:58 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
04 дек 2011, 13:21
Сообщений: 110
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
19 раз в 17 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
И кстати, я для примера создал такое пространство при [math]n = 5[/math], и действительно у меня получилось разложить вектор из этого пространства двумя способами о_О

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: С одной стороны пространство, а с другой - нет
СообщениеДобавлено: 16 июл 2013, 19:14 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6078
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
один лишний вектор, любой

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю MihailM "Спасибо" сказали:
Hagrael
 Заголовок сообщения: Re: С одной стороны пространство, а с другой - нет
СообщениеДобавлено: 16 июл 2013, 20:16 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
04 дек 2011, 13:21
Сообщений: 110
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
19 раз в 17 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А-а, все, кажется, понял! Последний вектор в базисе лишний (я понимаю, что наверное можно убрать любой из векторов, но для красоты следует убрать именно последний). Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Распределение Пуассона с другой стороны. Вопрос

в форуме Теория вероятностей

Xeenych

30

830

29 авг 2018, 10:45

Переход от одной шкалы к другой

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

jostik

12

886

30 ноя 2016, 15:56

Оценка отклонения одной зависимости от другой

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

anti

5

329

18 дек 2018, 19:50

Поиск зависимости одной переменной от другой

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

lunosvet

12

2015

20 ноя 2019, 11:11

Расчет одной стороны по двум другим и радиусу описанной окр

в форуме Геометрия

Alex_S

12

508

23 июн 2017, 06:39

Доказать, что существует другой автомат с |F| = 1

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

chileywom

1

193

19 апр 2020, 17:24

Вписать повернутый прямоугольник в другой

в форуме Геометрия

norddv

6

864

26 сен 2015, 16:01

Буду искать другой форум

в форуме Палата №6

Korvet

131

7342

27 апр 2015, 03:58

Послание людям от другой цивилизаций

в форуме Палата №6

ammo77

5

395

23 янв 2020, 22:51

Преобразование системы уравнений в другой вид

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Savitarundead

0

361

15 фев 2016, 11:19


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved