Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 3 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
TotalRecall |
|
||
В базисе [math]\boldsymbol{e}_1=(1,0,0),~\boldsymbol{e}_2,=(0,1,0),~\boldsymbol{e}_3=(0,0,1)[/math] пространства [math]\mathbb{R}^3[/math] заданы билинейная функция с матрицей [math]F=\begin{pmatrix}4&1&3\\ 3&3&6\\ 2&5&9\end{pmatrix}[/math] и подпространство [math]U=\langle(1,-1,0),(-2,3,1)\rangle[/math]. Найдите левое и правое ортогональные дополнения подпространства [math]U[/math] относительно этой функции. |
|||
Вернуться к началу | |||
MihailM |
|
|
TotalRecall писал(а): ...левое и правое ортогональные дополнения подпространства [math]U[/math] относительно этой функции. А напишите, что это такое по определению |
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
TotalRecall писал(а): Очень нужна помощь В базисе [math]\boldsymbol{e}_1=(1,0,0),~\boldsymbol{e}_2,=(0,1,0),~\boldsymbol{e}_3=(0,0,1)[/math] пространства [math]\mathbb{R}^3[/math] заданы билинейная функция с матрицей [math]F=\begin{pmatrix}4&1&3\\ 3&3&6\\ 2&5&9\end{pmatrix}[/math] и подпространство [math]U=\langle(1,-1,0),(-2,3,1)\rangle[/math]. Найдите левое и правое ортогональные дополнения подпространства [math]U[/math] относительно этой функции. Проверьте расчёты внимательно. Обозначим [math]\boldsymbol{u}_1=(1,-1,0),~ \boldsymbol{u}_2=(-2,3,1)[/math]. Вектор [math]\boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3)[/math] будет принадлежать левому ортогональному дополнению [math]U_{\ell}^{\perp}[/math] подпространства [math]U[/math] тогда и только тогда, когда он будет ортогональным для каждого из векторов [math]\boldsymbol{u}_1[/math] и [math]\boldsymbol{u}_2[/math], то есть когда будут выполняться равенства [math][\boldsymbol{v}]^T\cdot F\cdot [\boldsymbol{u}_1]=0,\qquad [\boldsymbol{v}]^T\cdot F\cdot [\boldsymbol{u}_1]=0.[/math] Переходя к координатам, получаем систему уравнений: [math]\begin{pmatrix}x_1&x_2&x_3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}4&1&3\\ 3&3&6\\ 2&5&9\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-1&0\end{pmatrix}=0,\quad \begin{pmatrix}x_1&x_2&x_3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}4&1&3\\ 3&3&6\\ 2&5&9\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-2&3&1\end{pmatrix}=0[/math] или [math]\begin{cases}3x_1-3x_3=0,\\-2x_1+9x_2+20x_3=0.\end{cases}[/math] Решая эту систему, находим, что её фундаментальная система решений состоит из одного вектора [math](1,-2,1)[/math], следовательно, [math]U_{\ell}^{\perp}=\langle(1,-2,1)\rangle[/math]. Аналогично вектор [math]\boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3)[/math] будет принадлежать правому ортогональному дополнению [math]U_{r}^{\perp}[/math], тогда и только тогда, когда каждый из векторов [math]\boldsymbol{u}_1[/math] и [math]\boldsymbol{u}_2[/math] будет ортогональным к [math]\boldsymbol{u}[/math]. Это даёт систему уравнений [math]\begin{pmatrix}1&-1&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}4&1&3\\ 3&3&6\\ 2&5&9\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0,\quad \begin{pmatrix}-2&3&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}4&1&3\\ 3&3&6\\ 2&5&9\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0[/math] или [math]\begin{cases}x_1-2x_2-3x_3=0,\\3x_1+12x_2+21x_3=0.\end{cases}[/math] Фундаментальная система решений этой системы состоит из вектора [math](1,5,-3)[/math], поэтому [math]U_{r}^{\perp}=\langle(1,5,-3)\rangle[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 3 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Ортогональные векторы
в форуме Векторный анализ и Теория поля |
2 |
236 |
02 ноя 2021, 15:04 |
|
Ортогональные пространства
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
0 |
330 |
18 ноя 2014, 18:53 |
|
Ортогональные собственные вектора | 0 |
225 |
18 апр 2019, 23:18 |
|
Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка
в форуме Размышления по поводу и без |
4209 |
147913 |
17 янв 2016, 12:38 |
|
Ряд Фурье и другие ортогональные разложения | 1 |
486 |
29 апр 2015, 14:47 |
|
Ортогональные центральные композиционный план | 2 |
463 |
08 дек 2016, 09:20 |
|
Найти базис ортогонального дополнения
в форуме Алгебра |
1 |
211 |
23 апр 2021, 09:03 |
|
Доказать инвариантность ортогонального дополнения
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
0 |
172 |
30 май 2019, 19:01 |
|
Найти базис ортогонального дополнения
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
1 |
429 |
26 апр 2021, 21:51 |
|
Ортонормированный базис ортогонального дополнения | 4 |
466 |
17 май 2022, 17:12 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 21 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |