Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти общее решение неоднородной системы уравнений
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=32&t=13768
Страница 1 из 1

Автор:  little_schizophrenic [ 21 янв 2012, 13:07 ]
Заголовок сообщения:  Найти общее решение неоднородной системы уравнений

Найти общее решение неоднородной системы уравнений как сумму его частного решения с общим решением соответствующей однородной системы.

[math]\begin{cases}4x_1+x_2+x_3+31x_4+27x_5=12,\\ 5x_1+6x_2+x_3+47x_4+47x_5=23,\\ 8x_1+7x_2+6x_3+92x_4+85x_5=58. \end{cases}[/math]

Одна-единственная задача, которую никак не могу решить.
расширенную матрицу записала, а как дальше - тёмный лес)

Изображение

Автор:  little_schizophrenic [ 22 янв 2012, 12:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти общее решение неоднородной системы уравнений

короче фиг его знает, не умею я это решать.
похожая задача вовсе не похожа. а мне надо найти частное решение, общее и сложить их

Автор:  Alexdemath [ 22 янв 2012, 13:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти общее решение неоднородной системы уравнений

Используя элементарные преобразования над строками матрицы, приводим ее к ступенчатому, а затем и к упрощенному виду:

1) запишем расширенную матрицу системы уравнений;
2) умножим строку 2 на -1 и прибавим её к строке 1;
3) умножим строку 1 на 5 и прибавим её к строке 2;
4) умножим строку 1 на 8 и прибавим её к строке 3;
5) умножим строку 2 на 33 и строку 3 на -19;
6) сложим строки 2 и 3;
7) строку 3 разделим на -81;
8) умножим строку 3 на -33 и прибавим её к строке 2p;
9) строку 2 разделим на -627;
10) умножим строку 2 на 5 и прибавим её к строке 1;
11) строку 1 умножим на -1;

[math]\begin{gathered}\left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}4&1&1&{31}&{27}\!\!&\vline\!\!&{12}\\5&6&1&{47}&{47}\!\!&\vline\!\!&{23}\\8&7&6&{92}&{85}\!\!&\vline\!\!&{58}\end{array}\!\!\right)\sim \left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}{-1}&{-5}&0&{-16}&{-20}\!\!&\vline\!\!&{-11}\\5&6&1&{47}&{47}\!\!& \vline\!\!&{23}\\ 8&7&6&{92}&{85}\!\!&\vline\!\!&{58}\end{array}\!\!\right)\sim \left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}{-1}&{-5}&0&{-16}&{-20}\!\!&\vline\!\!&{-11}\\0&{-19}&1&{-33}&{-53}\!\!&\vline\!\!&{-32}\\8&7&6&{92}&{85}\!\!&\vline\!\!&{58}\end{array}\!\!\right)\sim\hfill\\ \sim\left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}{-1}&{-5}&0&{-16}&{-20}\!\!&\vline\!\!&{-11}\\0&{-19}&1&{-33}&{-53}\!\!&\vline\!\!&{-32}\\0&{-33}&6&{-36}&{-75}\!\!&\vline\!\!&{-30}\end{array}\!\!\right)\sim \left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}{-1}&{-5}&0&{-16}&{-20}\!\!&\vline\!\!&{-11}\\0&{-627}&{33}&{-1089}&{-1749}\!\!&\vline\!\!&{-1056}\\0&{627}&{-114}&{684}&{1425}\!\!& \vline\!\!&{570} \end{array}\!\!\right)\sim\hfill\\ \sim\left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}{-1}&{-5}&0&{-16}&{-20}\!\!&\vline\!\!&{-11}\\0&{-627}&{33}&{-1089}&{-1749}\!\!&\vline\!\!&{-1056}\\0&0&{-81}&{-405}&{-324}\!\!&\vline\!\!&{-486}\end{array}\!\!\right)\sim \left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}{-1}&{-5}&0&{-16}&{-20}\!\!&\vline\!\!&{-11}\\0&{-627}&{33}&{-1089}&{-1749}\!\!&\vline\!\!&{-1056}\\0&0&1&5&4\!\!& \vline\!\!&6\end{array}\!\!\right)\sim\hfill\\ \sim\left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}{-1}&{-5}&0&{-16}&{-20}\!\!&\vline\!\!&{-11}\\0&{-627}&0&{-1254}&{-1881}\!\!&\vline\!\!&{-1254}\\0&0&1&5&4\!\!& \vline\!\!&6\end{array}\!\!\right)\sim \left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}{-1}&{-5}&0&{-16}&{-20}\!\!&\vline\!\!&{-11}\\0&1&0&2&3\!\!& \vline\!\!&2\\0&0&1&5&4\!\!& \vline\!\!&6 \end{array}\!\!\right)\sim\hfill\\ \sim\left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}{-1}&0&0&{-6}&{-5}\!\!&\vline\!\!&{-1}\\0&1&0&2&3\!\!& \vline\!\!&2\\0&0&1&5&4\!\!& \vline\!\!&6 \end{array}\!\!\right)\sim \left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}} 1&0&0&6&5\!\!& \vline\!\!&1\\ 0&1&0&2&3\!\!& \vline\!\!&2\\0&0&1&5&4\!\!& \vline\!\!&6 \end{array}\!\!\right)~ \Rightarrow~ \begin{cases}x_1=1-6x_4-5x_5,\\x_2=2-2x_4-3x_5,\\x_3=6-5x_4-4x_5,\end{cases}\hfill\\\end{gathered}[/math]

где [math]x_1,\,x_2,\,x_3[/math] - базисные переменные, а [math]x_4,\,x_5[/math] - свободные переменные.

Полагая [math]x_4=x_5=0[/math], получаем частное решение неоднородной системы: [math]x^H=\begin{pmatrix}1&2&6&0&0\end{pmatrix}^T[/math].

Записываем общее решение соответствующей однородной системы: [math]\begin{cases}x_1=-6x_4-5x_5,\\x_2=-2x_4-3x_5,\\x_3=-5x_4-4x_5.\end{cases}[/math]

Находим фундаментальную систему решений. Так как [math]n=5[/math] (число неизвестных) и [math]r=\operatorname{rg}A=3[/math], то надо подобрать [math]n-r=2[/math] линейно независимых решения. Подставляем в решение однородной системы стандартные наборы значений свободных переменных:

1) если [math]x_4=1,~x_5=0[/math], то [math]x_1=-6,~x_2=-2,~x_3=-5[/math];
2) если [math]x_4=0,~x_5=1[/math], то [math]x_1=-5,~x_2=-3,~x_3=-4[/math].

В результате получили фундаментальную систему решений однородной системы:

[math]\varphi_1=\begin{pmatrix}-6&-2&-5&1&0\end{pmatrix}^T,\qquad \varphi_2=\begin{pmatrix}-5&-3&-4&0&1\end{pmatrix}^T.[/math]

Записываем общее решение исходной неоднородной системы как сумму его частного решения с общим решением соответствующей однородной системы:

[math]x=x^H+C_1\cdot\varphi_1+C_2\cdot\varphi_2= \begin{pmatrix}1\\2\\6\\0\\0\end{pmatrix}+ C_1\!\begin{pmatrix} -6\\-2\\-5\\1\\0\end{pmatrix}+ C_2\!\begin{pmatrix}-5\\-3\\-4\\0\\1\end{pmatrix}\!,[/math] где [math]C_1,\,C_2[/math] - произвольные постоянные.

Смотрите общее и фундаментальное решения системы уравнений.

Автор:  little_schizophrenic [ 22 янв 2012, 13:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти общее решение неоднородной системы уравнений

всё, нашла ошибки в собственном решении на черновике. спасибо.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/