Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Левое и правое ортогональные дополнения подпространства
СообщениеДобавлено: 30 апр 2012, 01:18 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 апр 2012, 00:46
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Очень нужна помощь :)

В базисе [math]\boldsymbol{e}_1=(1,0,0),~\boldsymbol{e}_2,=(0,1,0),~\boldsymbol{e}_3=(0,0,1)[/math] пространства [math]\mathbb{R}^3[/math] заданы билинейная функция с матрицей [math]F=\begin{pmatrix}4&1&3\\ 3&3&6\\ 2&5&9\end{pmatrix}[/math] и подпространство [math]U=\langle(1,-1,0),(-2,3,1)\rangle[/math]. Найдите левое и правое ортогональные дополнения подпространства [math]U[/math] относительно этой функции.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Левое и правое ортогональные дополнения подпространства
СообщениеДобавлено: 30 апр 2012, 09:08 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 1976
Cпасибо сказано: 28
Спасибо получено:
398 раз в 370 сообщениях
Очков репутации: 39

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
TotalRecall писал(а):
...левое и правое ортогональные дополнения подпространства [math]U[/math] относительно этой функции.


А напишите, что это такое по определению

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Левое и правое ортогональные дополнения подпространства
СообщениеДобавлено: 30 апр 2012, 10:50 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 5989
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 3240
Спасибо получено:
3123 раз в 2268 сообщениях
Очков репутации: 651

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
TotalRecall писал(а):
Очень нужна помощь :)
В базисе [math]\boldsymbol{e}_1=(1,0,0),~\boldsymbol{e}_2,=(0,1,0),~\boldsymbol{e}_3=(0,0,1)[/math] пространства [math]\mathbb{R}^3[/math] заданы билинейная функция с матрицей [math]F=\begin{pmatrix}4&1&3\\ 3&3&6\\ 2&5&9\end{pmatrix}[/math] и подпространство [math]U=\langle(1,-1,0),(-2,3,1)\rangle[/math]. Найдите левое и правое ортогональные дополнения подпространства [math]U[/math] относительно этой функции.

Проверьте расчёты внимательно.

Обозначим [math]\boldsymbol{u}_1=(1,-1,0),~ \boldsymbol{u}_2=(-2,3,1)[/math]. Вектор [math]\boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3)[/math] будет принадлежать левому ортогональному дополнению [math]U_{\ell}^{\perp}[/math] подпространства [math]U[/math] тогда и только тогда, когда он будет ортогональным для каждого из векторов [math]\boldsymbol{u}_1[/math] и [math]\boldsymbol{u}_2[/math], то есть когда будут выполняться равенства

[math][\boldsymbol{v}]^T\cdot F\cdot [\boldsymbol{u}_1]=0,\qquad [\boldsymbol{v}]^T\cdot F\cdot [\boldsymbol{u}_1]=0.[/math]


Переходя к координатам, получаем систему уравнений:

[math]\begin{pmatrix}x_1&x_2&x_3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}4&1&3\\ 3&3&6\\ 2&5&9\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-1&0\end{pmatrix}=0,\quad \begin{pmatrix}x_1&x_2&x_3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}4&1&3\\ 3&3&6\\ 2&5&9\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-2&3&1\end{pmatrix}=0[/math] или [math]\begin{cases}3x_1-3x_3=0,\\-2x_1+9x_2+20x_3=0.\end{cases}[/math]

Решая эту систему, находим, что её фундаментальная система решений состоит из одного вектора [math](1,-2,1)[/math], следовательно, [math]U_{\ell}^{\perp}=\langle(1,-2,1)\rangle[/math].

Аналогично вектор [math]\boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3)[/math] будет принадлежать правому ортогональному дополнению [math]U_{r}^{\perp}[/math], тогда и только тогда, когда каждый из векторов [math]\boldsymbol{u}_1[/math] и [math]\boldsymbol{u}_2[/math] будет ортогональным к [math]\boldsymbol{u}[/math]. Это даёт систему уравнений

[math]\begin{pmatrix}1&-1&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}4&1&3\\ 3&3&6\\ 2&5&9\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0,\quad \begin{pmatrix}-2&3&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}4&1&3\\ 3&3&6\\ 2&5&9\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0[/math] или [math]\begin{cases}x_1-2x_2-3x_3=0,\\3x_1+12x_2+21x_3=0.\end{cases}[/math]

Фундаментальная система решений этой системы состоит из вектора [math](1,5,-3)[/math], поэтому [math]U_{r}^{\perp}=\langle(1,5,-3)\rangle[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Миноры и алгебраичесие дополнения.

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Natka

7

650

09 апр 2012, 13:36

Миноры и алгебраические дополнения

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

WeSt

18

1243

27 ноя 2011, 13:14

Найти миноры и алгебраические дополнения

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

by2fan

4

1004

19 окт 2013, 00:41

Ортонормированный базис ортогонального дополнения

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

kol0110

4

754

16 июн 2014, 22:24

Доказать инвариантность ортогонального дополнения

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

vladislav_544

0

67

30 май 2019, 19:01

Ортогональные пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Avrora

0

274

18 ноя 2014, 18:53

Ортогональные векторы

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Alex03889

1

292

23 дек 2012, 15:00

Базис ортогонального дополнения, проекция элемента

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Dezmond

5

1846

07 июн 2012, 15:08

Построить ортонормированный базис ортогонального дополнения

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

oleg_n1

4

1667

20 янв 2013, 16:30

Для определителя найти миноры и алгебраические дополнения

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

TI_ProJecT

1

2532

28 мар 2011, 19:50


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google Adsense [Bot] и гости: 15


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved