Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 15 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Tantan |
|
|
[math]\boldsymbol{f}(a,b,c) = \frac{ 1 }{ 1 - ab } + \frac{ 1 }{ 1 - bc } + \frac{ 1 }{ 1 - ca }[/math] , для [math]\boldsymbol{a} > 0, \boldsymbol{b} > 0, \boldsymbol{c} >[/math] и [math]\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c} = 1[/math] . |
||
Вернуться к началу | ||
vvvv |
|
|
a=b=c=1/3
|
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
vvvv писал(а): a=b=c=1/3 Тогда [math]\boldsymbol{f}(a,b,c) = \frac{ 27 }{ 8 }[/math] , но еще надо доказать что это максимум т.е. что нет другая тройка [math]\boldsymbol{a} , b, c[/math] , каторая отвечает на условие задачи и не дает большая стойност функции f! Иначе, пока это только гипотеза , каторая с очень болшая вероятность претендует на решение, но - только гипотеза к этот момент! |
||
Вернуться к началу | ||
vvvv |
|
|
Tantan писал(а): vvvv писал(а): a=b=c=1/3 Тогда [math]\boldsymbol{f}(a,b,c) = \frac{ 27 }{ 8 }[/math] , но еще надо доказать что это максимум т.е. что нет другая тройка [math]\boldsymbol{a} , b, c[/math] , каторая отвечает на условие задачи и не дает большая стойност функции f! Иначе, пока это только гипотеза , каторая с очень болшая вероятность претендует на решение, но - только гипотеза к этот момент! Так это решение было найдено методом Лагранжа т.е. найден максимум функции с условием (связью). |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю vvvv "Спасибо" сказали: Tantan |
||
Tantan |
|
|
vvvv писал(а): Tantan писал(а): vvvv писал(а): a=b=c=1/3 Тогда [math]\boldsymbol{f}(a,b,c) = \frac{ 27 }{ 8 }[/math] , но еще надо доказать что это максимум т.е. что нет другая тройка [math]\boldsymbol{a} , b, c[/math] , каторая отвечает на условие задачи и не дает большая стойност функции f! Иначе, пока это только гипотеза , каторая с очень болшая вероятность претендует на решение, но - только гипотеза к этот момент! Так это решение было найдено методом Лагранжа т.е. найден максимум функции с условием (связью). Можно! Я верю Вам! Проблема в том( за что я прошу извинения Вам и всем прочитавшие условия задачи!) что это неравенство дано доказывать школьником одном школе при подготовке для олимпиады в Болгарии! А они функции нескольких переменных и метод неопределенных множителем Лагранжа не изучают! В их специальная подготовка для олимпиадой я определенно знаю, что им рассказывали о Schur's Theorem т.е. , "если [math]\boldsymbol{a} \geqslant 0, \boldsymbol{b} \geqslant 0, \boldsymbol{c} \geqslant 0[/math] действительные чисель, то для [math]\forall r > 0[/math] выпольнено : [math]a^{r}(a-b)(a-c) + b^{r}(b-c)(b-a) + c^{r}(c-a)(c-b) \geqslant 0[/math]. Я предполагаю что данное неравенство как то связано с этой теореме! Вы одноко ни в чем не виноваты о мою ошибку, для чего еще раз прося Вам для извинения и в качестве какая то компенсация отдам Вам "Спосибо"! |
||
Вернуться к началу | ||
dr Watson |
|
|
[math]ab\leqslant\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 =\left(\frac{1-c}{2}\right)^2\Rightarrow \frac{1}{1-ab}\leqslant\frac4{4-(1-c)^2}=\frac4{(1+c)(3-c)}=\frac1{1+c}+\frac1{3-c}[/math]
Так как обе функции [math]\frac1{1+x}[/math] и [math]\frac1{3-x}[/math] выпуклы вниз на отрезке [math][0;1][/math], то для любой из них по неравенству Йенсена имеем [math]f(a)+f(b)+f(c)\leqslant 3f\left(\frac{a+b+c}{3}\right)=3f\left(\frac{1}{3}\right)[/math]. Следовательно максимум не больше [math]3\left(\frac{1}{1+\frac13}+\frac{1}{3-\frac13}\right)=\frac{27}8.[/math] С другой стороны он достигается при [math]a=b=c=\frac13.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали: Tantan |
||
Tantan |
|
|
dr Watson писал(а): [math]ab\leqslant\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 =\left(\frac{1-c}{2}\right)^2\Rightarrow \frac{1}{1-ab}\leqslant\frac4{4-(1-c)^2}=\frac4{(1+c)(3-c)}=\frac1{1+c}+\frac1{3-c}[/math] Так как обе функции [math]\frac1{1+x}[/math] и [math]\frac1{3-x}[/math] выпуклы вниз на отрезке [math][0;1][/math], то для любой из них по неравенству Йенсена имеем [math]f(a)+f(b)+f(c)\leqslant 3f\left(\frac{a+b+c}{3}\right)=3f\left(\frac{1}{3}\right)[/math]. Следовательно максимум не больше [math]3\left(\frac{1}{1+\frac13}+\frac{1}{3-\frac13}\right)=\frac{27}8.[/math] С другой стороны он достигается при [math]a=b=c=\frac13.[/math] Ето ближе к школьной програме, чем метод неопределенных множителем Лагранжа.Не знаю они там изучали неравенства Йенсена и Караматы, но они вполне доступны их арсеналом математических знании! Я приблизился к доказателстве этой задачи при помощи неравенства Шура и надеюс до завтра могу построит его и изложу здесь! |
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
dr Watson писал(а): Так как обе функции [math]\frac1{1+x}[/math] и [math]\frac1{3-x}[/math] выпуклы вниз на отрезке [math][0;1][/math], то для любой из них по неравенству Йенсена имеем [math]f(a)+f(b)+f(c)\leqslant 3f\left(\frac{a+b+c}{3}\right)=3f\left(\frac{1}{3}\right)[/math]. Уважаемы dr Watson , Вы заблудились, я то же - поверил и не ПРОВЕРИЛ! Да обе функции [math]\frac1{1+x}[/math] и [math]\frac1{3-x}[/math] выпуклы вниз на отрезке [math][0;1][/math], но для таких функции вовсе не в сила [math]f(a)+f(b)+f(c)\leqslant 3f\left(\frac{a+b+c}{3}\right)[/math] , а наоборот [math]f(a)+f(b)+f(c) \geqslant 3f\left(\frac{a+b+c}{3}\right)[/math] Для избегании лишних споров смотрите : Г.М. Фихтенгольц, "Диференциального и интегрального исчисления" т.1, изд. 7, стр. 300-301 Так что Ваше доказательство неверно! Прежде всего надо искать ИСТИНУ! |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали: dr Watson |
||
Avgust |
|
|
Tantan
Глобальный максимум равен 27/8 при a=b=c=1/3. Это есть истина, которую я получил методом дифф. исчисления. Поэтому выводы Watson верны. |
||
Вернуться к началу | ||
Gagarin |
|
|
Я проверил доказательство dr Watson-а, с использованием неравенства Йенсена. Его вывод абсолютно верен.
Упс, опоздал. Avgust уже успел потвердить это. Tantan писал(а): Для избегании лишних споров смотрите : Это как раз тот случай, когда смотришь в книгу, а видишь ...мда, далеко не истину.Г.М. Фихтенгольц, "Диференциального и интегрального исчисления" т.1, изд. 7, стр. 300-301 |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 15 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |