Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Ортогональная проекция, вопрос про ортогональный проектор.
СообщениеДобавлено: 31 май 2012, 19:55 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 апр 2012, 00:41
Сообщений: 70
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Первый способ

1) Понятно все

2) Как написать явный вид проектора на подпространство?

Знаю, что

Проектор - линейный оператор [math]P[/math], для которого [math]P^2=P[/math]

Ортогональный проектор — это частный случай проектора, когда когда [math]\forall u\in U, \forall v\in V[/math] [math](u,v)=0[/math], или [math]u\cdot v =0[/math], или [math]u\perp v =0[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ортогональная проекция, вопрос про ортогональный проектор.
СообщениеДобавлено: 31 май 2012, 20:20 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ортогональный проектор возвращает по вектору его ортогональную проекцию на подпространство.

Пусть [math]\{a_1^*;a_2^*;a_3^*\}\ -[/math] ортонормированный базис подпространства [math]L[/math].[math]x=x_L+x_M[/math], причём поскольку [math]x_L\in L[/math], то существуют коэффициенты [math]k_1,k_2,k_3[/math] такие, что [math]x=x_L+x_M=k_1a_1^*+k_2a_2^*+k_3a_3^*+x_M[/math]. Умножая это равенство скалярно на [math]a_1^*,a_2^*,a_3^*[/math] и учитывая, что [math]x_M[/math] ортогонален пространству [math]L[/math], получаем явный вид коэффициентов: [math]k_1=(x,a_1^*),\ k_2=(x,a_2^*),\ k_3=(x,a_3^*)[/math]. Отсюда [math]\mathbf{P}_L(x)=x_L=(x,a_1^*)a_1^*+(x,a_2^*)a_2^*+(x,a_3^*)a_3^*[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
crazymadman18, ole-ole-ole
 Заголовок сообщения: Re: Ортогональная проекция, вопрос про ортогональный проектор.
СообщениеДобавлено: 31 май 2012, 20:30 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если скалярное произведение представить в виде умножения строки на столбец, то проектор можно записать в виде матрицы [math]\mathbf{P}_L=a_1^*a_1^*^T+a_2^*a_2^*^T+a_3^*a_3^*^T[/math]

А, ещё не учёл, что система векторов, на которую натянуто , может быть линейно зависимой. Тогда число векторов в базисе будет поменьше.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
ole-ole-ole
 Заголовок сообщения: Re: Ортогональная проекция, вопрос про ортогональный проектор.
СообщениеДобавлено: 31 май 2012, 20:53 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 апр 2012, 00:41
Сообщений: 70
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Ортогональный проектор возвращает по вектору его ортогональную проекцию на подпространство.
Пусть [math]\{a_1^*;a_2^*;a_3^*\}\ -[/math] ортонормированный базис подпространства [math]L[/math].[math]x=x_L+x_M[/math], причём поскольку [math]x_L\in L[/math], то существуют коэффициенты [math]k_1,k_2,k_3[/math] такие, что [math]x=x_L+x_M=k_1a_1^*+k_2a_2^*+k_3a_3^*+x_M[/math]. Умножая это равенство скалярно на [math]a_1^*,a_2^*,a_3^*[/math] и учитывая, что [math]x_M[/math] ортогонален пространству [math]L[/math], получаем явный вид коэффициентов: [math]k_1=(x,a_1^*),\ k_2=(x,a_2^*),\ k_3=(x,a_3^*)[/math]. Отсюда [math]\mathbf{P}_L(x)=x_L=(x,a_1^*)a_1^*+(x,a_2^*)a_2^*+(x,a_3^*)a_3^*[/math].

Спасибо! А почему [math]\mathbf{P}_L(x)=x_L[/math]?

Human писал(а):
Если скалярное произведение представить в виде умножения строки на столбец, то проектор можно записать в виде матрицы [math]\mathbf{P}_L=a_1^*a_1^*^T+a_2^*a_2^*^T+a_3^*a_3^*^T[/math]

А откуда эта формула получилась?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ортогональная проекция, вопрос про ортогональный проектор.
СообщениеДобавлено: 31 май 2012, 21:01 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ole-ole-ole писал(а):
Спасибо! А почему [math]\mathbf{P}_L(x)=x_L[/math]?

Потому что
Human писал(а):
Ортогональный проектор возвращает по вектору его ортогональную проекцию на подпространство.

ole-ole-ole писал(а):
А откуда эта формула получилась?

[math]\mathbf{P}_L(x)=(x,a_1^*)a_1^*+(x,a_2^*)a_2^*+(x,a_3^*)a_3^*=a_1^*(a_1^*,x)+a_2^*(a_2^*,x)+a_3^*(a_3^*,x)=a_1^*a_1^*^Tx+a_2^*a_2^*^Tx+a_3^*a_3^*^Tx=(a_1^*a_1^*^T+a_2^*a_2^*^T+a_3^*a_3^*^T)x[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
ole-ole-ole
 Заголовок сообщения: Re: Ортогональная проекция, вопрос про ортогональный проектор.
СообщениеДобавлено: 31 май 2012, 21:33 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 апр 2012, 00:41
Сообщений: 70
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):

[math]\mathbf{P}_L(x)=(x,a_1^*)a_1^*+(x,a_2^*)a_2^*+(x,a_3^*)a_3^*=a_1^*(a_1^*,x)+a_2^*(a_2^*,x)+a_3^*(a_3^*,x)=a_1^*a_1^*^Tx+a_2^*a_2^*^Tx+a_3^*a_3^*^Tx=(a_1^*a_1^*^T+a_2^*a_2^*^T+a_3^*a_3^*^T)x[/math]



Спасибо :)

1) [math]a_1^*a_1^*^Tx=(a_1^*,a_1^*^T)x[/math]?

2) Есть такое свойство, что вектора можно перебрасывать в скалярном произведении вот так [math](x,a_1^*)a_1^*=(a_1^*,a_1^*^T)x[/math]?

Если на оба вопроса ответ - да, то все понятно тогда!

И еще - про второй способ

Если [math]a_1, a_2,a_3[/math] - независимы и неортогональны, то можно ли их взять в качестве базиса?

А какая система будет? Может такая [math](a_1\;\;a_2\;\;a_3\;|\;x)[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ортогональная проекция, вопрос про ортогональный проектор.
СообщениеДобавлено: 31 май 2012, 21:55 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ole-ole-ole писал(а):
1) [math]a_1^*a_1^*^Tx=(a_1^*,a_1^*^T)x[/math]?

2) Есть такое свойство, что вектора можно перебрасывать в скалярном произведении вот так [math](x,a_1^*)a_1^*=(a_1^*,a_1^*^T)x[/math]?

Если на оба вопроса ответ - да, то все понятно тогда!


На оба вопроса ответ - нет. Пользовался я совсем другим: симметричностью скалярного произведения, ассоциативностью матричного произведения и тем, что в данном случае [math](a,b)=a^Tb[/math].

ole-ole-ole писал(а):
Если a_1, a_2,a_3 - независимы и неортогональны, то можно ли их взять в качестве базиса?


Любая полная, то есть по которой раскладывается любой вектор пространства, линейно независимая система векторов является базисом этого пространства.

ole-ole-ole писал(а):
А какая система будет? Может такая [math](a_1\;\;a_2\;\;a_3\;|\;x)[/math]?


Систему составляете по такому же принципу, как мной были ранее получены коэффициенты [math]k[/math] в первом способе. Разница теперь в том, что базисные векторы могут быть неортогональны, поэтому при скалярном умножении в общем случае будет пропадать только [math]x_M[/math]. Умножив скалярно равенство на каждый из базисных векторов, Вы получите систему из трёх уравнений (или меньше, в зависимости от кол-ва базисных векторов) для определения коэффициентов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
ole-ole-ole
 Заголовок сообщения: Re: Ортогональная проекция, вопрос про ортогональный проектор.
СообщениеДобавлено: 01 июн 2012, 13:53 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 апр 2012, 00:41
Сообщений: 70
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо, теперь с ортонормированным все понятно, попробую сделать с неортонормированным:

У меня получается вот что:

Пусть [math]\{a_1;a_2;a_3\} -[/math] неортонормированный базис подпространства [math]L[/math].[math]x=x_L+x_M[/math], причём поскольку [math]x_L\in L[/math], то существуют коэффициенты [math]k_1,k_2,k_3[/math] такие, что [math]x=x_L+x_M=k_1a_1+k_2a_2+k_3a_3+x_M[/math]. Умножая это равенство скалярно на [math]a_1,a_2,a_3[/math] и учитывая, что [math]x_M[/math] ортогонален пространству [math]L[/math], получаем :

[math](x,a_1)=k_1(a_1,a_1)+k_2(a_1,a_2)+k_3(a_1,a_3)[/math]

[math](x,a_2)=k_1(a_1,a_2)+k_2(a_2,a_2)+k_3(a_2,a_3)[/math]

[math](x,a_3)=k_1(a_1,a_3)+k_2(a_3,a_2)+k_3(a_3,a_3)[/math]

Верно ли это?
Из этой системы находим неизвестные [math]k_1,k_2,k_3[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ортогональная проекция, вопрос про ортогональный проектор.
СообщениеДобавлено: 01 июн 2012, 13:58 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, всё так.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
ole-ole-ole
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Ортогональная проекция

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

ahgel1990

2

491

11 окт 2014, 01:16

Ортогональность, ортогональная проекция

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

rojije

4

212

28 апр 2021, 12:56

Ортогональная проекция вектора

в форуме Геометрия

Cris_21

4

1179

18 фев 2017, 22:11

Проекция вектора на подпр. и ортогональная составляющая

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

TDSotM

1

338

23 июн 2015, 14:58

Ортогональная регрессия

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Gerren

4

529

04 окт 2017, 22:37

Диагональная и ортогональная матрица

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Galalyush

2

162

24 июн 2020, 18:24

Ортогональная замена переменных

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

superfuture

1

578

06 дек 2015, 21:34

Ортогональный базис

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

tanyhaftv

0

220

20 авг 2018, 00:19

Найти ортогональный базис

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Anastasiia

0

408

08 дек 2015, 00:13

Ортогональный и самосопряженный оператор

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

New user

10

297

12 май 2022, 11:22


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 25


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved