| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Левое и правое ортогональные дополнения подпространства http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=32&t=16558 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | TotalRecall [ 30 апр 2012, 01:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Левое и правое ортогональные дополнения подпространства |
Очень нужна помощь  В базисе [math]\boldsymbol{e}_1=(1,0,0),~\boldsymbol{e}_2,=(0,1,0),~\boldsymbol{e}_3=(0,0,1)[/math] пространства [math]\mathbb{R}^3[/math] заданы билинейная функция с матрицей [math]F=\begin{pmatrix}4&1&3\\ 3&3&6\\ 2&5&9\end{pmatrix}[/math] и подпространство [math]U=\langle(1,-1,0),(-2,3,1)\rangle[/math]. Найдите левое и правое ортогональные дополнения подпространства [math]U[/math] относительно этой функции. |
|
| Автор: | MihailM [ 30 апр 2012, 09:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Левое и правое ортогональные дополнения подпространства |
TotalRecall писал(а): ...левое и правое ортогональные дополнения подпространства [math]U[/math] относительно этой функции. А напишите, что это такое по определению |
|
| Автор: | Alexdemath [ 30 апр 2012, 10:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Левое и правое ортогональные дополнения подпространства |
TotalRecall писал(а): Очень нужна помощь В базисе [math]\boldsymbol{e}_1=(1,0,0),~\boldsymbol{e}_2,=(0,1,0),~\boldsymbol{e}_3=(0,0,1)[/math] пространства [math]\mathbb{R}^3[/math] заданы билинейная функция с матрицей [math]F=\begin{pmatrix}4&1&3\\ 3&3&6\\ 2&5&9\end{pmatrix}[/math] и подпространство [math]U=\langle(1,-1,0),(-2,3,1)\rangle[/math]. Найдите левое и правое ортогональные дополнения подпространства [math]U[/math] относительно этой функции. Проверьте расчёты внимательно. Обозначим [math]\boldsymbol{u}_1=(1,-1,0),~ \boldsymbol{u}_2=(-2,3,1)[/math]. Вектор [math]\boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3)[/math] будет принадлежать левому ортогональному дополнению [math]U_{\ell}^{\perp}[/math] подпространства [math]U[/math] тогда и только тогда, когда он будет ортогональным для каждого из векторов [math]\boldsymbol{u}_1[/math] и [math]\boldsymbol{u}_2[/math], то есть когда будут выполняться равенства [math][\boldsymbol{v}]^T\cdot F\cdot [\boldsymbol{u}_1]=0,\qquad [\boldsymbol{v}]^T\cdot F\cdot [\boldsymbol{u}_1]=0.[/math] Переходя к координатам, получаем систему уравнений: [math]\begin{pmatrix}x_1&x_2&x_3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}4&1&3\\ 3&3&6\\ 2&5&9\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-1&0\end{pmatrix}=0,\quad \begin{pmatrix}x_1&x_2&x_3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}4&1&3\\ 3&3&6\\ 2&5&9\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-2&3&1\end{pmatrix}=0[/math] или [math]\begin{cases}3x_1-3x_3=0,\\-2x_1+9x_2+20x_3=0.\end{cases}[/math] Решая эту систему, находим, что её фундаментальная система решений состоит из одного вектора [math](1,-2,1)[/math], следовательно, [math]U_{\ell}^{\perp}=\langle(1,-2,1)\rangle[/math]. Аналогично вектор [math]\boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3)[/math] будет принадлежать правому ортогональному дополнению [math]U_{r}^{\perp}[/math], тогда и только тогда, когда каждый из векторов [math]\boldsymbol{u}_1[/math] и [math]\boldsymbol{u}_2[/math] будет ортогональным к [math]\boldsymbol{u}[/math]. Это даёт систему уравнений [math]\begin{pmatrix}1&-1&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}4&1&3\\ 3&3&6\\ 2&5&9\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0,\quad \begin{pmatrix}-2&3&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}4&1&3\\ 3&3&6\\ 2&5&9\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0[/math] или [math]\begin{cases}x_1-2x_2-3x_3=0,\\3x_1+12x_2+21x_3=0.\end{cases}[/math] Фундаментальная система решений этой системы состоит из вектора [math](1,5,-3)[/math], поэтому [math]U_{r}^{\perp}=\langle(1,5,-3)\rangle[/math]. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|