Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 3 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
AGN |
|
|
Теперь имею следующее уравнение: [math]f\left( x+\frac{ y }{ x } \right) =f\left( x \right)+\frac{ f\left( y \right) }{ f\left( x \right) }+2y[/math] Решал так: Полагая [math]y=x[/math], получим: [math]f\left( x+1 \right)=f\left( x \right)+2x+1[/math] Заменим [math]x[/math] на [math]x+1[/math]: [math]f\left( x+2 \right)=f\left( x+1 \right)+2x+3[/math] Вычитая из второго первое, имеем: [math]f\left( x+2 \right)-f\left( x+1 \right)=f\left( x+1 \right)-f\left( x \right)+2[/math], или [math]f\left( x+2 \right)-2f\left( x+1 \right)+f\left( x \right)=2[/math] Перешел к (линейному неоднородному первого порядка) рекуррентному соотношению: [math]a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}=2[/math] Сразу вопрос: правомочно ли это? Решение последнего имеет вид: [math]a_{n}=C_{1}+C_{2}n+C_{3}n^{2}+C_{4}n^{3}[/math], т.е. [math]f\left( x \right)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}+C_{4}x^{3}[/math] Подставил в рекуррентное соотношение и после сокращения подобных вышло: [math]6C_{4}x+2C_{3}+6C_{4}=2[/math], откуда [math]C_{3}=1, C_{4}=0[/math], т.е. [math]f\left( x \right)=C_{1}+C_{2}x+x^{2}[/math] Подставляя это в первоначальное (функциональное) уравнение, после приведения подобных вышло: [math]C_{2}\frac{ y }{ x }+\frac{ y^{2} }{ x^{2} } =\frac{ C_{1}+C_{2}y+y^{2} }{ C_{1}+C_{2}x+x^{2} }[/math], или (при допущении [math]y=x[/math]) С[math]_{2}+1=1[/math], откуда [math]C_{2}=0[/math], и, следовательно, [math]f\left( x \right)=C_{1}+x^{2}[/math], или попросту [math]f\left( x \right)=x^{2}+C[/math] Подставляя еще раз, получилось: [math]\frac{ y^{2} }{ x^{2} }=\frac{ y^{2}+C }{ x^{2}+C }[/math] Следовательно, [math]C=0[/math], и окончательно: [math]f\left( x \right)=x^{2}[/math] Найденное (частное) решение удовлетворяет первоначальному уравнению, но вот вопрос: Является ли это решение единственным? Ведь y, строго говоря, вовсе не обязан быть равен x. Существует ли лучший способ решения такого уравнения? Спасибо. Edit. C (последняя константа) быть нулем не обязана, ведь по предположению [math]y=x[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
underline |
|
|
Можно вместо составления реккурентного уравнения составить разностное (аналогично вашей предыдущей темы) но вместо произведений брать суммы (так как во второй теме множитель зависит от переменной, а здесь - слагаемое). Результат тот же, путь короче. Опять же, из такого решения следует его единственность, потому как иные функции составленному соотношению удовлетворить не могут. И для перехода через [math]y=x[/math] есть обоснование, заключающееся в том, что полученная функция должна удовлетворять исходному уравнению и при выбранном вами условии. Если же полученная функция не будет обращаться в тождество при равных друг другу [math]x[/math] и [math]y[/math], то такая функция не будет решением исходного уравнения.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю underline "Спасибо" сказали: AGN |
||
AGN |
|
|
Спасибо.
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 3 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Функциональное уравнение
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
0 |
369 |
08 июн 2015, 08:14 |
|
Функциональное уравнение
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
0 |
214 |
19 окт 2018, 19:09 |
|
Функциональное уравнение | 16 |
493 |
06 мар 2021, 10:26 |
|
Функциональное уравнение
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
5 |
277 |
08 мар 2021, 21:09 |
|
Функциональное уравнение | 4 |
127 |
12 сен 2023, 14:41 |
|
Функциональное уравнение
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
6 |
426 |
07 окт 2017, 13:50 |
|
Функциональное уравнение | 5 |
436 |
07 сен 2022, 11:42 |
|
Функциональное уравнение
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
7 |
221 |
08 июн 2021, 02:05 |
|
Функциональное уравнение-2
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
2 |
243 |
26 окт 2018, 19:17 |
|
Функциональное уравнение на множестве целых чисел | 1 |
523 |
26 авг 2015, 22:21 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |