Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 16 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
Lady_June |
|
||
У меня возникла проблема с решением следующей задачи: Цитата: Найти ортонормированный базис линейного подпространства, которое построено на векторах (1,3,5,4,0), (-1,1,0,1,1), (1,7,10,9,1). Пожалуйста, подскажите, с чего начать. А то я почему-то никак не могу сообразить, хоть задача и не является сложной. Заранее благодарна. p.s. И побочный вопрос. В другой задаче я искала собственный числа и в итоге нашла, что их два: 0 и 4. Со вторым все ясно. А вот что делать, если первое равно 0? Ошибка в вычислениях исключена, я пересчитывала несколько раз. А поскольку задача заключается в приведении ур-я поверхности 2-го порядка к каноническому виду, то мне необходимы два собственных вектора. Но ведь из-за найденных собственных чисел я могу получить только один вектор. Не значит ли то, что число равно 0, что координаты собственного вектора могут быть произвольными? |
|||
Вернуться к началу | |||
Prokop |
|
||
1. Есть специальный алгоритм ортогонализации - процесс Грамма-Шмидта.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1% ... 1%82%D0%B0 2. Должен существовать не нулевой вектор, который отвечает нулевому собственному числу. Видимо, Ваша кривая - парабола. |
|||
Вернуться к началу | |||
Alexdemath |
|
||
Цитата: Найти ортонормированный базис линейного подпространства, которое построено на векторах (1,3,5,4,0), (-1,1,0,1,1), (1,7,10,9,1). Пожалуйста, подскажите, с чего начать. А то я почему-то никак не могу сообразить, хоть задача и не является сложной. Для начала найдите обычный базис этого подпространства, то есть найдите линейно независимые вектора данной системы векторов (например, приведя матрицу из компонент векторов методом Гаусса к ступенчатому виду). Один из векторов должен "улетучиться", но не скажу какой Напишите, что получится. |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: Lady_June |
|||
Lady_June |
|
||
Prokop
Alexdemath Благодарю за подсказки : ) Пойду пробовать, что из этого выйдет. |
|||
Вернуться к началу | |||
Alexdemath |
|
||
Если не поняли, то матрица такая
[math]\begin{pmatrix}1&3&5&4&0\\-1&1&0&1&1\\1&7&10&9&1\end{pmatrix}[/math], которую и нужно привести к ступенчатому виду. Напишите, что получится. |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: Lady_June |
|||
Lady_June |
|
||
Alexdemath
Вроде бы все получилось. Спасибо! И чтоб не заводить новую тему, здесь же спрошу насчет моего "побочного вопроса" из p.s. Там надо привести уравнение поверхности к каноническому виду и определить тип поверхности. Я дорешала до такого и поняла, что зашла в тупик. Что это такое у меня вышло?? Или я где-то ошиблась? Буду очень признательна, если кто-нибудь подскажет. Ну и совсем уж обнаглею. Что делать в следующем задании: Цитата: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора x=(3,-1,2,3) на линейную оболочку векторов a1=(1,0,0,3), a2=(2,1,1,-1), a3=(4,1,1,5). Было бы отлично, если бы кто-нибудь подсказал саму идею решения и первые шаги. Заранее благодарна. |
|||
Вернуться к началу | |||
Prokop |
|
||
По поводу побочного вопроса.
Т.к. ноль - собственное число кратности 2, то ему в случае симметричной матрицы должны соответствовать два собственных вектора. Вы нашли один [math]u_1[/math]. В качестве второго предлагаю взять вектор [math]u_3 = \left[ {u_1 ,u_2 } \right][/math] - векторное произведение найденных Вами векторов. [math]u_3 = \left( {\begin{array}{*{20}c} 5 \\4 \\1 \\ \end{array} } \right)[/math] Теперь нормируем эти векторы [math]e_k = \frac{{u_k }}{{\left\| {u_k } \right\|}}[/math] Из этих ортонормированных векторов составим ортогональную матрицу [math]U = \left( {\begin{array}{*{20}c} { - 1/\sqrt 3 } & {1/\sqrt {14} } & {5/\sqrt {42} }\\ {1/\sqrt 3 } & { - 2/\sqrt {14} } & {4/\sqrt {42} }\\{1/\sqrt 3 } & {3/\sqrt {14} } & {1/\sqrt {42} }\\ \end{array} } \right)[/math] Затем можно ввести новые переменные по формуле [math]y = U^T x[/math] или [math]x = Uy[/math] Тогда исходное уравнение [math]\left( {Ax,x} \right) - \left( {u_2 ,x} \right) - 6 = 0[/math] в новых координатах примет вид [math]\left( {U^T AUy,y} \right) - \left( {U^T u_2 ,y} \right) - 6 = 0[/math] [math]14y_2 ^2 - \sqrt {14} y_2 - 6 = 0[/math] Отсюда получаем два уравнения параллельных плоскостей [math]y_2 = - \frac{2}{{\sqrt {14} }}[/math] и [math]y_2 = \frac{6}{{\sqrt {14} }}[/math] Можно записать эти уравнения в исходных координатах. |
|||
Вернуться к началу | |||
Prokop |
|
||
По поводу последнего вопроса.
Представим вектор [math]x[/math] в виде [math]x = c_1 a_1 + c_2 a_2 + c_3 a_3 + y[/math] где [math]c_1, c_2, c_3[/math] - константы, подлежащие определению, а [math]y[/math] - вектор ортогональный линейной оболочке векторов [math]a_1, a_2, a_3[/math]. Исходя из последнего условия, для определения неизвестных констант, получим систему уравнений [math]\left( {x,a_1 } \right) = c_1 \left( {a_1 ,a_1 } \right) + c_2 \left( {a_2 ,a_1 } \right) + c_3 \left( {a_3 ,a_1 } \right)[/math] [math]\left( {x,a_2 } \right) = c_1 \left( {a_1 ,a_2 } \right) + c_2 \left( {a_2 ,a_2 } \right) + c_3 \left( {a_3 ,a_2 } \right)[/math] [math]\left( {x,a_3 } \right) = c_1 \left( {a_1 ,a_3 } \right) + c_2 \left( {a_2 ,a_3 } \right) + c_3 \left( {a_3 ,a_3 } \right)[/math] Отсюда находим значения констант [math]c_1, c_2, c_3[/math] (надеюсь, что векторы [math]a_1, a_2, a_3[/math]. линейно независимы). Так найдём проекцию [math]c_1 a_1 + c_2 a_2 + c_3 a_3[/math] вектора [math]x[/math] и ортогональную составляющую [math]y =x- c_1 a_1 - c_2 a_2 - c_3 a_3[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: Lady_June |
|||
Lady_June |
|
||
Prokop
Большое спасибо! Попробую завтра решить так, как Вы подсказали. |
|||
Вернуться к началу | |||
Lady_June |
|
||
Prokop
Наконец-то появилось время сесть за решение и оказалось, что векторы а1, а2, а3 линейно зависимы. Что делать в таком случае? А то что-то я совершенно запуталась, в конспекте лекций такого вообще нет, а мне завтра сдавать расчетку. Подскажите, пожалуйста. |
|||
Вернуться к началу | |||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 16 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |