Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Найти общее решение неоднородной системы уравнений http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=32&t=13768 |
Страница 1 из 1 |
Автор: | little_schizophrenic [ 22 янв 2012, 12:39 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Найти общее решение неоднородной системы уравнений |
короче фиг его знает, не умею я это решать. похожая задача вовсе не похожа. а мне надо найти частное решение, общее и сложить их |
Автор: | Alexdemath [ 22 янв 2012, 13:05 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Найти общее решение неоднородной системы уравнений |
Используя элементарные преобразования над строками матрицы, приводим ее к ступенчатому, а затем и к упрощенному виду: 1) запишем расширенную матрицу системы уравнений; 2) умножим строку 2 на -1 и прибавим её к строке 1; 3) умножим строку 1 на 5 и прибавим её к строке 2; 4) умножим строку 1 на 8 и прибавим её к строке 3; 5) умножим строку 2 на 33 и строку 3 на -19; 6) сложим строки 2 и 3; 7) строку 3 разделим на -81; 8) умножим строку 3 на -33 и прибавим её к строке 2p; 9) строку 2 разделим на -627; 10) умножим строку 2 на 5 и прибавим её к строке 1; 11) строку 1 умножим на -1; [math]\begin{gathered}\left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}4&1&1&{31}&{27}\!\!&\vline\!\!&{12}\\5&6&1&{47}&{47}\!\!&\vline\!\!&{23}\\8&7&6&{92}&{85}\!\!&\vline\!\!&{58}\end{array}\!\!\right)\sim \left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}{-1}&{-5}&0&{-16}&{-20}\!\!&\vline\!\!&{-11}\\5&6&1&{47}&{47}\!\!& \vline\!\!&{23}\\ 8&7&6&{92}&{85}\!\!&\vline\!\!&{58}\end{array}\!\!\right)\sim \left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}{-1}&{-5}&0&{-16}&{-20}\!\!&\vline\!\!&{-11}\\0&{-19}&1&{-33}&{-53}\!\!&\vline\!\!&{-32}\\8&7&6&{92}&{85}\!\!&\vline\!\!&{58}\end{array}\!\!\right)\sim\hfill\\ \sim\left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}{-1}&{-5}&0&{-16}&{-20}\!\!&\vline\!\!&{-11}\\0&{-19}&1&{-33}&{-53}\!\!&\vline\!\!&{-32}\\0&{-33}&6&{-36}&{-75}\!\!&\vline\!\!&{-30}\end{array}\!\!\right)\sim \left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}{-1}&{-5}&0&{-16}&{-20}\!\!&\vline\!\!&{-11}\\0&{-627}&{33}&{-1089}&{-1749}\!\!&\vline\!\!&{-1056}\\0&{627}&{-114}&{684}&{1425}\!\!& \vline\!\!&{570} \end{array}\!\!\right)\sim\hfill\\ \sim\left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}{-1}&{-5}&0&{-16}&{-20}\!\!&\vline\!\!&{-11}\\0&{-627}&{33}&{-1089}&{-1749}\!\!&\vline\!\!&{-1056}\\0&0&{-81}&{-405}&{-324}\!\!&\vline\!\!&{-486}\end{array}\!\!\right)\sim \left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}{-1}&{-5}&0&{-16}&{-20}\!\!&\vline\!\!&{-11}\\0&{-627}&{33}&{-1089}&{-1749}\!\!&\vline\!\!&{-1056}\\0&0&1&5&4\!\!& \vline\!\!&6\end{array}\!\!\right)\sim\hfill\\ \sim\left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}{-1}&{-5}&0&{-16}&{-20}\!\!&\vline\!\!&{-11}\\0&{-627}&0&{-1254}&{-1881}\!\!&\vline\!\!&{-1254}\\0&0&1&5&4\!\!& \vline\!\!&6\end{array}\!\!\right)\sim \left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}{-1}&{-5}&0&{-16}&{-20}\!\!&\vline\!\!&{-11}\\0&1&0&2&3\!\!& \vline\!\!&2\\0&0&1&5&4\!\!& \vline\!\!&6 \end{array}\!\!\right)\sim\hfill\\ \sim\left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}{-1}&0&0&{-6}&{-5}\!\!&\vline\!\!&{-1}\\0&1&0&2&3\!\!& \vline\!\!&2\\0&0&1&5&4\!\!& \vline\!\!&6 \end{array}\!\!\right)\sim \left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}} 1&0&0&6&5\!\!& \vline\!\!&1\\ 0&1&0&2&3\!\!& \vline\!\!&2\\0&0&1&5&4\!\!& \vline\!\!&6 \end{array}\!\!\right)~ \Rightarrow~ \begin{cases}x_1=1-6x_4-5x_5,\\x_2=2-2x_4-3x_5,\\x_3=6-5x_4-4x_5,\end{cases}\hfill\\\end{gathered}[/math] где [math]x_1,\,x_2,\,x_3[/math] - базисные переменные, а [math]x_4,\,x_5[/math] - свободные переменные. Полагая [math]x_4=x_5=0[/math], получаем частное решение неоднородной системы: [math]x^H=\begin{pmatrix}1&2&6&0&0\end{pmatrix}^T[/math]. Записываем общее решение соответствующей однородной системы: [math]\begin{cases}x_1=-6x_4-5x_5,\\x_2=-2x_4-3x_5,\\x_3=-5x_4-4x_5.\end{cases}[/math] Находим фундаментальную систему решений. Так как [math]n=5[/math] (число неизвестных) и [math]r=\operatorname{rg}A=3[/math], то надо подобрать [math]n-r=2[/math] линейно независимых решения. Подставляем в решение однородной системы стандартные наборы значений свободных переменных: 1) если [math]x_4=1,~x_5=0[/math], то [math]x_1=-6,~x_2=-2,~x_3=-5[/math]; 2) если [math]x_4=0,~x_5=1[/math], то [math]x_1=-5,~x_2=-3,~x_3=-4[/math]. В результате получили фундаментальную систему решений однородной системы: [math]\varphi_1=\begin{pmatrix}-6&-2&-5&1&0\end{pmatrix}^T,\qquad \varphi_2=\begin{pmatrix}-5&-3&-4&0&1\end{pmatrix}^T.[/math] Записываем общее решение исходной неоднородной системы как сумму его частного решения с общим решением соответствующей однородной системы: [math]x=x^H+C_1\cdot\varphi_1+C_2\cdot\varphi_2= \begin{pmatrix}1\\2\\6\\0\\0\end{pmatrix}+ C_1\!\begin{pmatrix} -6\\-2\\-5\\1\\0\end{pmatrix}+ C_2\!\begin{pmatrix}-5\\-3\\-4\\0\\1\end{pmatrix}\!,[/math] где [math]C_1,\,C_2[/math] - произвольные постоянные. Смотрите общее и фундаментальное решения системы уравнений. |
Автор: | little_schizophrenic [ 22 янв 2012, 13:10 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Найти общее решение неоднородной системы уравнений |
всё, нашла ошибки в собственном решении на черновике. спасибо. |
Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |