Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Функциональное уравнение - 3
СообщениеДобавлено: 27 окт 2018, 04:14 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
10 окт 2018, 22:06
Сообщений: 830
Cпасибо сказано: 209
Спасибо получено:
245 раз в 225 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброй ночи.
Теперь имею следующее уравнение:
[math]f\left( x+\frac{ y }{ x } \right) =f\left( x \right)+\frac{ f\left( y \right) }{ f\left( x \right) }+2y[/math]
Решал так:
Полагая [math]y=x[/math], получим:
[math]f\left( x+1 \right)=f\left( x \right)+2x+1[/math]
Заменим [math]x[/math] на [math]x+1[/math]:
[math]f\left( x+2 \right)=f\left( x+1 \right)+2x+3[/math]
Вычитая из второго первое, имеем:
[math]f\left( x+2 \right)-f\left( x+1 \right)=f\left( x+1 \right)-f\left( x \right)+2[/math], или
[math]f\left( x+2 \right)-2f\left( x+1 \right)+f\left( x \right)=2[/math]
Перешел к (линейному неоднородному первого порядка) рекуррентному соотношению:
[math]a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}=2[/math]
Сразу вопрос: правомочно ли это?
Решение последнего имеет вид:
[math]a_{n}=C_{1}+C_{2}n+C_{3}n^{2}+C_{4}n^{3}[/math], т.е.
[math]f\left( x \right)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}+C_{4}x^{3}[/math]
Подставил в рекуррентное соотношение и после сокращения подобных вышло:
[math]6C_{4}x+2C_{3}+6C_{4}=2[/math], откуда [math]C_{3}=1, C_{4}=0[/math], т.е.
[math]f\left( x \right)=C_{1}+C_{2}x+x^{2}[/math]
Подставляя это в первоначальное (функциональное) уравнение, после приведения подобных вышло:
[math]C_{2}\frac{ y }{ x }+\frac{ y^{2} }{ x^{2} } =\frac{ C_{1}+C_{2}y+y^{2} }{ C_{1}+C_{2}x+x^{2} }[/math],
или (при допущении [math]y=x[/math])
С[math]_{2}+1=1[/math], откуда [math]C_{2}=0[/math], и, следовательно,
[math]f\left( x \right)=C_{1}+x^{2}[/math], или попросту [math]f\left( x \right)=x^{2}+C[/math]
Подставляя еще раз, получилось:
[math]\frac{ y^{2} }{ x^{2} }=\frac{ y^{2}+C }{ x^{2}+C }[/math]
Следовательно, [math]C=0[/math], и окончательно:
[math]f\left( x \right)=x^{2}[/math]
Найденное (частное) решение удовлетворяет первоначальному уравнению, но вот вопрос:
Является ли это решение единственным? Ведь y, строго говоря, вовсе не обязан быть равен x.
Существует ли лучший способ решения такого уравнения?
Спасибо.
Edit. C (последняя константа) быть нулем не обязана, ведь по предположению [math]y=x[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функциональное уравнение - 3
СообщениеДобавлено: 27 окт 2018, 15:56 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 615
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
184 раз в 163 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно вместо составления реккурентного уравнения составить разностное (аналогично вашей предыдущей темы) но вместо произведений брать суммы (так как во второй теме множитель зависит от переменной, а здесь - слагаемое). Результат тот же, путь короче. Опять же, из такого решения следует его единственность, потому как иные функции составленному соотношению удовлетворить не могут. И для перехода через [math]y=x[/math] есть обоснование, заключающееся в том, что полученная функция должна удовлетворять исходному уравнению и при выбранном вами условии. Если же полученная функция не будет обращаться в тождество при равных друг другу [math]x[/math] и [math]y[/math], то такая функция не будет решением исходного уравнения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю underline "Спасибо" сказали:
AGN
 Заголовок сообщения: Re: Функциональное уравнение - 3
СообщениеДобавлено: 27 окт 2018, 17:44 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
10 окт 2018, 22:06
Сообщений: 830
Cпасибо сказано: 209
Спасибо получено:
245 раз в 225 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Функциональное уравнение

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Integrator

0

369

08 июн 2015, 08:14

Функциональное уравнение

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

AGN

0

214

19 окт 2018, 19:09

Функциональное уравнение

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Gintoki-_-

16

493

06 мар 2021, 10:26

Функциональное уравнение

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Gintoki-_-

5

277

08 мар 2021, 21:09

Функциональное уравнение

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

NIKKUN

4

127

12 сен 2023, 14:41

Функциональное уравнение

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Student Studentovich

6

426

07 окт 2017, 13:50

Функциональное уравнение

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

wrobel

5

436

07 сен 2022, 11:42

Функциональное уравнение

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

nowhereandnever

7

221

08 июн 2021, 02:05

Функциональное уравнение-2

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

AGN

2

243

26 окт 2018, 19:17

Функциональное уравнение на множестве целых чисел

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

nicat

1

523

26 авг 2015, 22:21


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved