Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Построить фундаментальную систему решений
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=32&t=23829
Страница 1 из 1

Автор:  Rostislav [ 28 апр 2013, 13:31 ]
Заголовок сообщения:  Построить фундаментальную систему решений

На первом фото условие, на остальных начало моего решения. Собственно, вопрос - влияет ли на что-то тот факт, что минор получился равен нулю?

Вложения:
DSC_0136~1.jpg
DSC_0136~1.jpg [ 120.36 Кб | Просмотров: 39 ]
DSC_0135~1.jpg
DSC_0135~1.jpg [ 157.02 Кб | Просмотров: 39 ]
.PNG
.PNG [ 49.94 Кб | Просмотров: 50 ]

Автор:  Human [ 28 апр 2013, 14:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Построить фундаментальную систему решений

А для чего Вы вообще рассматривали этот минор? По какому алгоритму Вы ищете ФСР? Просто в разных ВУЗах он разный.

Автор:  Rostislav [ 28 апр 2013, 15:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Построить фундаментальную систему решений

Алгоритм следующий:
Ищем ранг матрицы, количество ФСР = количество неизвестных минус ранг.
далее берем минор размера r(видимо, произвольный т.к. в другом примере я попробовал с нескольким минорами - ответ один и тот же), ищем, чему он равен(для чего мы это делаем - я не знаю, так у меня записано, а почему так делали - не помню). Далее убираем уравнения, которые не входят в минор, а те неизвестные, которые не входят в минор, переносим в правую часть и решаем полученную систему следующим образом - берем простой определитель размера количества свободных неизвестных(например, если их 2, то такой [math]\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \\ 0&1 \end{array}} \right|\][/math] и подставляем сначала первую его строку вместо свободных неизвестных и таким образом найдем a1, далее подставим вторую строку и найдем а2, а фср будеи иметь вид Х = с1*а1 + с2*а2, где с1 и с2 принадлежат множеству комплексных чисел)
Просто в данном примере меня насторожило то, что придется искать аж 4 ФСР.
Если не понятно объяснил, могу скинуть фото решения, которое нам дал преподаватель.

Автор:  Human [ 28 апр 2013, 16:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Построить фундаментальную систему решений

Более-менее ясно, хотя последний пункт с нахождением ФСР мимо меня пролетает. Там же вроде придётся решать 4 системы уравнений (в Вашем случае), не?

В любом случае минор точно нужно брать ненулевой. Это нужно для того, чтобы определить свободные переменные. Если он вдруг оказался равным нулю, то это означает, что одна из переменных минора зависит от других, а свободные переменные не должны зависеть друг от друга. Ненулевой минор можно найти в процессе поиска ранга матрицы. Вот у Вас в решении получилась в конце единичная матрица (если убрать последний столбец). Проследите, какие столбцы исходной матрицы перешли в столбцы единичной матрицы, это и будет нужным минором.

Я лично решаю СЛУ несколько другим методом, и он, как мне кажется, намного удобнее Вашего. Нужно элементарными преобразованиями строк (только строк, не столбцов!) привести матрицу к упрощённому виду: это когда некоторые [math]r[/math] столбцов являются первыми [math]r[/math] столбцами единичной матрицы порядка [math]m[/math]
(здесь [math]m[/math] - число уравнений) и, в случае [math]m>r[/math], последние [math]m-r[/math] строк нулевые. При этом сразу убивается несколько зайцев: ранг матрицы оказывается равен [math]r[/math], искомый минор и, следовательно, свободные переменные соответствуют столбцам единичной матрицы, а искомые ФР находятся путём разложения столбцов, соответствующим зависимым переменным по столбцам свободных переменных, при этом отпадает необходимость решать кучу систем уравнений, поскольку столбцы свободных переменных единичные.

Автор:  Rostislav [ 28 апр 2013, 16:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Построить фундаментальную систему решений

Да, в моем случае придется решать 4 системы :(
Наверное решу тем способом, который нам дали, хотя Ваш и проще.
Спасибо за помощь!

Автор:  Rostislav [ 28 апр 2013, 17:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Построить фундаментальную систему решений

Такой вопрос - когда n - r было равно 2, для решения системы я брал определитель [math]\[\left|{\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&1
\end{array}} \right|\][/math]
. Какой определитель брать в случае, когда n - r = 4 ?

Автор:  Human [ 28 апр 2013, 17:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Построить фундаментальную систему решений

Единичный 4-ого порядка.

Автор:  Rostislav [ 28 апр 2013, 17:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Построить фундаментальную систему решений

Точно, спасибо

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/