Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Привести к главным осям эрмитову квадратичную форму
СообщениеДобавлено: 11 дек 2010, 17:26 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 фев 2010, 18:41
Сообщений: 46
Cпасибо сказано: 28
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Люди, помогите с заданием и линейной алгебре из темы квадратичные формы, пожалуйста

Привести к главным осям эрмитову квадратичную форму:

[math]f(x,y)=3x\overline{x}+(2+2i)x\overline{y}+(2-2i)y\overline{x}+y\overline{y}[/math]

и указать унитарное преобразование переменных, осуществляющее это преобразование.


У меня в учебнике алгоритм написан очень строго и примеров нет :-(
Заранее спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Привести к главным осям эрмитову квадратичную форму
СообщениеДобавлено: 12 дек 2010, 01:30 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Составим эрмитову матрицу данной эрмитовой квадратичной формы [math]\mathbf{A}=\left(\!\!\begin{array}{*{20}{c}}3&2+2i\\[3pt]2-2i&1\end{array}\!\!\right)[/math]
Следовательно, комплексно сопряжённая матрица имеет вид: [math]\overline{\mathbf{A}}=\left(\!\!\begin{array}{*{20}{c}}3&2-2i\\[3pt]2+2i&1\end{array}\!\!\right)[/math]
Характеристический многочлен комплексно сопряжённой матрицы

[math]\det\Bigl(\overline{\mathbf{A}}-\lambda\mathbf{E}\Bigl)=\,\,\vline\!\!\begin{array}{*{20}{c}}3-\lambda&2-2i\\[3pt]2+2i&1-\lambda\end{array}\!\vline\,=\lambda^2-4\lambda-5[/math] имеет корни [math]\lambda_1=5,~\lambda_2=-1[/math]

Итак, эрмитова квадратичная форма [math]f[/math] в главных осях имеет вид [math]f(x_1,y_1)=5|x_1|^2-|y_1|^2[/math].

Далее найдём унитарное преобразование переменных, осуществляющее это преобразование, то есть перейдём к построению ортонормированного канонического базиса эрмитовой квадратичной формы [math]f[/math]

При [math]\lambda=5[/math] система [math]\Bigl(\overline{\mathbf{A}}-\lambda\mathbf{E}\Bigl)\mathbf{X}=0[/math] имеет вид [math]\left\{\!\begin{gathered}-2x+(2-2i)y=0,\hfill\\[3pt](2+2i)x-4y=0;\hfill\\[3pt]\end{gathered}\right.[/math] или [math]\left\{\!\begin{gathered}x=(1-i)y,\hfill\\[3pt]y=y;\hfill\\[3pt]\end{gathered}\right.[/math]

которая имеет фундаментальную систему решений из одного вектора, например, [math]b_1=(1-i,1)^{\rm{T}}[/math] при [math]y=1[/math].

Длина этого вектора [math]|b_1|=\sqrt{3}[/math]; следовательно, нормированный вектор есть

[math]e'_1={\left(\dfrac{1-i}{|b_1|},\dfrac{1}{|b_1|}\right)\!}^{\rm{T}}={\left(\dfrac{1-i}{\sqrt3},\dfrac{1}{\sqrt3}\right)\!}^{\rm{T}}[/math]
При [math]\lambda=-1[/math] система [math]\Bigl(\overline{\mathbf{A}}-\lambda\mathbf{E}\Bigl)\mathbf{X}=0[/math] имеет вид [math]\left\{\!\begin{gathered}4x+(2-2i)y=0,\hfill\\[3pt](2+2i)x+2y=0;\hfill\\[3pt]\end{gathered}\right.[/math] или [math]\left\{\!\begin{gathered}x=\dfrac{i-1}{2}y,\hfill\\[3pt]y=y;\hfill\\[3pt]\end{gathered}\right.[/math]

которая имеет фундаментальную систему решений из одного вектора, например, [math]b_2=(1-i,-2)^{\rm{T}}[/math] при [math]y=-2[/math].

Длина этого вектора [math]|b_2|=\sqrt6[/math]; следовательно, нормированный вектор есть

[math]e'_2={\left(\dfrac{1-i}{|b_2|},-\dfrac{2}{|b_2|}\right)\!}^{\rm{T}}={\left(\dfrac{1-i}{\sqrt6},-\dfrac{2}{\sqrt6}\right)\!}^{\rm{T}}[/math]

Из столбцов координат нормированных векторов составим унитарную матрицу

[math]\mathbf{Q}=\left(\!\!\begin{array}{*{20}{c}}\dfrac{1-i}{\sqrt3}&\dfrac{1-i}{\sqrt6}\\[14pt]\dfrac{1}{\sqrt3}&-\dfrac{2}{\sqrt6}\end{array}\!\!\right)[/math]

и по её строкам запишем искомое унитарное преобразование переменных эрмитовой квадратичной формы [math]f[/math]

[math]\left\{\!\begin{gathered}x=\dfrac{1-i}{\sqrt3}x_1+\dfrac{1-i}{\sqrt6}y_1,\hfill\\[3pt]y=\dfrac{1}{\sqrt3}x_1-\dfrac{2}{\sqrt6}y_1.\hfill\\[3pt]\end{gathered}\right.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Привести квадратичную форму к

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

ahgel1990

6

472

23 авг 2014, 00:17

Привести квадратичную форму к каноническому виду

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Nufus

1

152

06 июн 2019, 14:53

Привести квадратичную форму к каноническому виду

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

iksayzer

0

359

28 май 2014, 22:01

Привести квадратичную форму к нормальному виду

в форуме Интегральное исчисление

Bilbo2015

2

615

14 апр 2015, 16:47

Привести квадратичную форму к каноническому виду

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

TDSotM

1

426

21 июн 2015, 17:51

Привести квадратичную форму к каноническому виду

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

ulinazinat

1

338

02 апр 2023, 23:57

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лаг

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

adnrud

1

261

10 дек 2018, 21:57

Привести квадратичную форму к каноническому методом Лагранжа

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

iksayzer

0

320

28 май 2014, 23:14

Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональн

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Karus

4

237

24 янв 2021, 12:05

Привести квадратичную форму, к каноническому виду методом Ла

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Chevy2

3

525

13 май 2014, 09:55


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 26


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved