Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти область определения и область значений функции
СообщениеДобавлено: 25 окт 2011, 16:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 окт 2011, 16:30
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Привет всем. Начал изучать математику (в 24 то года) и на первом же параграфе задачника Мордковича застрял.

Надо найти D(f) и E(f) ф-ции y = 1/(16x^2-49)
С D(f) все ясно, проблемы с E(f). Нашел решение этой задачи тут: http://bigblueboar.narod.ru/mord_10/mo10_1_13.html , но ответ не сходится с данным в книге. Кстати, сам я рассуждал так же, как дядька на этом сайте.

Потом накопал еще одно решение ( http://www.megabotan.ru/reshebnik/algeb ... 1_nomer_13 ), но я никак не могу понять, почему из первого утверждения последней строчки следует второе. Плюс, D(f) там не такое, как в первом решении, не такое, как у меня и, главное, не такое, как в ответах задачника.

Такая вот ситуация. Надеюсь на помощь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти область определения и область значений функции
СообщениеДобавлено: 25 окт 2011, 17:38 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
04 окт 2011, 20:39
Сообщений: 164
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
49 раз в 44 сообщениях
Очков репутации: 69

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Убедился, что я - не Юлий Цезарь, и делать несколько дел сразу не стОит. :)


Последний раз редактировалось Zavada 25 окт 2011, 18:57, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти область определения и область значений функции
СообщениеДобавлено: 25 окт 2011, 17:52 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 00:18
Сообщений: 575
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
576 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 265

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для начала заметим, что данная функция является четой. Поэтому мы определим ее область значений только для [math]x\in[0,\infty)[/math].
На промежутке [math][0,\frac{7}{4})[/math] данная функция убывает и стремится к минус бесконечности ( "вблизи" [math]x=\frac{7}{4}[/math]. Я нарочно не пользуюсь понятием "предел", вдруг вы его не знаете?). В точке [math]x=0[/math] имеем [math]f(0)=-\frac{1}{49}[/math]. Значит, область значений на промежутке [math][0,\frac{1}{7})[/math] :
[math](-\infty,-\frac{1}{49}][/math]
На [math](\frac{7}{4},\infty)[/math] функция убывает и принимает положительные значения. (Hа бесконечности стремится к нулю.)
"Вблизи" [math]x=\frac{7}{4}[/math]стремится к бесконечности.
То есть, мы получаем, что

[math]E(f)=(-\infty, -\frac{1}{49}]\cup (0,\infty)[/math]

Тут всё довольно интуитивно. В самом деле мы еще пользуемся тем, что данная функция непрерывна и поэтому принимает все промежуточные значения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали:
heinlein, JYusup123
 Заголовок сообщения: Re: Найти область определения и область значений функции
СообщениеДобавлено: 26 окт 2011, 16:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 окт 2011, 16:30
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Бардзо дзинкуе за обстоятельный ответ, еще один вопрос, если не возражаете. :)

Проблема в том, что я вижу то, что вы написали, на графике (http://www.wolframalpha.com/input/?i=y+ ... 28x%5E2%29), но у меня не получается грамотно прийти к тем же выводам аналитическим путем. Например, как вы определили, к чему стремится функция на определенном промежутке? То есть интуитивно то я понимаю, что чем ближе значение x приближается к [math]7/4[/math] (или [math]-(7/4)[/math]), тем больше/меньше значение функции, так как значение знаменателя меньше единицы по модулю, и, в то же время, это значение никогда не достигнет нуля. Но как мне это объяснить в математических терминах? Или это достаточное обоснование, если учесть, что пределы до этого примера еще не давались? Слово такое я, конечно, помню из школьного курса, но сейчас повторить эту тему еще не успел.

Чувствую глупостей понаписал.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти область определения и область значений функции
СообщениеДобавлено: 26 окт 2011, 19:29 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 00:18
Сообщений: 575
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
576 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 265

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да не за что. Я для этого здесь и есть. :thanks:
Можно, конечно, формально доказать. Я могу Вам представить, как это делается, но для этого Вы должны повторить понятие предела.
Однако на практике достаточно рассуждать так:

Исследуем функцию "вблизи" х=7/4
Существенный фактор : [math]x-\frac{7}{4}[/math]
Поэтому запишем данную функцию так: [math]\frac{1}{16(x-\frac{7}{4})(x+\frac{7}{4})}[/math]
1. Предел слева.
Если [math]x<\frac{7}{4}[/math] (и лежит "близко" от 7/4), то [math]16(x+\frac{7}{4})>0[/math], а [math](x-\frac{7}{4})[/math] стремится к нулю по отрицательным значениям. Значит, знаменатель стремится к нулю по отрицательным значениям , а числитель =1. (Пишем тогда [math]\Big[\frac{1}{0^-}\Big][/math] но этот символ означает только то, что я выше написала!)
Оттуда получаем, что выражение [math]\frac{1}{16(x-\frac{7}{4})(x+\frac{7}{4})}[/math] стремится к минус бесконечности, когда [math]x[/math] стремится к [math]7/4[/math] слева.
При помощи символов:
[math]\Big[\frac{1}{0^-}\Big]=- \infty[/math]

2. Предел справа - аналогично.

Если я что-то неясно написала, спрашивайте!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти область определения и область значений функции
СообщениеДобавлено: 27 окт 2011, 11:34 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 окт 2011, 16:30
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Все ясно, еще раз спасибо. :)

Не ту ссылку на вольфрам поставил, поправить уже не могу, ну да ладно, вопрос закрыт

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти область определения и область значений функции
СообщениеДобавлено: 28 окт 2011, 17:55 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 окт 2011, 16:30
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Возник еще один вопрос, совсем небольшой, так что тему новую создавать смысла нет, как мне кажется.

Я правильно рассуждаю - если у меня есть равенство
[math](x+2)^2 = y + 12[/math] ,
то я могу извлечь корень из обоих сторон равенства, и тогда оно распадется на
[math]x+2 = \sqrt{y + 12}[/math] при [math]x \geqslant -2[/math] и
[math]x+2 = -\sqrt{y + 12}[/math] при [math]x < -2[/math]
?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти область определения и область значений функции
СообщениеДобавлено: 28 окт 2011, 21:03 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 00:18
Сообщений: 575
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
576 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 265

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А давайте уточним.
Прежде всего надо предположить, что [math]y+12\geq 0[/math] (если x и y вещественные числа).
Уравнение распадается в следующем смысле:

[math](x+2)^2=y+12[/math]
эквивалентно дизъюнкции
[math]x+2=\sqrt{y+12}[/math] или [math]x+2=-\sqrt{y+12}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали:
heinlein
 Заголовок сообщения: Re: Найти область определения и область значений функции
СообщениеДобавлено: 03 ноя 2011, 01:47 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 окт 2011, 16:30
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Бинарные отношения, область определения и область значений

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Makarel

8

1527

08 ноя 2017, 07:11

Найти область значений функции

в форуме Алгебра

Kari

2

423

25 июн 2014, 12:19

Найти область значений функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

MID_Knight

2

173

22 дек 2021, 18:03

Как найти область значений функции

в форуме Алгебра

alekscooper

7

128

02 янв 2024, 18:01

Найти Max и min функции+область значений

в форуме Алгебра

Pavel_Kotoff

9

480

06 дек 2018, 21:50

Найти область определения функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

PRINTER

1

264

16 янв 2015, 20:19

Найти область определения функции

в форуме Алгебра

vitgon

1

348

12 ноя 2015, 22:44

Найти область определения функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

jekano

1

563

24 июн 2014, 17:36

Найти область определения функции

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Leni

1

254

02 май 2020, 12:21

Найти область определения функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Ciber15

2

242

26 май 2018, 12:33


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved