Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
LaraSoft |
|
||
Привести к главным осям эрмитову квадратичную форму: [math]f(x,y)=3x\overline{x}+(2+2i)x\overline{y}+(2-2i)y\overline{x}+y\overline{y}[/math] и указать унитарное преобразование переменных, осуществляющее это преобразование. У меня в учебнике алгоритм написан очень строго и примеров нет Заранее спасибо! |
|||
Вернуться к началу | |||
Alexdemath |
|
||
Составим эрмитову матрицу данной эрмитовой квадратичной формы [math]\mathbf{A}=\left(\!\!\begin{array}{*{20}{c}}3&2+2i\\[3pt]2-2i&1\end{array}\!\!\right)[/math]
Следовательно, комплексно сопряжённая матрица имеет вид: [math]\overline{\mathbf{A}}=\left(\!\!\begin{array}{*{20}{c}}3&2-2i\\[3pt]2+2i&1\end{array}\!\!\right)[/math] Характеристический многочлен комплексно сопряжённой матрицы [math]\det\Bigl(\overline{\mathbf{A}}-\lambda\mathbf{E}\Bigl)=\,\,\vline\!\!\begin{array}{*{20}{c}}3-\lambda&2-2i\\[3pt]2+2i&1-\lambda\end{array}\!\vline\,=\lambda^2-4\lambda-5[/math] имеет корни [math]\lambda_1=5,~\lambda_2=-1[/math] Итак, эрмитова квадратичная форма [math]f[/math] в главных осях имеет вид [math]f(x_1,y_1)=5|x_1|^2-|y_1|^2[/math]. Далее найдём унитарное преобразование переменных, осуществляющее это преобразование, то есть перейдём к построению ортонормированного канонического базиса эрмитовой квадратичной формы [math]f[/math] При [math]\lambda=5[/math] система [math]\Bigl(\overline{\mathbf{A}}-\lambda\mathbf{E}\Bigl)\mathbf{X}=0[/math] имеет вид [math]\left\{\!\begin{gathered}-2x+(2-2i)y=0,\hfill\\[3pt](2+2i)x-4y=0;\hfill\\[3pt]\end{gathered}\right.[/math] или [math]\left\{\!\begin{gathered}x=(1-i)y,\hfill\\[3pt]y=y;\hfill\\[3pt]\end{gathered}\right.[/math] которая имеет фундаментальную систему решений из одного вектора, например, [math]b_1=(1-i,1)^{\rm{T}}[/math] при [math]y=1[/math]. Длина этого вектора [math]|b_1|=\sqrt{3}[/math]; следовательно, нормированный вектор есть [math]e'_1={\left(\dfrac{1-i}{|b_1|},\dfrac{1}{|b_1|}\right)\!}^{\rm{T}}={\left(\dfrac{1-i}{\sqrt3},\dfrac{1}{\sqrt3}\right)\!}^{\rm{T}}[/math] При [math]\lambda=-1[/math] система [math]\Bigl(\overline{\mathbf{A}}-\lambda\mathbf{E}\Bigl)\mathbf{X}=0[/math] имеет вид [math]\left\{\!\begin{gathered}4x+(2-2i)y=0,\hfill\\[3pt](2+2i)x+2y=0;\hfill\\[3pt]\end{gathered}\right.[/math] или [math]\left\{\!\begin{gathered}x=\dfrac{i-1}{2}y,\hfill\\[3pt]y=y;\hfill\\[3pt]\end{gathered}\right.[/math] которая имеет фундаментальную систему решений из одного вектора, например, [math]b_2=(1-i,-2)^{\rm{T}}[/math] при [math]y=-2[/math]. Длина этого вектора [math]|b_2|=\sqrt6[/math]; следовательно, нормированный вектор есть [math]e'_2={\left(\dfrac{1-i}{|b_2|},-\dfrac{2}{|b_2|}\right)\!}^{\rm{T}}={\left(\dfrac{1-i}{\sqrt6},-\dfrac{2}{\sqrt6}\right)\!}^{\rm{T}}[/math] Из столбцов координат нормированных векторов составим унитарную матрицу [math]\mathbf{Q}=\left(\!\!\begin{array}{*{20}{c}}\dfrac{1-i}{\sqrt3}&\dfrac{1-i}{\sqrt6}\\[14pt]\dfrac{1}{\sqrt3}&-\dfrac{2}{\sqrt6}\end{array}\!\!\right)[/math] и по её строкам запишем искомое унитарное преобразование переменных эрмитовой квадратичной формы [math]f[/math] [math]\left\{\!\begin{gathered}x=\dfrac{1-i}{\sqrt3}x_1+\dfrac{1-i}{\sqrt6}y_1,\hfill\\[3pt]y=\dfrac{1}{\sqrt3}x_1-\dfrac{2}{\sqrt6}y_1.\hfill\\[3pt]\end{gathered}\right.[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
[ Сообщений: 2 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 26 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |