Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Решить квадратное матричное уравнение вида X^2=A
СообщениеДобавлено: 12 авг 2012, 15:15 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 авг 2012, 15:08
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите решить квадратное матричное уравнение [math]X^2=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}[/math].

Не знаю, что делать с этим квадратом :cry: Или подскажите, где есть похожий пример с решением.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить матричное уравение с квадратом неизветсной X^2=A
СообщениеДобавлено: 12 авг 2012, 15:37 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
08 янв 2012, 21:42
Сообщений: 275
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
82 раз в 64 сообщениях
Очков репутации: 54

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для начала матрицу справа приведите к жордановой форме.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить матричное уравение с квадратом неизвестной X^2=A
СообщениеДобавлено: 12 авг 2012, 16:41 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Должна получиться такая ЖНФ [math]J_A= \begin{pmatrix}4&1\\0&4\end{pmatrix}[/math].

Оператор [math]\varphi-4\varepsilon[/math] на векторах [math]\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2[/math] жорданова базиса действует следующим образом: [math]\boldsymbol{v}_2 \mapsto \boldsymbol{v}_1 \mapsto 0[/math]

По виду матрицы [math]A-4E= \begin{pmatrix}-1&1\\-1&1\end{pmatrix}[/math] следует, что в качестве жорданова базиса можно взять векторы [math]\boldsymbol{v}_2= \boldsymbol{e}_2=\{0;1\}[/math] и [math]\boldsymbol{v}_1= \{1;1\}[/math]. тогда матрицей перехода к жордановому базису будет матрица [math]T= \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}[/math].

Исходное уравнение будет равносильно [math]T^{-1}XT\cdot T^{-1}XT= T^{-1}AT= J_A[/math], которое после замены [math]Y=T^{-1}XT[/math] примет вид [math]Y^2=\begin{pmatrix}4&1\\0&4\end{pmatrix}[/math]. поскольку значение функции [math]f(x)[/math] от жордановой клетки [math]\begin{pmatrix}\lambda&1\\ 0&\lambda\end{pmatrix}[/math] равно [math]\begin{pmatrix}f(\lambda)&f'(\lambda)\\ 0&f(\lambda) \end{pmatrix}[/math], а нужна функция [math]f(x)= \pm\sqrt{x}[/math], то [math]Y=\pm\begin{pmatrix}2&1{\!\not\phantom{|}\,}4\\ 0&2\end{pmatrix}[/math]. Отсюда

[math]X_{1,2}=TYT^{-1}= \pm \begin{pmatrix}1&0\\ 1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2&1{\!\not\phantom{|}\,}4\\ 0&2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\ -1&1\end{pmatrix}=\ldots = \pm\frac{1}{4}\! \begin{pmatrix}7&1\\ -1&9\end{pmatrix}[/math]

Проверьте вычисления.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
xfactor
 Заголовок сообщения: Re: Решить квадратное матричное уравнение вида X^2=A
СообщениеДобавлено: 13 авг 2012, 20:02 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6077
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
xfactor писал(а):
Помогите решить квадратное матричное уравнение [math]X^2=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}[/math].

Не знаю, что делать с этим квадратом :cry: Или подскажите, где есть похожий пример с решением.


Можно решить напрямую

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить квадратное матричное уравнение вида X^2=A
СообщениеДобавлено: 05 сен 2012, 18:46 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 авг 2012, 15:08
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath
Спасибо! Сдал, все верно! :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить квадратное матричное уравнение вида X^2=A
СообщениеДобавлено: 05 сен 2012, 20:19 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3323
Cпасибо сказано: 239
Спасибо получено:
999 раз в 863 сообщениях
Очков репутации: 272

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А можно и так.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Решить матричное уравнение вида X*A=3*A-2*X

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Padawan

5

624

11 дек 2017, 10:09

Решить матричное уравнение:

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

aurovd

1

319

18 ноя 2016, 22:01

Решить матричное уравнение

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

kicultanya

2

533

12 апр 2017, 18:33

Решить матричное уравнение

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

kicultanya

1

268

28 янв 2018, 12:00

Решить матричное уравнение

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Maik

1

280

20 янв 2021, 12:32

Решить квадратное уравнение с комплексными коэффициентами

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Alinmora

5

690

26 окт 2015, 23:32

Матричное уравнение

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

kleiton

1

248

14 окт 2016, 21:32

Матричное уравнение

в форуме Алгебра

one man

1

135

16 сен 2023, 20:39

Матричное уравнение

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

melika

2

307

27 апр 2016, 18:15

Линейное матричное уравнение

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

lady_flute

3

499

05 янв 2015, 16:24


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 20


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved