Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти ортонормированный базис линейного подпространства
СообщениеДобавлено: 02 май 2012, 14:27 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 дек 2011, 17:10
Сообщений: 27
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток.
У меня возникла проблема с решением следующей задачи:
Цитата:
Найти ортонормированный базис линейного подпространства, которое построено на векторах (1,3,5,4,0), (-1,1,0,1,1), (1,7,10,9,1).

Пожалуйста, подскажите, с чего начать. А то я почему-то никак не могу сообразить, хоть задача и не является сложной.
Заранее благодарна.

p.s. И побочный вопрос.
В другой задаче я искала собственный числа и в итоге нашла, что их два: 0 и 4. Со вторым все ясно. А вот что делать, если первое равно 0? Ошибка в вычислениях исключена, я пересчитывала несколько раз. А поскольку задача заключается в приведении ур-я поверхности 2-го порядка к каноническому виду, то мне необходимы два собственных вектора. Но ведь из-за найденных собственных чисел я могу получить только один вектор. Не значит ли то, что число равно 0, что координаты собственного вектора могут быть произвольными?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ортонормированный базис
СообщениеДобавлено: 02 май 2012, 14:58 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. Есть специальный алгоритм ортогонализации - процесс Грамма-Шмидта.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1% ... 1%82%D0%B0

2. Должен существовать не нулевой вектор, который отвечает нулевому собственному числу. Видимо, Ваша кривая - парабола.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ортонормированный базис линейного подпространства
СообщениеДобавлено: 02 май 2012, 15:55 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Цитата:
Найти ортонормированный базис линейного подпространства, которое построено на векторах (1,3,5,4,0), (-1,1,0,1,1), (1,7,10,9,1).

Пожалуйста, подскажите, с чего начать. А то я почему-то никак не могу сообразить, хоть задача и не является сложной.

Для начала найдите обычный базис этого подпространства, то есть найдите линейно независимые вектора данной системы векторов (например, приведя матрицу из компонент векторов методом Гаусса к ступенчатому виду).

Один из векторов должен "улетучиться", но не скажу какой :)
Напишите, что получится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
Lady_June
 Заголовок сообщения: Re: Найти ортонормированный базис линейного подпространства
СообщениеДобавлено: 02 май 2012, 16:17 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 дек 2011, 17:10
Сообщений: 27
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop
Alexdemath
Благодарю за подсказки : )
Пойду пробовать, что из этого выйдет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ортонормированный базис линейного подпространства
СообщениеДобавлено: 02 май 2012, 16:20 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если не поняли, то матрица такая

[math]\begin{pmatrix}1&3&5&4&0\\-1&1&0&1&1\\1&7&10&9&1\end{pmatrix}[/math], которую и нужно привести к ступенчатому виду.

Напишите, что получится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
Lady_June
 Заголовок сообщения: Re: Найти ортонормированный базис линейного подпространства
СообщениеДобавлено: 07 май 2012, 20:43 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 дек 2011, 17:10
Сообщений: 27
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath
Вроде бы все получилось. Спасибо!

И чтоб не заводить новую тему, здесь же спрошу насчет моего "побочного вопроса" из p.s. Там надо привести уравнение поверхности к каноническому виду и определить тип поверхности.
Я дорешала до такого и поняла, что зашла в тупик. Что это такое у меня вышло?? Или я где-то ошиблась? Буду очень признательна, если кто-нибудь подскажет.

Ну и совсем уж обнаглею.
Что делать в следующем задании:
Цитата:
Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора x=(3,-1,2,3) на линейную оболочку векторов a1=(1,0,0,3), a2=(2,1,1,-1), a3=(4,1,1,5).

Было бы отлично, если бы кто-нибудь подсказал саму идею решения и первые шаги.

Заранее благодарна.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ортонормированный базис линейного подпространства
СообщениеДобавлено: 08 май 2012, 21:08 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По поводу побочного вопроса.
Т.к. ноль - собственное число кратности 2, то ему в случае симметричной матрицы должны соответствовать два собственных вектора. Вы нашли один [math]u_1[/math]. В качестве второго предлагаю взять вектор [math]u_3 = \left[ {u_1 ,u_2 } \right][/math] - векторное произведение найденных Вами векторов.
[math]u_3 = \left( {\begin{array}{*{20}c} 5 \\4 \\1 \\ \end{array} } \right)[/math]
Теперь нормируем эти векторы
[math]e_k = \frac{{u_k }}{{\left\| {u_k } \right\|}}[/math]
Из этих ортонормированных векторов составим ортогональную матрицу
[math]U = \left( {\begin{array}{*{20}c} { - 1/\sqrt 3 } & {1/\sqrt {14} } & {5/\sqrt {42} }\\ {1/\sqrt 3 } & { - 2/\sqrt {14} } & {4/\sqrt {42} }\\{1/\sqrt 3 } & {3/\sqrt {14} } & {1/\sqrt {42} }\\ \end{array} } \right)[/math]
Затем можно ввести новые переменные по формуле
[math]y = U^T x[/math] или [math]x = Uy[/math]
Тогда исходное уравнение
[math]\left( {Ax,x} \right) - \left( {u_2 ,x} \right) - 6 = 0[/math]
в новых координатах примет вид
[math]\left( {U^T AUy,y} \right) - \left( {U^T u_2 ,y} \right) - 6 = 0[/math]
[math]14y_2 ^2 - \sqrt {14} y_2 - 6 = 0[/math]
Отсюда получаем два уравнения параллельных плоскостей
[math]y_2 = - \frac{2}{{\sqrt {14} }}[/math]
и
[math]y_2 = \frac{6}{{\sqrt {14} }}[/math]
Можно записать эти уравнения в исходных координатах.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ортонормированный базис линейного подпространства
СообщениеДобавлено: 08 май 2012, 21:26 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По поводу последнего вопроса.
Представим вектор [math]x[/math] в виде
[math]x = c_1 a_1 + c_2 a_2 + c_3 a_3 + y[/math]
где [math]c_1, c_2, c_3[/math] - константы, подлежащие определению, а [math]y[/math] - вектор ортогональный линейной оболочке векторов [math]a_1, a_2, a_3[/math].
Исходя из последнего условия, для определения неизвестных констант, получим систему уравнений
[math]\left( {x,a_1 } \right) = c_1 \left( {a_1 ,a_1 } \right) + c_2 \left( {a_2 ,a_1 } \right) + c_3 \left( {a_3 ,a_1 } \right)[/math]
[math]\left( {x,a_2 } \right) = c_1 \left( {a_1 ,a_2 } \right) + c_2 \left( {a_2 ,a_2 } \right) + c_3 \left( {a_3 ,a_2 } \right)[/math]
[math]\left( {x,a_3 } \right) = c_1 \left( {a_1 ,a_3 } \right) + c_2 \left( {a_2 ,a_3 } \right) + c_3 \left( {a_3 ,a_3 } \right)[/math]
Отсюда находим значения констант [math]c_1, c_2, c_3[/math] (надеюсь, что векторы [math]a_1, a_2, a_3[/math]. линейно независимы).
Так найдём проекцию [math]c_1 a_1 + c_2 a_2 + c_3 a_3[/math] вектора [math]x[/math] и ортогональную составляющую [math]y =x- c_1 a_1 - c_2 a_2 - c_3 a_3[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Lady_June
 Заголовок сообщения: Re: Найти ортонормированный базис линейного подпространства
СообщениеДобавлено: 08 май 2012, 22:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 дек 2011, 17:10
Сообщений: 27
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop
Большое спасибо! Попробую завтра решить так, как Вы подсказали.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ортонормированный базис линейного подпространства
СообщениеДобавлено: 13 май 2012, 13:57 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 дек 2011, 17:10
Сообщений: 27
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop
Наконец-то появилось время сесть за решение и оказалось, что векторы а1, а2, а3 линейно зависимы.
Что делать в таком случае? А то что-то я совершенно запуталась, в конспекте лекций такого вообще нет, а мне завтра сдавать расчетку.
Подскажите, пожалуйста.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 16 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найдите базис линейного подпространства R3,заданного уравнен

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

eliotvaliev

1

472

07 апр 2019, 14:25

Найти ортонормированный базис

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Alex030

1

866

27 сен 2016, 19:06

Найти ортонормированный базис?

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

32423fsdf

1

70

04 дек 2023, 23:17

Найти ортонормированный базис

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

genia2030

1

390

06 авг 2018, 10:58

Найти ортогональный базис для подпространства

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

CruelShadow

13

1033

11 мар 2018, 17:55

Базис подпространства и базис объемлещего пространства

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

mathematic_x

2

245

30 дек 2020, 16:18

Ортонормированный базис

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

constantin01

3

276

29 май 2019, 20:29

Построить ортонормированный базис

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Alex_18

5

575

30 окт 2018, 14:43

Построить ортогональный базис и ортонормированный

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Alecsand1232342

11

1195

06 дек 2017, 03:49

Ортонормированный базис ортогонального дополнения

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

kol0110

4

1395

16 июн 2014, 22:24


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved