Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Левое и правое ортогональные дополнения подпространства
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=32&t=16558
Страница 1 из 1

Автор:  TotalRecall [ 30 апр 2012, 01:18 ]
Заголовок сообщения:  Левое и правое ортогональные дополнения подпространства

Очень нужна помощь :)

В базисе [math]\boldsymbol{e}_1=(1,0,0),~\boldsymbol{e}_2,=(0,1,0),~\boldsymbol{e}_3=(0,0,1)[/math] пространства [math]\mathbb{R}^3[/math] заданы билинейная функция с матрицей [math]F=\begin{pmatrix}4&1&3\\ 3&3&6\\ 2&5&9\end{pmatrix}[/math] и подпространство [math]U=\langle(1,-1,0),(-2,3,1)\rangle[/math]. Найдите левое и правое ортогональные дополнения подпространства [math]U[/math] относительно этой функции.

Автор:  MihailM [ 30 апр 2012, 09:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Левое и правое ортогональные дополнения подпространства

TotalRecall писал(а):
...левое и правое ортогональные дополнения подпространства [math]U[/math] относительно этой функции.


А напишите, что это такое по определению

Автор:  Alexdemath [ 30 апр 2012, 10:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Левое и правое ортогональные дополнения подпространства

TotalRecall писал(а):
Очень нужна помощь :)
В базисе [math]\boldsymbol{e}_1=(1,0,0),~\boldsymbol{e}_2,=(0,1,0),~\boldsymbol{e}_3=(0,0,1)[/math] пространства [math]\mathbb{R}^3[/math] заданы билинейная функция с матрицей [math]F=\begin{pmatrix}4&1&3\\ 3&3&6\\ 2&5&9\end{pmatrix}[/math] и подпространство [math]U=\langle(1,-1,0),(-2,3,1)\rangle[/math]. Найдите левое и правое ортогональные дополнения подпространства [math]U[/math] относительно этой функции.

Проверьте расчёты внимательно.

Обозначим [math]\boldsymbol{u}_1=(1,-1,0),~ \boldsymbol{u}_2=(-2,3,1)[/math]. Вектор [math]\boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3)[/math] будет принадлежать левому ортогональному дополнению [math]U_{\ell}^{\perp}[/math] подпространства [math]U[/math] тогда и только тогда, когда он будет ортогональным для каждого из векторов [math]\boldsymbol{u}_1[/math] и [math]\boldsymbol{u}_2[/math], то есть когда будут выполняться равенства

[math][\boldsymbol{v}]^T\cdot F\cdot [\boldsymbol{u}_1]=0,\qquad [\boldsymbol{v}]^T\cdot F\cdot [\boldsymbol{u}_1]=0.[/math]


Переходя к координатам, получаем систему уравнений:

[math]\begin{pmatrix}x_1&x_2&x_3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}4&1&3\\ 3&3&6\\ 2&5&9\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-1&0\end{pmatrix}=0,\quad \begin{pmatrix}x_1&x_2&x_3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}4&1&3\\ 3&3&6\\ 2&5&9\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-2&3&1\end{pmatrix}=0[/math] или [math]\begin{cases}3x_1-3x_3=0,\\-2x_1+9x_2+20x_3=0.\end{cases}[/math]

Решая эту систему, находим, что её фундаментальная система решений состоит из одного вектора [math](1,-2,1)[/math], следовательно, [math]U_{\ell}^{\perp}=\langle(1,-2,1)\rangle[/math].

Аналогично вектор [math]\boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3)[/math] будет принадлежать правому ортогональному дополнению [math]U_{r}^{\perp}[/math], тогда и только тогда, когда каждый из векторов [math]\boldsymbol{u}_1[/math] и [math]\boldsymbol{u}_2[/math] будет ортогональным к [math]\boldsymbol{u}[/math]. Это даёт систему уравнений

[math]\begin{pmatrix}1&-1&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}4&1&3\\ 3&3&6\\ 2&5&9\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0,\quad \begin{pmatrix}-2&3&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}4&1&3\\ 3&3&6\\ 2&5&9\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0[/math] или [math]\begin{cases}x_1-2x_2-3x_3=0,\\3x_1+12x_2+21x_3=0.\end{cases}[/math]

Фундаментальная система решений этой системы состоит из вектора [math](1,5,-3)[/math], поэтому [math]U_{r}^{\perp}=\langle(1,5,-3)\rangle[/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/