Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти общее решение неоднородной системы уравнений
СообщениеДобавлено: 21 янв 2012, 14:07 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
17 янв 2012, 14:22
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Найти общее решение неоднородной системы уравнений как сумму его частного решения с общим решением соответствующей однородной системы.

[math]\begin{cases}4x_1+x_2+x_3+31x_4+27x_5=12,\\ 5x_1+6x_2+x_3+47x_4+47x_5=23,\\ 8x_1+7x_2+6x_3+92x_4+85x_5=58. \end{cases}[/math]

Одна-единственная задача, которую никак не могу решить.
расширенную матрицу записала, а как дальше - тёмный лес)

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти общее решение неоднородной системы уравнений
СообщениеДобавлено: 22 янв 2012, 13:39 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
17 янв 2012, 14:22
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
короче фиг его знает, не умею я это решать.
похожая задача вовсе не похожа. а мне надо найти частное решение, общее и сложить их

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти общее решение неоднородной системы уравнений
СообщениеДобавлено: 22 янв 2012, 14:05 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 23:52
Сообщений: 5946
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 3211
Спасибо получено:
3073 раз в 2246 сообщениях
Очков репутации: 650

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Используя элементарные преобразования над строками матрицы, приводим ее к ступенчатому, а затем и к упрощенному виду:

1) запишем расширенную матрицу системы уравнений;
2) умножим строку 2 на -1 и прибавим её к строке 1;
3) умножим строку 1 на 5 и прибавим её к строке 2;
4) умножим строку 1 на 8 и прибавим её к строке 3;
5) умножим строку 2 на 33 и строку 3 на -19;
6) сложим строки 2 и 3;
7) строку 3 разделим на -81;
8) умножим строку 3 на -33 и прибавим её к строке 2p;
9) строку 2 разделим на -627;
10) умножим строку 2 на 5 и прибавим её к строке 1;
11) строку 1 умножим на -1;

[math]\begin{gathered}\left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}4&1&1&{31}&{27}\!\!&\vline\!\!&{12}\\5&6&1&{47}&{47}\!\!&\vline\!\!&{23}\\8&7&6&{92}&{85}\!\!&\vline\!\!&{58}\end{array}\!\!\right)\sim \left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}{-1}&{-5}&0&{-16}&{-20}\!\!&\vline\!\!&{-11}\\5&6&1&{47}&{47}\!\!& \vline\!\!&{23}\\ 8&7&6&{92}&{85}\!\!&\vline\!\!&{58}\end{array}\!\!\right)\sim \left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}{-1}&{-5}&0&{-16}&{-20}\!\!&\vline\!\!&{-11}\\0&{-19}&1&{-33}&{-53}\!\!&\vline\!\!&{-32}\\8&7&6&{92}&{85}\!\!&\vline\!\!&{58}\end{array}\!\!\right)\sim\hfill\\ \sim\left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}{-1}&{-5}&0&{-16}&{-20}\!\!&\vline\!\!&{-11}\\0&{-19}&1&{-33}&{-53}\!\!&\vline\!\!&{-32}\\0&{-33}&6&{-36}&{-75}\!\!&\vline\!\!&{-30}\end{array}\!\!\right)\sim \left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}{-1}&{-5}&0&{-16}&{-20}\!\!&\vline\!\!&{-11}\\0&{-627}&{33}&{-1089}&{-1749}\!\!&\vline\!\!&{-1056}\\0&{627}&{-114}&{684}&{1425}\!\!& \vline\!\!&{570} \end{array}\!\!\right)\sim\hfill\\ \sim\left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}{-1}&{-5}&0&{-16}&{-20}\!\!&\vline\!\!&{-11}\\0&{-627}&{33}&{-1089}&{-1749}\!\!&\vline\!\!&{-1056}\\0&0&{-81}&{-405}&{-324}\!\!&\vline\!\!&{-486}\end{array}\!\!\right)\sim \left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}{-1}&{-5}&0&{-16}&{-20}\!\!&\vline\!\!&{-11}\\0&{-627}&{33}&{-1089}&{-1749}\!\!&\vline\!\!&{-1056}\\0&0&1&5&4\!\!& \vline\!\!&6\end{array}\!\!\right)\sim\hfill\\ \sim\left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}{-1}&{-5}&0&{-16}&{-20}\!\!&\vline\!\!&{-11}\\0&{-627}&0&{-1254}&{-1881}\!\!&\vline\!\!&{-1254}\\0&0&1&5&4\!\!& \vline\!\!&6\end{array}\!\!\right)\sim \left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}{-1}&{-5}&0&{-16}&{-20}\!\!&\vline\!\!&{-11}\\0&1&0&2&3\!\!& \vline\!\!&2\\0&0&1&5&4\!\!& \vline\!\!&6 \end{array}\!\!\right)\sim\hfill\\ \sim\left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}}{-1}&0&0&{-6}&{-5}\!\!&\vline\!\!&{-1}\\0&1&0&2&3\!\!& \vline\!\!&2\\0&0&1&5&4\!\!& \vline\!\!&6 \end{array}\!\!\right)\sim \left(\!\!\begin{array}{*{20}{r}} 1&0&0&6&5\!\!& \vline\!\!&1\\ 0&1&0&2&3\!\!& \vline\!\!&2\\0&0&1&5&4\!\!& \vline\!\!&6 \end{array}\!\!\right)~ \Rightarrow~ \begin{cases}x_1=1-6x_4-5x_5,\\x_2=2-2x_4-3x_5,\\x_3=6-5x_4-4x_5,\end{cases}\hfill\\\end{gathered}[/math]

где [math]x_1,\,x_2,\,x_3[/math] - базисные переменные, а [math]x_4,\,x_5[/math] - свободные переменные.

Полагая [math]x_4=x_5=0[/math], получаем частное решение неоднородной системы: [math]x^H=\begin{pmatrix}1&2&6&0&0\end{pmatrix}^T[/math].

Записываем общее решение соответствующей однородной системы: [math]\begin{cases}x_1=-6x_4-5x_5,\\x_2=-2x_4-3x_5,\\x_3=-5x_4-4x_5.\end{cases}[/math]

Находим фундаментальную систему решений. Так как [math]n=5[/math] (число неизвестных) и [math]r=\operatorname{rg}A=3[/math], то надо подобрать [math]n-r=2[/math] линейно независимых решения. Подставляем в решение однородной системы стандартные наборы значений свободных переменных:

1) если [math]x_4=1,~x_5=0[/math], то [math]x_1=-6,~x_2=-2,~x_3=-5[/math];
2) если [math]x_4=0,~x_5=1[/math], то [math]x_1=-5,~x_2=-3,~x_3=-4[/math].

В результате получили фундаментальную систему решений однородной системы:

[math]\varphi_1=\begin{pmatrix}-6&-2&-5&1&0\end{pmatrix}^T,\qquad \varphi_2=\begin{pmatrix}-5&-3&-4&0&1\end{pmatrix}^T.[/math]

Записываем общее решение исходной неоднородной системы как сумму его частного решения с общим решением соответствующей однородной системы:

[math]x=x^H+C_1\cdot\varphi_1+C_2\cdot\varphi_2= \begin{pmatrix}1\\2\\6\\0\\0\end{pmatrix}+ C_1\!\begin{pmatrix} -6\\-2\\-5\\1\\0\end{pmatrix}+ C_2\!\begin{pmatrix}-5\\-3\\-4\\0\\1\end{pmatrix}\!,[/math] где [math]C_1,\,C_2[/math] - произвольные постоянные.

Смотрите общее и фундаментальное решения системы уравнений.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
little_schizophrenic, MacZil, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Найти общее решение неоднородной системы уравнений
СообщениеДобавлено: 22 янв 2012, 14:10 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
17 янв 2012, 14:22
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
всё, нашла ошибки в собственном решении на черновике. спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти общее решение неоднородной системы уравнений

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

MacZil

14

645

25 ноя 2012, 16:54

Найти общее решение линейной неоднородной системы(Гауссом)

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Student_termos

8

783

30 окт 2011, 18:35

Найти общее решение системы уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

maxyland

3

235

30 ноя 2013, 16:07

Найти общее решение системы уравнений

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Pabel

3

225

09 ноя 2013, 14:53

Найти общее и частное решение системы уравнений

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

froska

3

458

24 окт 2013, 08:23

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Kiryanovth

3

84

14 июн 2017, 20:25

Найти общее и частное решение системы лин. уравнений

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

DKV

2

821

29 фев 2012, 11:54

Найти общее решение системы дифф уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

laptop

0

171

12 дек 2011, 22:55

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

KPUK7773

0

182

15 май 2013, 10:40

Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусс

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Elena116

11

517

20 окт 2014, 13:44


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved