Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Функциональное уравнение
СообщениеДобавлено: 19 окт 2018, 19:09 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
10 окт 2018, 22:06
Сообщений: 830
Cпасибо сказано: 209
Спасибо получено:
245 раз в 225 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день.
Извиняюсь, если не в нужную тему - не нашел другого.
Собственно задача.
Найти функцию, удовлетворяющую условиям:
[math]f\left( 0 \right)=\frac{ 1 }{2 }[/math] и [math]\exists a[/math] [math]\forall x,y[/math] [math]f\left( x+y \right)=f\left( x \right)\left( a-y \right)+f\left( y \right)\left( a-x \right)[/math]
Решал так:
[math]f\left( x \right)=f\left( x+0 \right)=f\left( x \right)\left( a-0 \right) +f\left( 0 \right) \left( a-x \right)[/math]
[math]f\left( x \right)=af\left( x \right)+\frac{ 1 }{ 2} \left( a-x \right)[/math]
[math]\left( 1-a \right)f\left( x \right)=\frac{ 1 }{ 2 }\left( a-x \right)[/math]
[math]f\left( x \right)=\frac{ 1 }{ 2 } \cdot \frac{ a-x }{ 1-a }[/math]
Поскольку [math]f\left( 0 \right)=\frac{ 1 }{ 2 }[/math], то
[math]f\left( 0 \right)=\frac{ 1 }{ 2 } =\frac{ 1 }{ 2 } \cdot \frac{ a-0 }{ 1-a }[/math]
[math]\frac{ a }{ 1-a}=1[/math]
[math]a=\frac{ 1 }{ 2 }[/math]
Следовательно,
[math]f\left( x+y \right)=f\left( x \right)\left( \frac{ 1 }{ 2 }-y \right)+f\left( y \right) \left( \frac{ 1 }{ 2 }-x \right)[/math]
Пусть теперь [math]x=0[/math] (для [math]y=0[/math] решение симметрично). Тогда:
[math]f\left( 0+y \right)=f\left( 0 \right)\left( \frac{ 1 }{ 2 }-y \right)+f\left( y \right)\left( \frac{ 1 }{ 2 }-0 \right)[/math]
[math]f\left( y \right)=\frac{ 1 }{ 2 } \left( \frac{ 1 }{ 2 }-y \right)+\frac{ 1 }{ 2 }f\left( y \right)[/math]
[math]\frac{ 1 }{ 2 }f\left( y \right)=\frac{ 1 }{ 2 }\left( \frac{ 1 }{ 2 }-y \right)[/math]
[math]f\left( y \right)=\frac{ 1 }{ 2 }-y[/math]
Вроде все правильно (?), однако проверка не работает:
[math]f\left( x+y \right)=\frac{ 1 }{ 2 }-x-y[/math]
Но с другой стороны,
[math]f\left( x \right)\left( \frac{ 1 }{ 2 }-y \right)+f\left( y \right)\left( \frac{ 1 }{ 2 }-x \right)=\left( \frac{ 1 }{ 2 }-x \right)\left( \frac{ 1 }{ 2 }-y \right)+\left( \frac{ 1 }{ 2 }-y \right)\left( \frac{ 1 }{ 2 }-x \right)=2\left( \frac{ 1 }{ 2 }-x \right)\left( \frac{ 1 }{ 2 }-y \right)=\frac{ 1 }{ 2 }-x-y+2xy[/math]
Подскажите, где ошибка?
Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ 1 сообщение ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Функциональное уравнение

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Integrator

0

369

08 июн 2015, 08:14

Функциональное уравнение - 3

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

AGN

2

288

27 окт 2018, 04:14

Функциональное уравнение

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Gintoki-_-

16

493

06 мар 2021, 10:26

Функциональное уравнение

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Gintoki-_-

5

277

08 мар 2021, 21:09

Функциональное уравнение

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

NIKKUN

4

127

12 сен 2023, 14:41

Функциональное уравнение

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Student Studentovich

6

426

07 окт 2017, 13:50

Функциональное уравнение

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

wrobel

5

436

07 сен 2022, 11:42

Функциональное уравнение

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

nowhereandnever

7

221

08 июн 2021, 02:05

Функциональное уравнение-2

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

AGN

2

243

26 окт 2018, 19:17

Функциональное уравнение на множестве целых чисел

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

nicat

1

523

26 авг 2015, 22:21


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved