Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
ole-ole-ole |
|
||
Первый способ 1) Понятно все 2) Как написать явный вид проектора на подпространство? Знаю, что Проектор - линейный оператор [math]P[/math], для которого [math]P^2=P[/math] Ортогональный проектор — это частный случай проектора, когда когда [math]\forall u\in U, \forall v\in V[/math] [math](u,v)=0[/math], или [math]u\cdot v =0[/math], или [math]u\perp v =0[/math]. |
|||
Вернуться к началу | |||
Human |
|
||
Ортогональный проектор возвращает по вектору его ортогональную проекцию на подпространство.
Пусть [math]\{a_1^*;a_2^*;a_3^*\}\ -[/math] ортонормированный базис подпространства [math]L[/math].[math]x=x_L+x_M[/math], причём поскольку [math]x_L\in L[/math], то существуют коэффициенты [math]k_1,k_2,k_3[/math] такие, что [math]x=x_L+x_M=k_1a_1^*+k_2a_2^*+k_3a_3^*+x_M[/math]. Умножая это равенство скалярно на [math]a_1^*,a_2^*,a_3^*[/math] и учитывая, что [math]x_M[/math] ортогонален пространству [math]L[/math], получаем явный вид коэффициентов: [math]k_1=(x,a_1^*),\ k_2=(x,a_2^*),\ k_3=(x,a_3^*)[/math]. Отсюда [math]\mathbf{P}_L(x)=x_L=(x,a_1^*)a_1^*+(x,a_2^*)a_2^*+(x,a_3^*)a_3^*[/math]. |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: crazymadman18, ole-ole-ole |
|||
Human |
|
||
Если скалярное произведение представить в виде умножения строки на столбец, то проектор можно записать в виде матрицы [math]\mathbf{P}_L=a_1^*a_1^*^T+a_2^*a_2^*^T+a_3^*a_3^*^T[/math]
А, ещё не учёл, что система векторов, на которую натянуто , может быть линейно зависимой. Тогда число векторов в базисе будет поменьше. |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: ole-ole-ole |
|||
ole-ole-ole |
|
|
Human писал(а): Ортогональный проектор возвращает по вектору его ортогональную проекцию на подпространство. Пусть [math]\{a_1^*;a_2^*;a_3^*\}\ -[/math] ортонормированный базис подпространства [math]L[/math].[math]x=x_L+x_M[/math], причём поскольку [math]x_L\in L[/math], то существуют коэффициенты [math]k_1,k_2,k_3[/math] такие, что [math]x=x_L+x_M=k_1a_1^*+k_2a_2^*+k_3a_3^*+x_M[/math]. Умножая это равенство скалярно на [math]a_1^*,a_2^*,a_3^*[/math] и учитывая, что [math]x_M[/math] ортогонален пространству [math]L[/math], получаем явный вид коэффициентов: [math]k_1=(x,a_1^*),\ k_2=(x,a_2^*),\ k_3=(x,a_3^*)[/math]. Отсюда [math]\mathbf{P}_L(x)=x_L=(x,a_1^*)a_1^*+(x,a_2^*)a_2^*+(x,a_3^*)a_3^*[/math]. Спасибо! А почему [math]\mathbf{P}_L(x)=x_L[/math]? Human писал(а): Если скалярное произведение представить в виде умножения строки на столбец, то проектор можно записать в виде матрицы [math]\mathbf{P}_L=a_1^*a_1^*^T+a_2^*a_2^*^T+a_3^*a_3^*^T[/math] А откуда эта формула получилась? |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
||
ole-ole-ole писал(а): Спасибо! А почему [math]\mathbf{P}_L(x)=x_L[/math]? Потому что Human писал(а): Ортогональный проектор возвращает по вектору его ортогональную проекцию на подпространство. ole-ole-ole писал(а): А откуда эта формула получилась? [math]\mathbf{P}_L(x)=(x,a_1^*)a_1^*+(x,a_2^*)a_2^*+(x,a_3^*)a_3^*=a_1^*(a_1^*,x)+a_2^*(a_2^*,x)+a_3^*(a_3^*,x)=a_1^*a_1^*^Tx+a_2^*a_2^*^Tx+a_3^*a_3^*^Tx=(a_1^*a_1^*^T+a_2^*a_2^*^T+a_3^*a_3^*^T)x[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: ole-ole-ole |
|||
ole-ole-ole |
|
|
Human писал(а): [math]\mathbf{P}_L(x)=(x,a_1^*)a_1^*+(x,a_2^*)a_2^*+(x,a_3^*)a_3^*=a_1^*(a_1^*,x)+a_2^*(a_2^*,x)+a_3^*(a_3^*,x)=a_1^*a_1^*^Tx+a_2^*a_2^*^Tx+a_3^*a_3^*^Tx=(a_1^*a_1^*^T+a_2^*a_2^*^T+a_3^*a_3^*^T)x[/math] Спасибо 1) [math]a_1^*a_1^*^Tx=(a_1^*,a_1^*^T)x[/math]? 2) Есть такое свойство, что вектора можно перебрасывать в скалярном произведении вот так [math](x,a_1^*)a_1^*=(a_1^*,a_1^*^T)x[/math]? Если на оба вопроса ответ - да, то все понятно тогда! И еще - про второй способ Если [math]a_1, a_2,a_3[/math] - независимы и неортогональны, то можно ли их взять в качестве базиса? А какая система будет? Может такая [math](a_1\;\;a_2\;\;a_3\;|\;x)[/math]? |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
||
ole-ole-ole писал(а): 1) [math]a_1^*a_1^*^Tx=(a_1^*,a_1^*^T)x[/math]? 2) Есть такое свойство, что вектора можно перебрасывать в скалярном произведении вот так [math](x,a_1^*)a_1^*=(a_1^*,a_1^*^T)x[/math]? Если на оба вопроса ответ - да, то все понятно тогда! На оба вопроса ответ - нет. Пользовался я совсем другим: симметричностью скалярного произведения, ассоциативностью матричного произведения и тем, что в данном случае [math](a,b)=a^Tb[/math]. ole-ole-ole писал(а): Если a_1, a_2,a_3 - независимы и неортогональны, то можно ли их взять в качестве базиса? Любая полная, то есть по которой раскладывается любой вектор пространства, линейно независимая система векторов является базисом этого пространства. ole-ole-ole писал(а): А какая система будет? Может такая [math](a_1\;\;a_2\;\;a_3\;|\;x)[/math]? Систему составляете по такому же принципу, как мной были ранее получены коэффициенты [math]k[/math] в первом способе. Разница теперь в том, что базисные векторы могут быть неортогональны, поэтому при скалярном умножении в общем случае будет пропадать только [math]x_M[/math]. Умножив скалярно равенство на каждый из базисных векторов, Вы получите систему из трёх уравнений (или меньше, в зависимости от кол-ва базисных векторов) для определения коэффициентов. |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: ole-ole-ole |
|||
ole-ole-ole |
|
||
Спасибо, теперь с ортонормированным все понятно, попробую сделать с неортонормированным:
У меня получается вот что: Пусть [math]\{a_1;a_2;a_3\} -[/math] неортонормированный базис подпространства [math]L[/math].[math]x=x_L+x_M[/math], причём поскольку [math]x_L\in L[/math], то существуют коэффициенты [math]k_1,k_2,k_3[/math] такие, что [math]x=x_L+x_M=k_1a_1+k_2a_2+k_3a_3+x_M[/math]. Умножая это равенство скалярно на [math]a_1,a_2,a_3[/math] и учитывая, что [math]x_M[/math] ортогонален пространству [math]L[/math], получаем : [math](x,a_1)=k_1(a_1,a_1)+k_2(a_1,a_2)+k_3(a_1,a_3)[/math] [math](x,a_2)=k_1(a_1,a_2)+k_2(a_2,a_2)+k_3(a_2,a_3)[/math] [math](x,a_3)=k_1(a_1,a_3)+k_2(a_3,a_2)+k_3(a_3,a_3)[/math] Верно ли это? Из этой системы находим неизвестные [math]k_1,k_2,k_3[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
Human |
|
||
Да, всё так.
|
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: ole-ole-ole |
|||
[ Сообщений: 9 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Ортогональная проекция | 2 |
491 |
11 окт 2014, 01:16 |
|
Ортогональность, ортогональная проекция
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
4 |
212 |
28 апр 2021, 12:56 |
|
Ортогональная проекция вектора
в форуме Геометрия |
4 |
1179 |
18 фев 2017, 22:11 |
|
Проекция вектора на подпр. и ортогональная составляющая | 1 |
338 |
23 июн 2015, 14:58 |
|
Ортогональная регрессия | 4 |
529 |
04 окт 2017, 22:37 |
|
Диагональная и ортогональная матрица
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
2 |
162 |
24 июн 2020, 18:24 |
|
Ортогональная замена переменных | 1 |
578 |
06 дек 2015, 21:34 |
|
Ортогональный базис
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
0 |
220 |
20 авг 2018, 00:19 |
|
Найти ортогональный базис
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
0 |
408 |
08 дек 2015, 00:13 |
|
Ортогональный и самосопряженный оператор
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
10 |
297 |
12 май 2022, 11:22 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 25 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |