Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Базис ортогонального дополнения, проекция элемента
СообщениеДобавлено: 07 июн 2012, 15:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 июн 2012, 14:05
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, форумчане! Нужна помощь с решением задач:

1) В ортонормированном базисе (ек)4 евклидова пространства заданы координаты элементов [math]x_1,~x_2,~x[/math]:
[math]x_1=(1,0,0,1)^T,\quad x_2=(1,1,0,0)^T,\quad x=(1,0,0,0)^T[/math].
Найти проекцию элемента х на подпространство L(x1,x2).

2) Подпространство М евклидова пространства с ортонормированным базисом (ек)3 задано уравнением х1-2х2+3х3=0.
Найти базис ортогонального дополнения к подпространству М.

3) В линейном пространстве В2 задана прямая, имеющая в прямоугольной декартовой системе координат Ое1е2 уравнение у=кх, а также линейный оператор A , переводящий любой вектор а в вектор b, симметричный ему относительно этой прямой. Найдите матрицу линейного оператора A в базисе е1, е2.

Мои мысли:

1) По формуле скалярного произведения Хк=(Х,Хn) находим: (1 0 0 0)т и (1 0 0 0)т.

2) базис ортогонального дополнения имеет размерность=2, а базисом орт.доп. будет ФСР уравнения подпространства?

3) Нашел только общий вид матрицы поворота на угол альфа, но не представляю как действовать, может кто-нибудь может помочь?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Базис ортогонального дополнения, проекция элемента..
СообщениеДобавлено: 08 июн 2012, 08:43 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2269 раз в 1753 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. Какова проекция? В ответе должен быть вектор.
2. В трёхмерном пространстве данное уравнение задаёт двумерную плоскость. Какова размерность дополнения? После ответа на этот вопрос легко указать базис ортогонального дополнения.
3. Если Вы умеете поворачивать базис, то введите базис так, чтобы новая ось совпала с данной прямой. В новом базисе легко написать матрицу для оператора отражения относительно оси координат. Затем надо вернуться в старый базис. Ответ
[math]A = \frac{1}{{k^2 + 1}}\left( {\begin{array}{*{20}c}{1 - k^2 } & {2k}\\{2k} & {k^2 - 1}\\ \end{array} } \right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Базис ортогонального дополнения, проекция элемента..
СообщениеДобавлено: 08 июн 2012, 10:27 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 июн 2012, 14:05
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop, во втором получается размерность дополнения равна одному, а ответ ( 1. -2 3) ?
а в первом вектор(1 0 0 0)т?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Базис ортогонального дополнения, проекция элемента..
СообщениеДобавлено: 08 июн 2012, 10:48 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2269 раз в 1753 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ответ во втором правильный.
В первом ответ: [math]\frac{1}{3}\left( {2,1,0,1} \right)^T[/math]
Интересно, как Вы получили свой вектор?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Базис ортогонального дополнения, проекция элемента..
СообщениеДобавлено: 08 июн 2012, 11:02 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 июн 2012, 14:05
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
я воспользовался скалярным произведением двух элементов.
в третьем, я написал матрицу поворота е1 и е2 в новую систему координат, относящуюся к прямой
1 -k
k 1
что делать дальше нужно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Базис ортогонального дополнения, проекция элемента..
СообщениеДобавлено: 08 июн 2012, 12:54 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2269 раз в 1753 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ясно, что надо пользоваться скалярным произведением, но как решить задачу.
Матрица поворота должна быть ортогональной, чтобы длины векторов оставались прежними. Вашу матрицу надо нормировать - поделить на корень из её определителя. Кроме того, Вам надо совершить поворот в другую сторону. Нужно, чтобы вектор лежащий на прямой [math]y=kx[/math] оказался бы на новой оси координат. Другими словами, матрица перехода к новым координатам имеет вид
[math]U = \frac{1}{{\sqrt {1 + k^2 } }}\left( {\begin{array}{*{20}c}1 & k \\{ - k} & 1\\ \end{array} } \right)[/math]
Теперь, в новых координатах ваша прямая совпадает с осью координат. Какова матрица оператора отражения в новых координатах?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Ортонормированный базис ортогонального дополнения

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

kol0110

4

793

16 июн 2014, 22:24

Построить ортонормированный базис ортогонального дополнения

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

oleg_n1

4

1690

20 янв 2013, 16:30

Доказать инвариантность ортогонального дополнения

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

vladislav_544

0

75

30 май 2019, 19:01

Линейная Алгебра: Базис суммы пересеч, базис ядра образа

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

prorok365

0

76

02 июн 2020, 00:46

Базис подпространства и базис объемлещего пространства

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

mathematic_x

2

110

30 дек 2020, 16:18

Миноры и алгебраические дополнения

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

WeSt

18

1256

27 ноя 2011, 13:14

Миноры и алгебраичесие дополнения.

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Natka

7

655

09 апр 2012, 13:36

Найти миноры и алгебраические дополнения

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

by2fan

4

1019

19 окт 2013, 00:41

Для определителя найти миноры и алгебраические дополнения

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

TI_ProJecT

1

2557

28 мар 2011, 19:50

Левое и правое ортогональные дополнения подпространства

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

TotalRecall

2

599

30 апр 2012, 01:18


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved