Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать, что симметрия отн. прямой — ЛО
СообщениеДобавлено: 25 май 2013, 16:16 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
15 окт 2012, 21:14
Сообщений: 106
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У нас зафиксирована прямоугольная декартова система координат [math](0;\overrightarrow{e1},\;\overrightarrow{e2},\;\overrightarrow{e3})[/math] в обычном трёхмерном пространстве.
Пространство [math]{\mathbb{R}_3}[/math] представим как множество векторов, выходящих из точки О.
Доказать, что симметрия относительно прямой
[math]\begin{gathered}x = - 2t \hfill \\ y = 1 + 2t \hfill \\ z = - 2 - t \hfill \\ \end{gathered}[/math]
является линейным оператором и найти его матрицу в данном ([math](\overrightarrow{e1},\;\overrightarrow{e2},\;\overrightarrow{e3})[/math]) базисе.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что симметрия отн. прямой — ЛО
СообщениеДобавлено: 26 май 2013, 08:40 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4090
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1807 раз в 1504 сообщениях
Очков репутации: 377

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Этот оператор явно не является линейным, точка [math](0,0,0)[/math] не лежит на прямой, а значит при симметрии будет отображаться в ненулевой вектор, что невозможно при линейном отображении. Данный оператор будет аффинным.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
delmel
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что симметрия отн. прямой — ЛО
СообщениеДобавлено: 26 май 2013, 09:46 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
15 окт 2012, 21:14
Сообщений: 106
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не могли бы Вы разъяснить (доступно, пожалуйста), что значит аффинный оператор (мы не проходили этого ещё)?
И насчёт матрицы его... её, получается, в таком случае, искать не нужно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что симметрия отн. прямой — ЛО
СообщениеДобавлено: 26 май 2013, 10:00 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4090
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1807 раз в 1504 сообщениях
Очков репутации: 377

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
delmel писал(а):
Не могли бы Вы разъяснить (доступно, пожалуйста), что значит аффинный оператор (мы не проходили этого ещё)?


Если [math]\mathcal L[/math] - линейный оператор, а [math]v[/math] - оператор сдвига (на вектор), то оператор [math]\widetilde{\mathcal L}=\mathcal L+v[/math] называется аффинным. Заметьте, что оператор сдвига на ненулевой вектор не является линейным.

delmel писал(а):
И насчёт матрицы его... её, получается, в таком случае, искать не нужно?


Можно найти матрицу линейного оператора и вектор сдвига, композицией которых этот аффинный оператор является, они определяются однозначно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
delmel
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что симметрия отн. прямой — ЛО
СообщениеДобавлено: 26 май 2013, 11:27 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
15 окт 2012, 21:14
Сообщений: 106
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Каким образом это делается?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что симметрия отн. прямой — ЛО
СообщениеДобавлено: 26 май 2013, 12:11 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4090
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1807 раз в 1504 сообщениях
Очков репутации: 377

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Просто возьмите точку [math](x,y,z)[/math] и найдите ей симметричную относительно этой прямой. Получится вектор, который можно будет представить в виде

[math]A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}+\boldsymbol{v}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
delmel
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что симметрия отн. прямой — ЛО
СообщениеДобавлено: 28 май 2013, 14:58 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
15 окт 2012, 21:14
Сообщений: 106
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ясно.
Хотелось бы теперь более оформленную идею доказательства.

Human писал(а):
Этот оператор явно не является линейным, точка не лежит на прямой, а значит при симметрии будет отображаться в ненулевой вектор, что невозможно при линейном отображении. Данный оператор будет аффинным.


Про аффинность ничего не нужно... у нас не было такого в программе.
Т.е. по сути нам нужно доказать нелинейность оператора. Мы ссылаемся на определение линейного отображения (сохранение суммы и умножения на скаляр); утверждаем, что точка (0,0,0) при линейности должна отображаться в нулевой вектор, но т.к. она не лежит на прямой, относительно которой мы рассматриваем симметрию, то отображаться она будет не туда, куда хотелось бы — в ненулевой вектор. Соответственно, линейным оператор симметрии относительно данной прямой не является.

Всё правильно расписал?

Теперь вопросы ещё есть..
1) Не хотелось бы, чтобы доказательство вот так вот голословно выглядело. Не могли бы Вы указать, возможно, ещё несколько, скажем так, "зацепок", или утверждений, или ссылок на что-нибудь, чтобы всё выглядело более... логически и убедительно?
2) Всё ещё не понимаю, как найти матрицу этого оператора. Будьте добры, объясните :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что симметрия отн. прямой — ЛО
СообщениеДобавлено: 28 май 2013, 15:17 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4090
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1807 раз в 1504 сообщениях
Очков репутации: 377

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
delmel писал(а):
1) Не хотелось бы, чтобы доказательство вот так вот голословно выглядело. Не могли бы Вы указать, возможно, ещё несколько, скажем так, "зацепок", или утверждений, или ссылок на что-нибудь, чтобы всё выглядело более... логически и убедительно?


Можете явно найти вектор, в который отображается точка [math](0,0,0)[/math].

delmel писал(а):
2) Всё ещё не понимаю, как найти матрицу этого оператора. Будьте добры, объясните :)


Ну, Вы нашли в общем виде, куда переходит точка [math](x,y,z)[/math] при данной симметрии? Или Вас именно это и интересует?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что симметрия отн. прямой — ЛО
СообщениеДобавлено: 28 май 2013, 15:48 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4090
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1807 раз в 1504 сообщениях
Очков репутации: 377

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Кстати, возможно, что я неверно понял условие: если рассматривать вектор как направленный отрезок, то он будет отображаться в вектор, приложенный к образу точки [math](0,0,0)[/math]. Тогда это по сути симметрия относительно прямой, параллельной данной и проходящей через точку [math](0,0,0)[/math]. И тогда отображение будет линейным.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что симметрия отн. прямой — ЛО
СообщениеДобавлено: 28 май 2013, 16:53 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
15 окт 2012, 21:14
Сообщений: 106
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
:) "всё рухнуло". (для меня, разумеется... ну плохо понимаю я алгебру; что поделать. вот поэтому сижу тут).

Решил найти точку, симметричную относительно прямой. Не получается — ни разу в 3D этого не делал.

[math]- \frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{ - 2 - z}}{1}[/math] вот уравнение прямой (выразил t и приравнял). Как отсюда найти симметричную точке (0,0,0) относительно этой прямой точку?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать что угол прямой

в форуме Геометрия

illya K

13

1536

27 авг 2013, 16:08

Доказать, что прямая перпендикулярна к прямой

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Dimany

15

2916

21 дек 2010, 15:16

Доказать, что точки Х, У, І, лежат на одной прямой

в форуме Геометрия

COLIN

6

675

28 сен 2011, 19:20

Симметрия

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

ilya0003

3

230

16 ноя 2014, 14:10

Центральная симметрия

в форуме Геометрия

H0las

4

365

22 сен 2014, 22:30

Симметрия в пространстве

в форуме Геометрия

Olga1975

2

201

21 окт 2015, 15:38

Симметрия во Вселенной

в форуме Дискуссионные математические проблемы

CasperFX

3

632

15 ноя 2013, 17:20

Осевая симметрия

в форуме Геометрия

nikolvdimitrova

6

151

09 июн 2019, 20:07

Симметрия многочленов

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

ahgel1990

1

253

15 янв 2015, 01:56

Осевая симметрия

в форуме Геометрия

dasha math

1

653

21 апр 2014, 06:25


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved