Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти общее решение неоднородной системы уравнений
СообщениеДобавлено: 25 ноя 2012, 15:54 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 ноя 2012, 15:46
Сообщений: 31
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Найти общее решение неоднородной системы уравнений как сумму его частного решения с общим решением соответствующей однородной системы.
-3x1-5x2-9x3-3x4+1x5=-37
-6x1-9x2-18x3-6x4-24x5=-48
18x1+28x2+55x3+16x4+48x5=171
15x1+23x2+46x3+14x4+49x5=134
Помогите, пожалуйста, что-то никак не выходит решить :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти общее решение неоднородной системы уравнений
СообщениеДобавлено: 25 ноя 2012, 15:58 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А что делали?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти общее решение неоднородной системы уравнений
СообщениеДобавлено: 25 ноя 2012, 16:16 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 ноя 2012, 15:46
Сообщений: 31
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
А что делали?

записал расширенную матрицу, затем пытался путём преобразований получить нулевую сторку- не вышло :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти общее решение неоднородной системы уравнений
СообщениеДобавлено: 25 ноя 2012, 16:26 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MacZil писал(а):
записал расширенную матрицу, затем пытался путём преобразований получить нулевую сторку- не вышло :(

И не выйдет, потому что ранг матрицы равен 4. Вам нужно с помощью элементарных преобразований привести матрицу к упрощенному виду.

MacZil, после записи расширенной матрицы сначала умножьте 1-ю строку на (-1), а 2-ю строку поделите на (-3), это первый шаг.
Второй шаг: поменяйте местами строки 1 и 2.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Найти общее решение неоднородной системы уравнений
СообщениеДобавлено: 25 ноя 2012, 16:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 ноя 2012, 15:46
Сообщений: 31
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath писал(а):
MacZil писал(а):
записал расширенную матрицу, затем пытался путём преобразований получить нулевую сторку- не вышло :(

И не выйдет, потому что ранг матрицы равен 4. Вам нужно с помощью элементарных преобразований привести матрицу к упрощенному виду.

MacZil, после записи расширенной матрицы сначала умножьте 1-ю строку на (-1), а 2-ю строку поделите на (-3), это первый шаг.
Второй шаг: поменяйте местами строки 1 и 2.

эм, и что с этим делать? просто раньше мне попадались системы, где для решения нужно было получить нулевую строку...затем записать уравнения и получить решение :good: сейчас я немного в ступоре чего-то

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти общее решение неоднородной системы уравнений
СообщениеДобавлено: 25 ноя 2012, 16:48 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сейчас нет времени расписывать все преобразования, напишу позже.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти общее решение неоднородной системы уравнений
СообщениеДобавлено: 25 ноя 2012, 16:50 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 ноя 2012, 15:46
Сообщений: 31
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath писал(а):
Сейчас нет времени расписывать все преобразования, напишу позже.

спасиоб, буду ждать

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти общее решение неоднородной системы уравнений
СообщениеДобавлено: 26 ноя 2012, 00:38 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Используя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы системы, приводим её к ступенчатому, а затем и к упрощенному виду:

1) разделим строку 2 на (-3);
2) строку 2 умножим на 2 и прибавим к строке 1;
3) строку 1 умножим на (-2) и прибавим к строке 2, на (-18) и прибавим к строке 3, на (-15) и прибавим к строке 4;
4) строку 2 умножим на (-10) и прибавим к строке 3, на (-8) и прибавим к строке 4;
5) вычтем из строки 4 строку 3;
6) строку 4 умножим на 2 и прибавим к строке 3 и вычтем из строки 1 строку 4;
7) умножим строку 3 на (-3) и прибавим к строке 1;
8) вычтем из строки 1 строку 2;

[math]\begin{aligned} (A|b) &= \left(\!\!\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&{ - 5}&{ - 9}&{ - 3}&1&\!\!\vline\!\!& { - 37} \\ { - 6}&{ - 9}&{ - 18}&{ - 6}&{ - 24}&\!\!\vline\!\!& { - 48} \\ {18}&{28}&{55}&{16}&{48}&\!\!\vline\!\!& {171} \\ {15}&{23}&{46}&{14}&{49}&\!\!\vline\!\!& {134} \end{array}\!\!\right) \mathop{\sim}\limits^{\mathsf{1)}} \left(\!\!\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&{ - 5}&{ - 9}&{ - 3}&1&\!\!\vline\!\!& { - 37} \\ 2&3&6&2&8&\!\!\vline\!\!& {16} \\ {18}&{28}&{55}&{16}&{48}&\!\!\vline\!\!& {171} \\ {15}&{23}&{46}&{14}&{49}&\!\!\vline\!\!& {134} \end{array}\!\!\right) \mathop{\sim}\limits^{\mathsf{2)}} \\ & \mathop{\sim}\limits^{\mathsf{2)}} \left(\!\!\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&3&1&{17}&\!\!\vline\!\!& { - 5} \\ 2&3&6&2&8&\!\!\vline\!\!& {16} \\ {18}&{28}&{55}&{16}&{48}&\!\!\vline\!\!& {171} \\ {15}&{23}&{46}&{14}&{49}&\!\!\vline\!\!& {134} \end{array}\!\!\right) \mathop{\sim}\limits^{\mathsf{3)}} \left(\!\!\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&3&1&{17}&\!\!\vline\!\!& { - 5} \\ 0&1&0&0&{ - 26}&\!\!\vline\!\!& {26} \\ 0&{10}&1&{ - 2}&{ - 258}&\!\!\vline\!\!& {261} \\ 0&8&1&{ - 1}&{ - 206}&\!\!\vline\!\!& {209} \end{array}\!\!\right) \mathop{\sim}\limits^{\mathsf{4)}} \\ & \mathop{\sim}\limits^{\mathsf{4)}} \left(\!\!\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&3&1&{17}&\!\!\vline\!\!& { - 5} \\ 0&1&0&0&{ - 26}&\!\!\vline\!\!& {26} \\ 0&0&1&{ - 2}&2&\!\!\vline\!\!& 1 \\ 0&0&1&{ - 1}&2&\!\!\vline\!\!& 1 \end{array}\!\!\right) \mathop{\sim}\limits^{\mathsf{5)}} \left(\!\!\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&3&1&{17}&\!\!\vline\!\!& { - 5} \\ 0&1&0&0&{ - 26}&\!\!\vline\!\!& {26} \\ 0&0&1&{ - 2}&2&\!\!\vline\!\!& 1 \\ 0&0&0&1&0&\!\!\vline\!\!& 0 \end{array}\!\!\right) \mathop{\sim}\limits^{\mathsf{6)}} \\ & \mathop{\sim}\limits^{\mathsf{6)}} \left(\!\!\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&3&0&{17}&\!\!\vline\!\!& { - 5} \\ 0&1&0&0&{ - 26}&\!\!\vline\!\!& {26} \\ 0&0&1&0&2&\!\!\vline\!\!& 1 \\ 0&0&0&1&0&\!\!\vline\!\!& 0 \end{array}\!\!\right) \mathop{\sim}\limits^{\mathsf{7)}} \left(\!\!\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&0&0&{11}&\!\!\vline\!\!& { - 8} \\ 0&1&0&0&{ - 26}&\!\!\vline\!\!& {26} \\ 0&0&1&0&2&\!\!\vline\!\!& 1 \\ 0&0&0&1&0&\!\!\vline\!\!& 0 \end{array}\!\!\right) \mathop{\sim}\limits^{\mathsf{8)}} \left(\!\!\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0&{37}&\!\!\vline\!\!& { - 34} \\ 0&1&0&0&{ - 26}&\!\!\vline\!\!& {26} \\ 0&0&1&0&2&\!\!\vline\!\!& 1 \\ 0&0&0&1&0&\!\!\vline\!\!& 0 \end{array}\!\!\right)\!.\end{aligned}[/math]

Таким образом, общее решение системы можно записать в следующем виде:

[math]\left\{\!\begin{gathered} x_1 = - 37x_5 - 34, \hfill \\ x_2 = 26x_5 + 26, \hfill \\ x_3 = - 2x_5+ 1, \hfill \\ x_4 = 0, \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math] где [math]x_1,x_2,x_3,x_4[/math] - базисные переменные, а [math]x_5[/math] - свободная переменная.

Дальше, думаю, справитесь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
MacZil, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Найти общее решение неоднородной системы уравнений
СообщениеДобавлено: 26 ноя 2012, 08:07 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 ноя 2012, 15:46
Сообщений: 31
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath писал(а):

[math]\left\{\!\begin{gathered} x_1 = - 37x_5 - 34, \hfill \\ x_2 = 26x_5 + 26, \hfill \\ x_3 = - 2x_5+ 1, \hfill \\ x_4 = 0, \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math] где [math]x_1,x_2,x_3,x_4[/math] - базисные переменные, а [math]x_5[/math] - свободная переменная.

Дальше, думаю, справитесь.

Спасибо! :good:
получается X0= {-34, 26, 1, 0, 0}
а линейно независимых решений-будет всего одно? только есть вопрос: когда всего одна свободная переменная что подставлять 0 или 1?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти общее решение неоднородной системы уравнений
СообщениеДобавлено: 26 ноя 2012, 09:19 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 ноя 2012, 15:46
Сообщений: 31
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MacZil писал(а):
Alexdemath писал(а):

[math]\left\{\!\begin{gathered} x_1 = - 37x_5 - 34, \hfill \\ x_2 = 26x_5 + 26, \hfill \\ x_3 = - 2x_5+ 1, \hfill \\ x_4 = 0, \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math] где [math]x_1,x_2,x_3,x_4[/math] - базисные переменные, а [math]x_5[/math] - свободная переменная.

Дальше, думаю, справитесь.

Спасибо! :good:
получается X0= {-34, 26, 1, 0, 0}
а линейно независимых решений-будет всего одно? только есть вопрос: когда всего одна свободная переменная что подставлять 0 или 1?

я не правильно выразился:
получается X0= {-34, 26, 1, 0, 0}
затем записываем
[math]\left\{\!\begin{gathered} x_1 = - 37x_5 , \hfill \\ x_2 = 26x_5 , \hfill \\ x_3 = - 2x_5, \hfill \\ x_4 = 0, \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math]
и решаем однородную систему. Так вот, в результате получим всего одно решение однородной системы...так? только есть вопрос: когда всего одна свободная переменная что подставлять 0 или 1?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 15 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти общее решение неоднородной системы при отсутствии оной

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Corathir

1

163

05 ноя 2018, 22:29

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Kiryanovth

3

519

14 июн 2017, 19:25

Найти общее решение системы дифферениальных уравнений

в форуме Дифференциальное исчисление

XtoYa

14

452

04 апр 2023, 23:22

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Shamil

2

213

02 апр 2019, 11:45

Найти общее решение системы уравнений методом Жордана-Гаусса

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

maxn

4

874

03 июн 2014, 20:22

Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусс

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Elena116

11

1142

20 окт 2014, 12:44

Общее решение системы уравнений

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

e7min

1

216

25 янв 2019, 17:39

Найти общее решение системы

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

mayer

3

470

24 окт 2016, 09:41

Найти общее решение системы

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

SkiprDAG

1

288

26 май 2021, 10:27

Найти общее решение системы

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Knyazhe

1

255

13 мар 2018, 21:43


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 25


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved