Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказательство методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 27 окт 2011, 23:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 окт 2011, 21:13
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, уважаемые форумчане.
Племяннице задали доказать неравенства методом математической индукции. Я индукцию очень плохо помню, поэтому прошу вашего совета. Вот сами уравнения:

1. [math]\frac{1}{{2\sqrt n }} \le \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \cdot \cdot \frac{{2n - 1}}{{2n}} \le \frac{1}{{\sqrt {2n - 1} }}[/math]

2. [math]{\left( {1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right)^{n + 1}} \ge 2[/math] (n=1,2...)

Буду рад любой помощи. Спасибо заранее.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 28 окт 2011, 09:13 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
11 май 2011, 17:52
Сообщений: 4429
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
1115 раз в 923 сообщениях
Очков репутации: 409

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дядя племяшки силен в математике
Учится он за племяшку весь год
Где это видано, где это слыхано
Дядя решает - племяшка сдает!
:lol:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 28 окт 2011, 09:34 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 11:27
Сообщений: 7852
Cпасибо сказано: 624
Спасибо получено:
7049 раз в 5482 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доказательство по индукции сводится к двум шагам:

1) Удостовериться,что выражение верно при при n=1,2... В общем при конечном числе n.
2) Предположив,что выражение верно при n=k,доказывается,что тогда оно верно и при n=k+1.

Гораздо интереснее доказывать не по индукции,а непосредственно.Например,вторая задача легко решается разложением в бином Ньютона :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали:
Alexdemath, killer1922
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 28 окт 2011, 11:28 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 11:27
Сообщений: 7852
Cпасибо сказано: 624
Спасибо получено:
7049 раз в 5482 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А правая часть неравенства в первой задаче доказывается,исходя из неравенства

[math]\frac{2n-1}{2n}\leqslant \frac{\sqrt{2n-2} }{\sqrt{2n-1} }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали:
Alexdemath, killer1922
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 28 окт 2011, 12:17 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 11:27
Сообщений: 7852
Cпасибо сказано: 624
Спасибо получено:
7049 раз в 5482 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Левая часть неравенства доказывается более хитро :)

[math]x=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}[/math] тогда

[math]x^2>\frac{1}{2^2}\cdot \frac{3^2-1}{4^2}\cdot\ldots\cdot\frac{(2n-1)^2-1}{(2n)^2}=\frac{1}{4n}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали:
Alexdemath, killer1922
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 28 окт 2011, 15:54 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 окт 2011, 21:13
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
andrei писал(а):
Доказательство по индукции сводится к двум шагам:

1) Удостовериться,что выражение верно при при n=1,2... В общем при конечном числе n.
2) Предположив,что выражение верно при n=k,доказывается,что тогда оно верно и при n=k+1.

Гораздо интереснее доказывать не по индукции,а непосредственно.Например,вторая задача легко решается разложением в бином Ньютона :)


Большое спасибо за советы. Вся загвоздка как раз в том, что эти примеры нужно доказать именно методом индукции и никаким другим.
P.S. Насколько я понимаю, это даже не университетский, а школьный уровень. Хотя для психологического факультета СПбГУ, видимо, нормально :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 30 окт 2011, 23:07 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 окт 2011, 21:13
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
andrei писал(а):
А правая часть неравенства в первой задаче доказывается,исходя из неравенства

[math]\frac{2n-1}{2n}\leqslant \frac{\sqrt{2n-2} }{\sqrt{2n-1} }[/math]


Я не совсем понял, как Вы сделали числитель для правой части [math]\sqrt{2n-2}[/math] и доказательство с левой частью неравенства, т.е. для чего введён "х". Можете пояснить?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 01 ноя 2011, 18:55 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 11:27
Сообщений: 7852
Cпасибо сказано: 624
Спасибо получено:
7049 раз в 5482 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Собственно говоря, вот

Изображение
Изображение
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали:
Alexdemath, killer1922
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 01 ноя 2011, 23:31 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 окт 2011, 21:13
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А откуда у Вас появилось [math]\frac{1}{\sqrt{3n+1}}[/math]? Это преобразование (т.к. в оригинальном неравенстве такую штуку я не видел и получить не смог)?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 03 ноя 2011, 18:12 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 11:27
Сообщений: 7852
Cпасибо сказано: 624
Спасибо получено:
7049 раз в 5482 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение
Изображение
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали:
Alexdemath
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказательство тождества с помощью математической индукции

в форуме Алгебра

ayazaha

6

227

26 окт 2015, 20:45

Методом математической индукции

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

ilya_56

1

287

01 дек 2012, 21:24

Доказать методом математической индукции

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

khv

2

194

27 апр 2015, 15:19

Решить методом математической индукции

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Isin

2

123

27 сен 2015, 00:15

Доказать методом математической индукции, что

в форуме Теория вероятностей

crosssss

1

149

14 фев 2016, 22:55

Решить методом математической индукции

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

lllulll

2

368

26 дек 2013, 15:57

Доказать методом математической индукции

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Bullgamer

5

584

24 окт 2013, 02:31

Доказать методом математической индукции

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Katrine

5

312

20 янв 2015, 16:07

Доказать методом математической индукции

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

h8w8

1

223

14 фев 2015, 20:26

Доказать методом математической индукции

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Matt Matics

6

59

17 окт 2017, 17:49


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google Adsense [Bot] и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved