Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ 1 сообщение ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
AGN |
|
|
Извиняюсь, если не в нужную тему - не нашел другого. Собственно задача. Найти функцию, удовлетворяющую условиям: [math]f\left( 0 \right)=\frac{ 1 }{2 }[/math] и [math]\exists a[/math] [math]\forall x,y[/math] [math]f\left( x+y \right)=f\left( x \right)\left( a-y \right)+f\left( y \right)\left( a-x \right)[/math] Решал так: [math]f\left( x \right)=f\left( x+0 \right)=f\left( x \right)\left( a-0 \right) +f\left( 0 \right) \left( a-x \right)[/math] [math]f\left( x \right)=af\left( x \right)+\frac{ 1 }{ 2} \left( a-x \right)[/math] [math]\left( 1-a \right)f\left( x \right)=\frac{ 1 }{ 2 }\left( a-x \right)[/math] [math]f\left( x \right)=\frac{ 1 }{ 2 } \cdot \frac{ a-x }{ 1-a }[/math] Поскольку [math]f\left( 0 \right)=\frac{ 1 }{ 2 }[/math], то [math]f\left( 0 \right)=\frac{ 1 }{ 2 } =\frac{ 1 }{ 2 } \cdot \frac{ a-0 }{ 1-a }[/math] [math]\frac{ a }{ 1-a}=1[/math] [math]a=\frac{ 1 }{ 2 }[/math] Следовательно, [math]f\left( x+y \right)=f\left( x \right)\left( \frac{ 1 }{ 2 }-y \right)+f\left( y \right) \left( \frac{ 1 }{ 2 }-x \right)[/math] Пусть теперь [math]x=0[/math] (для [math]y=0[/math] решение симметрично). Тогда: [math]f\left( 0+y \right)=f\left( 0 \right)\left( \frac{ 1 }{ 2 }-y \right)+f\left( y \right)\left( \frac{ 1 }{ 2 }-0 \right)[/math] [math]f\left( y \right)=\frac{ 1 }{ 2 } \left( \frac{ 1 }{ 2 }-y \right)+\frac{ 1 }{ 2 }f\left( y \right)[/math] [math]\frac{ 1 }{ 2 }f\left( y \right)=\frac{ 1 }{ 2 }\left( \frac{ 1 }{ 2 }-y \right)[/math] [math]f\left( y \right)=\frac{ 1 }{ 2 }-y[/math] Вроде все правильно (?), однако проверка не работает: [math]f\left( x+y \right)=\frac{ 1 }{ 2 }-x-y[/math] Но с другой стороны, [math]f\left( x \right)\left( \frac{ 1 }{ 2 }-y \right)+f\left( y \right)\left( \frac{ 1 }{ 2 }-x \right)=\left( \frac{ 1 }{ 2 }-x \right)\left( \frac{ 1 }{ 2 }-y \right)+\left( \frac{ 1 }{ 2 }-y \right)\left( \frac{ 1 }{ 2 }-x \right)=2\left( \frac{ 1 }{ 2 }-x \right)\left( \frac{ 1 }{ 2 }-y \right)=\frac{ 1 }{ 2 }-x-y+2xy[/math] Подскажите, где ошибка? Спасибо. |
||
Вернуться к началу | ||
[ 1 сообщение ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Функциональное уравнение
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
0 |
369 |
08 июн 2015, 08:14 |
|
Функциональное уравнение - 3
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
2 |
288 |
27 окт 2018, 04:14 |
|
Функциональное уравнение | 16 |
493 |
06 мар 2021, 10:26 |
|
Функциональное уравнение
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
5 |
277 |
08 мар 2021, 21:09 |
|
Функциональное уравнение | 4 |
127 |
12 сен 2023, 14:41 |
|
Функциональное уравнение
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
6 |
426 |
07 окт 2017, 13:50 |
|
Функциональное уравнение | 5 |
436 |
07 сен 2022, 11:42 |
|
Функциональное уравнение
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
7 |
221 |
08 июн 2021, 02:05 |
|
Функциональное уравнение-2
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
2 |
243 |
26 окт 2018, 19:17 |
|
Функциональное уравнение на множестве целых чисел | 1 |
523 |
26 авг 2015, 22:21 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |